2024-2025學(xué)年滬教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：幾何證明單元重點檢測（重點）（含答案）

第33講幾何證明單元重點檢測（重點）

一、單選題

1.在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.7,24,25c.-,-D.1,42<V3

2.下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

3.如圖，△ABC中，ZC=90°,BD平分NABC,CD=2,點。到的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

4.直角三角形的兩條直角邊分別為1和2亞，那么它斜邊上的中線長是（）

1/-3

A.-B.JiC.3D.-

22

5.在下列定理中，逆命題錯誤的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.等腰三角形的底角相等

C.線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點距離相等

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6.如圖，在△NBC和中，23=40=90。，CB=CD,Z1=30°,則N2=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的

正方形的邊長為8cm，則正方形a、b、c、d、e、f、g面積的和是（）cm2.

試卷第1頁，共6頁

A.64B.81C.128D.192

8.如圖，在△4BC中，/A4c是鈍角，以點C為圓心、C8的長為半徑畫弧，再以點/為

圓心、N3的長為半徑畫弧，這兩條弧相交于點。，連接2。，延長C4交2。于點￡.下列

結(jié)論中一定正確的是（）

9.如圖，在△4BC中，AB=AC,ZA=120°,如果。是8C的中點，DE1AB,垂足是

E,那么的值等于（）

10.如圖，在中，CE平分乙4C8,C萬平分乙4CD,且跖〃交/C于點若CM

=3,貝I|CE2+CF2的值為（）

11.“若位>0,則a>0,6>0”命題（選填“是”或“不是”）.

試卷第2頁，共6頁

12.將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果....，那么.…”的形式為：如果,那

么.

13.已知點A、B都在x軸上（點A在點B的左邊），點A（-3,0）,AB=6,則點B的坐標(biāo)

為—,

14.底邊為已知線段的等腰三角形/3C的頂點N的軌跡是—.

15.如圖，在4ABC中，。E是的垂直平分線，垂足為E,交/C于點。.若48=6,△NAD

的周長為15,則NC=.

16.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AB=5,平分/比1C,則

17.定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到這邊所

對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖，在△NBC中，4ELBC于點、

E,AE=6,8C=14,/C=45。，點。是BC邊上的“好點”，則線段的長

為.

18.如圖，在中，己知NC=90°,Z8=70。，點。在邊5c上，&）=2CD,把A/BC

繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)〃？（0。”<180）度后，如果點B恰好落在初始RtZ\/BC的邊上，那么

m=

試卷第3頁，共6頁

A

三、解答題

19.已知:4(2,1),5(-1,2),C(5,y),且為等腰三角形，求一的值.

20.已知命題“等腰三角形底邊上的高線與頂角的平分線重合”.

(1)請寫出它的逆命題；

(2)判斷該逆命題的真假，若為假命題，請說明理由，若為真命題，請證明.

21.如圖，NC和2D交于點。，AA=AD=90°,AC=BD.求證：AB=CD.

22.已知：如圖，在四邊形48c。中，ZA=90°,AB=AD=2,BC=1,CD=3.

(1)求的度數(shù).

(2)求四邊形的面積.

23.在RtZk/BC中，=。為2c中點，CE1.4D于E,BF〃AC交CE

的延長線于尸.

試卷第4頁，共6頁

c

(1)求證：AACD烏ACBF；

⑵求證：垂直平分。尸.

24.今年，第13號臺風(fēng)“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號臺風(fēng)“普拉?！焙?/p>

第15號臺風(fēng)“蘇力”又于19日登陸.A市接到臺風(fēng)警報時，臺風(fēng)中心位于距離/市52km的

8處(即/3=52km),正以8km/h的速度沿8c直線方向移動.

(1)已知A市到8C的距離=20km,那么臺風(fēng)中心從B點移到。點經(jīng)過多長時間？

(2)如果在距臺風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時間

是多長？

25.如圖，在△/8C中，乙4c8=90。，AC=BC,E為中點，EDWBC,且與乙18C的平分

線BD交于點、D,聯(lián)結(jié)4D.

