2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（滬教版第24章相似三角形+25. 2 求銳角的三角比的值）解析版

2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

（滬教版）

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：滬教版第24章相似三角形+25.2求銳角的三角比的值。

5.難度系數(shù)：0.7o

第一部分（選擇題共24分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求的）

1.在一幅地圖上，用3cm表示150km,這幅地圖的比例尺

為................................................()

A.1:50B.1:5000C,1:500000D.1:5000000

【答案】D

【詳解】解：:150km=15000000cm,

??.這幅地圖的比例尺為3:15000000=1:5000000.

故選：D.

2.中，ZC=90°,NA:NB=1:2,貝!Jtan”的

值...........................................()

A.-B.—C.—D.V3

223

【答案】C

【詳解】解：如下圖：

B

.-.ZA=90°x-^30°,

3

tanZ.A=tan30°=——?

3

故選：c.

3.若2a=36,則下列比列式正確的

是................................................................................（）

aba2b223

A.—=—B.—=—C.—=—D.—

233ba3ab

【答案】c

【詳解】解：A.由5=g得3。=26,故不符合題意；

B.由5=4得成=6,故不符合題意；

C.由2=3得2。=36,符合題意；

a3

D.由一2=［3得3。=26,故不符合題意；

ab

故選：C.

4.已知之、B為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的

是...........................................................................（）

A.如果〃=25，那么qB.如果卜卜W，那么a=B或°=

C.如果＜7+3=6，那么a〃6D.如果e為單位向量，且a=2e，那么卜卜2

【答案】B

【詳解】解：A、如果之=2石，那么故本選項(xiàng)正確；

B、如果