⑴求證：AD1BD；

⑵記2。與NC的交點為凡求證：BF=2AD.

試卷第5頁，共6頁

26.已知在△048中，ZOAB=90°,AO=AB,OB=4,過點O作直線/_L08,點P為直

線。4上一點，連接8P,作尸。，尸8交直線/于點。.

備用圖1備用圖2

(1)如圖，當(dāng)尸在線段。1上時.

①設(shè)=那么.(用含口的代數(shù)式表示).

②求證：PD=PB；

⑵設(shè)點P到直線的距離為“,當(dāng)△。尸。的面積為4時，請直接寫出心的值.

27.如圖，在RtZk/BC中，ZBAC=90°,AB=6,ZC=60°,4D是8c邊上的中線，動

點P從點A出發(fā)以每秒百個單位的速度沿線段向終點。運動，動點”從點。出發(fā)以每

秒2百個單位的速度在線段。8上運動，點朋■與點尸同時出發(fā)，設(shè)動點運動時間為光.

C

備用圖

⑴求工。的長;

s

(2)若動點M在線段上運動，設(shè)/"=＞，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

,△ABC

(3)若動點加■在射線。8上運動，當(dāng)點尸運動到終點。時，點M也停止運動，直接寫出當(dāng)

q1

節(jié)出=/時，X的值.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析.

【詳解】A、「OB,0.4,0.5都不是正整數(shù)，0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)，不符合題意；

B>V72+242=252,.-.7,24,25是勾股數(shù),符合題意；

c,1,g都不是正整數(shù)’!不是勾股數(shù),不符合題意；

D、逝，G都不是正整數(shù)，.?」，亞,6不是勾股數(shù)，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足/+〃+=°2的三個正整

數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.A

【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可

得出答案.

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應(yīng)角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，

它是假命題而不是真命題，故此選項不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相

等，它是真命題，故此選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵.把一

個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題,所有的命題都有逆命題;正確的命題叫真命題,

錯誤的命題叫假命題.

3.B

【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，過點D作。于

E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD,從而得解.

【詳解】解：如圖，過點D作DE24B,垂足為E,

答案第1頁，共20頁

C

D

ZC=90°,BD平分ZABC交NC于點D,

AEB

:.DE=CD

■：CD=2

:.DE=2

即點D到48的距離為2.

故答案為：2.

4.D

【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，再根熟記“直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出斜邊長，據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半”求解即可.

【詳解】解：???直角三角形的兩條直角邊分別為1和20，

???斜邊長="+（2我『=3,

13

它斜邊上的中線長是：義3=；,

22

故選：D.

5.A

【分析】本題考查判斷逆命題的真假.先寫出逆命題，再判斷真假即可.將一個命題的題設(shè)

和結(jié)論互換，得到的命題為原命題的逆命題.

【詳解】解：A、逆命題為：面積相等的兩個三角形是全等三角形，為假命題，符合題意；

B、逆命題為：底角相等的三角形為等腰三角形，為真命題，不符合題意；

C、逆命題為：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，為真命題，不符合題意;

D、逆命題為：三角形一邊上的中線等于這條邊長度的一半的三角形為直角三角形，為真命

題，不符合題意；

故選A.

6.D

【分析】由題意可證放△48c也放A4DC（〃L）,有N1=/C4D,由三角形內(nèi)角和定理得

N2+NC4。+40=180。，計算求解即可.

答案第2頁，共20頁

【詳解】解：?.?々=4)=90。

■■.AABC和AlDC均為直角三角形

在Rt.ABC和MA/OC中

(CB=CD

''[AC=AC

RtAABC冬RSADC(HL)

.-.Zl=ACAD

???Z2+ZG4Z)+Zr)=180o

.-.Z2=180°-90°-30°=60°

故選D.

【點睛】本題考查了三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)

系.

7.D

【分析】根據(jù)勾股定理可知，Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd,求出最大正方形的面積即可求解.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理知，

Sg=Se+Sf,Se=Sa+Sb，Sf=Sc+Sd，

?■?Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，

??,最大的正方形的面積為Sg=(8x8)cm2=64cm2,

二正方形a、b、c、d、e、f、g面積的和是64x3=192cm2,

故選D.

【點睛】本題考查了勾股定理，一個直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和，這里

邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積.

8.C

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識點，掌握5種基本作圖

是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)作圖過程可得/。=/氏CD=CB,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷

/C垂直平分3D,進(jìn)而即可得到答案

【詳解】解：由作法得=CD=CB,

.,./C垂直平分8。，

答案第3頁，共20頁

BE=DE.

故選：c.

9.C

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，連接三線合

一，得到ADS8C,等邊對等角，求出N8=30。，進(jìn)而求出N4DE=30。，利用含30度的

直角三角形的性質(zhì)，求出=的長，進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：連接

?；AB=AC,ZA=120°,。是8C的中點，

.?.Z5=1(180°-Z5^C)=30°,ADLBD,

ZADB=90°,AB=2AD,

■■■DEJ.AB,

:"BED=NAED=90°,

ZBDE=60°,

ZADE=30°,

：.AD=1AE,

AB=AAE,

???/￡:=1:4；

故選c.

10.D

【分析】根據(jù)角平分線得出AEFC為直角三角形，再由等角對等邊確定CM=EM=MF=3,EF=6,

最后根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：平分〃C2,CF平分UCD,

；2CE=guCB,^ACF=^^ACD,即NEC尸=g%C2+〃CD)=90。，

??.△EFC為直角三角形，

又?:EF〃BC,CE平分乙4C8,CF平分乙4CD,

：./-ECB=/.MEC=/-ECM,乙DCF=LCFM=￡MCF,

答案第4頁，共20頁

：.CM=EM=MF=3,EF=6,

由勾股定理可知CE?+C/2=EF2=36,

故選D.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，證出為

直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

11.是

【分析】根據(jù)命題的定義判斷即可.

【詳解】若。6>0,貝Ua>0,6>0是一個命題.

故答案為：是.

【點睛】本題主要考查了命題的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即是表示判斷一件事情的句

子是命題.

12.兩個角是同一個角的補(bǔ)角這兩個角相等

【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和

結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由己知事項推出的事項，把一個命題寫成“如果…

那么...”形式是解決問題的關(guān)鍵.把命題的題設(shè)和結(jié)論，寫成“如果…那么…”的形式即可.

【詳解】解：把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：

如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等；

故答案為：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等.

13.(3,0)或(-9,0)

【分析】數(shù)軸上兩點間的距離即是兩點間橫坐標(biāo)之間的距離，據(jù)此解題即可.

【詳解】AB=\XA-XB\

6=|-3-xg|

XB=3或-9

故答案為：3或-9

【點睛】本題考查兩點間的距離、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

14.底邊8C的垂直平分線(除底邊中點外)

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并運用是解題的關(guān)鍵.

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以確定答案.

答案第5頁，共20頁

【詳解】在已知線段5c的等腰三角形/3C中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，頂點/

必在底邊3c的垂直平分線上.

故答案為：底邊8c的垂直平分線（除底邊中點外）.

15.9

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到。8=OC,根據(jù)三角形的周長公式即可得到答

案.

【詳解】解：???0E是8c的垂直平分線，

：.DB=DC,

.?.△/3。的周長=/8+/。+8。=48+/。+。。=/8+/。=15,

AB=6,

.-.AC=9

故答案為：9.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

16.3：5

【分析】過點。作于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。C=DE,根據(jù)三角形的面積

公式計算，得到答案.

【詳解】解：過點。作。E24B于E,

?；AD平分NR4C,DE1AB,NC=90°,

：.DC=DE,

-xACxCD

S./co：S、ABD==3:5,

-xABxDE

2

故答案為：3：5.

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握角平分線上的點到角的兩

答案第6頁，共20頁

邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

17.5或10

【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識，由等題意

得4E=CE=6,BE=8,設(shè)=得DE=|8-x|,CD=14-x,然后根據(jù)“好點”定義及勾

股定理得到BD-CD=DE2+AE2是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解："AELBC,ZC=45°,

.-.ZC=ACAE=45°,則/￡==6,

■.■BC=14,

??.BE=BC-CF=8,

設(shè)8Z>=x,如圖，可得OE=|8-x|,CD=BC-BD=14-x,

?.?點。是BC邊上的“好點”，

AD2=BD-CD,

在RtA4DE中，由勾股定理可得：AD-=DE2+AE2,

22

貝UBD.CQ=OE2+/E2,即：x(14-x)=(8-x)+6,

解得：*=5,馬=10,

即：80=5或10；

故答案為：5或10.

18.40°或120°

【分析】根據(jù)題意，分類討論，①當(dāng)點B落在邊上時，得△印￡,②當(dāng)點B落在NC

邊上時，得△4與6；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：在RtZ\48C中，已知/C=90。，4=70。，

N4=20°,

如圖所述，

答案第7頁，共20頁

①當(dāng)點5落在N8邊上時，得△4烏。，

DB=DB],

NB=NDB&=70°,即ABBQ是等腰三角形,

.?.在△期。中，機(jī)=180°-2x70°=40°；

②當(dāng)點5落在4C邊上時，得△A2B?2,

在RtADCB2中，ZC=90°,DB2=DB=2CD,

...ZCB2D=30°,

.-.m=ZC+ZCB2D^1200-

綜上所述，入的值為40?；?20。，

故答案為：40?；?20。.

【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

19.y=0或15

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，結(jié)合兩點距離公式得42=而，NC=加+（1-才,

BC=』36+（2-丫丫,然后進(jìn)行分類討論，即可列式作答.

【詳解】解：5（-L2）,C（5,y）,

■■AB=^（2+1）2+（1-2）2=VlO，

AC=7（2-5）2+（1-J）2=M（＞y）2，

BC=7（-1-5）2+（2-J）2=，36+（2一?,

???△NSC為等腰三角形，

答案第8頁，共20頁

.,.當(dāng)/8=/C時，即9=j9+(l7)2,

則10=9+(1-?

解得y=o；

或當(dāng)/8=3C時，即可=136+(2_?,

因為(2-y『20,

所以10/36+(2—了)2

此種情況不存在；

或當(dāng)/C=3C時，即19+0_才=,36+(2_才,

則9+(1-J)'=36+(2-J)2,

即2y=30,

那么了=15

綜上所述，y=o或15.

【點睛】本題考查了兩點的距離公式以及等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用分類討論思想是解題

的關(guān)鍵.

20.(1)底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；(2)該逆命題是真命

題，證明見解析.

【分析】(1)兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)

論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的

逆命題；據(jù)此寫出逆命題即可；

(2)由(1)中寫出的逆命題判斷其真假，根據(jù)證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證

明過程即可.

【詳解】(1)原命題的條件是：三角形是等腰三角形；結(jié)論是：底邊上的高線和頂角的角平

分線重合，

逆命題是：底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形.

(2)該逆命題是真命題，證明如下：

如圖，已知：AABC中，AD是BC邊的高線也是頂角NBAC的角平分線.

求證：AB=AC.

答案第9頁，共20頁

???AD是BC邊的高，

???AD1BC,

.-.ZADB=ZADC=9O°,

?■-AD是NBAC的角平分線，

???ZBAD=Z.CAD,

'/BAD=ZCAD

在4BAD和ACAD中，MD=AD

ZADB=ZADC

???AB=AC.

【點睛】本題考查了命題與定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論,

而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題

稱為另一個命題的逆命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

21.見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)

鍵.由“HL”可證RhUBC之REDC8,可得4B=CD.

【詳解】證明：=90。，

:必4BC和△DC2都是直角三角形.

在RtAJSC和RtADCS中,

[BC=CB

[AC=DB'

RtA^5C^RtADC5(HL).

AB=CD.

22.(1)135°

(2)2+72

【分析】本題主要考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，求四邊形的面積，將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化

答案第10頁，共20頁

為兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）連接BD,根據(jù)勾股定理求出BD及再根據(jù)勾股定理逆定理說明△BCD是直角

三角形，即可求出答案;

（2）根據(jù)兩個三角形的面積和求出答案即可.

【詳解】（1）解：連接BD,如圖所示.

?.?加=於2,ZA=90°,

1800-90°

NABD=ZADB=-------------=45°,

2

根據(jù)勾股定理得BD=\lAD2+AB2=2V2，

在△8CZ）中，BD1+BC2=（272）2+12=CD2,

.?.△BCD是直角三角形，且/CAD=90。，

.?.//8C=45°+90°=135°；

（^2），邊形/1927=用例+耳327=-x2X2+—X272X1=2+^2.

23.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）由AAS證明△/CD/尸，即可得出結(jié)論；

（2）連接。尸，交于點G,由（1）得CD=BF,再由CD=AD,得BF=BD,則

乙4BC=ZABF,然后由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）-.-CE1AD,

ZBCF+ZADC=90°,

■■ZBCA=90°,BF//AC,

ZCBF=180°-ZBCA=90°,

ZBCF+ZCFB=90°,

NCFB=ZADC,

在ANCD和/中，

答案第11頁，共20頁

ZACD=NCBF

<ZADC=/CFB,

AC=CB

△力CD絲△CBF(AAS)；

(2)證明：如圖，連接。尸，交48于點G,

由(1)得：CD=BF,

???。為3C的中點，

：,CD=BD,

*，?BF=BD,

.?.△8。尸是等腰三角形，

VABCA=90°,AC=BC,

ZABC=45°,

ZABF=90°-ZABC=45°,

：.ZABC=ZABF,

???AB1DF,DG=FG,

即AB垂直平分DF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的

判定等知識，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

24.(1)臺風(fēng)中心從8點移到。點需要6小時

(2)A市受臺風(fēng)影響的時間為3.75小時

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一性質(zhì)，根據(jù)題意熟練應(yīng)用勾

股定理是解題關(guān)鍵.

(1)在RtZX/AD中，根據(jù)勾股定理求出AD,臺風(fēng)的速度已知，即可得出臺風(fēng)中心從B點

答案第12頁，共20頁

移到。點所經(jīng)過長時間；

（2）假設(shè)A市從尸點開始受到臺風(fēng)的影響，到0點結(jié)束，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，可知

DP=DQ,A市在臺風(fēng)從尸點到。點均受影響，即得出兩點的距離，便可求出A市受臺

風(fēng)影響的時間.

【詳解】（1）解：由題意得，在RtZ\4BD中，

AB=52km,AD=20km

BD=^AB2-AD2=48（km）,

.148+8=6（小時），

即臺風(fēng)中心從B點移到。點需要6小時；

（2）解:以A為圓心，以25km為半徑畫弧，交BC于P、Q,

則A市在尸點開始受到影響，離開。點恰好不受影響（如圖），

PD=y）AP2-AD-=15（km）,

VAP=AQ,ZADB=90°,

DP=DQ,

PQ-30km,

.?.30+8=3.75（小時）

，N市受臺風(fēng)影響的時間為3.75小時.

25.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得==由等腰三角形的性質(zhì)

和三角形內(nèi)角和定理可得=90。，可證NOJ.8。；

（2）由“4X4”可證可得AD=DN,由“44S”可證MCNwA5CF,可得

BF=AN=2AD.

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【詳解】(1)解：證明：???￡為45中點,

BE=AE,

?.?8。平分/48。，

ZABD=/CBD,

???DE//BC,

ZCBD=ZEDB,

AABD=ZBDE,

BE=DE,

/.DE=AE,

/EAD=/EDA,

ZEAD+/EDA+/ABD+ZBDE=180°,

:./4DE+NBDE=90。,

.\ZADB=90°,

AD1BD；

(2)解：延長BC交于點、N,

A

在A4DB和A2VDB中，

AABD=ACBD

<BD=BD,

ZADB=ZNDB=90°

\ABD=ANBD(ASA),

:.AD=DN,

AN=2AD,

ZADB=90°=ZACB,

ZN+/DBN=90°=/DBN+/BFC,

ZN=ZBFC,

答案第14頁，共20頁

在A4CN和A5c尸中，

NN=ZBFC

<ZACN=ZBCF=90°,

AC=BC

:.AACN合ABCF（AAS）,

BF=AN,

二.BF=2AD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加

恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形.

26.（1）@45°-?;②見解析

⑵1+右或-1+石

【分析】（1）①根據(jù)等邊對等角可求出乙4。=48=45。，根據(jù)余角的性質(zhì)可得出

NOPD=NABP=a,然后在△0尸。中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；

②在48上取點R,使NR=N尸，聯(lián)結(jié)尸A,根據(jù)ASA證明△腦P,即可得證；

（2）分P在線段上，在點A的右側(cè)，在點。的左側(cè)討論，根據(jù)△。尸。的面積為4列出

關(guān)于加的方程，求解即可.

【詳解】（1）①解:???/。48=90°,AO=AB,

ZAOB=NB=45°,

???PDA.PB,

ZOPD=90°-ZAPB=ZABP=a,

■,■HOB,

ZPDO=180°-ZDOP-ZOPD=180°-90°-45°-a=45°-a,

故答案為:45°-a；

②在48上取點凡使ZR=N尸，聯(lián)結(jié)網(wǎng)，

答案第15頁，共20頁

;?/APR=NARP=45。,

??.ZBRP=135°,

又/DOP=/DOB+/AOB=\35。,

??.ZBRP=ZDOP,

-AO=AB,AR=AP,

OP—BR,

由①知：ZOPD=ZABP,

.?.△OP。之△KBP(ASA),

??.PD=PB；

(2)解：當(dāng)月在線段04上，過尸作尸。，08于0,

???ZPAQ=45°,

.?.NOPQ=45。=/POQ,

：.OQ=PQ=m,

OP=y/2m,

vZOAB=90°,AO=AB,05=4,

■■■AO=—OB^14i，

2

???AP=AR=2C-及m,

??.PR=4-2m,

由(1)知：△OPDARBP,

又△OP。的面積為4,

???SARBP=^PRPQ=4,即g(4-2m)-m=4,

m2-2m+4=0,

.-,A=(-2)2-4X4=-12<0,

答案第16頁，共20頁

方程無解，

???在線段。4上，不存在點尸，使△0P。的面積為4；

點尸在點A的右側(cè)，過P作尸。于。，在胡的延長線上取點R,使/R=4P,聯(lián)結(jié)尸區(qū),

；.NR=/APR=45°,

又44。。=90°-45°=45°,

ZDOP=NR,

■:AO=AB,AR=AP,

OP-BR,

又ZDPO=ZAOP=90°-/APB,

.?.AOP*AR8P（ASA）,

.US4RBP-~3\ODP-—4r'

同理可求/尸=/7?=0尸一力0=血機(jī)一2百，

PQ=2m-4,

???；（2冽一4卜加=4,

解得叫=1+后，m2=\—V5（舍去）,

點尸在點。的左側(cè)，過尸作尸。于0,在43的延長線上取點凡使/R=4P,聯(lián)結(jié)尸H,

答案第17頁，共20頁

q_c_4T

,,UARBP-u^ODP，

同理可求4?=/氏=。尸+/。=曰+2收，

PQ=2m+4,

二；（2加+4）?機(jī)=4,

解得加1=-l+J^,m2=-1-V5（舍去）,

綜上，當(dāng)切的值為1+行或-1+退時，△。尸。的面積為4.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解一元二次方程，勾股

定理等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)

鍵.

27.⑴/。=26;

131

（2）、=彳---x+-（O<x<l）；

⑶x=|.

【分析】（1）設(shè)NC=a,則8C=2a,利用勾股定理求出BC,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即

可求出的長;

（2）禾U用勾股定理求出PN=3-3無，再根據(jù)三角形面積公式得到邑.=；/02。=66,

s

代入產(chǎn)L=>即可求解,BD

由無即可確定X的取值范圍;

3△ABC

（3）由動點M在射線。3上運動得到2M=。1/-2。=2&-2囪，同（2）方法求出

答案第18頁，共20頁

S1311

S"，進(jìn)而得至U—PMR=一了》2+工工-3=立，解方程即可求解；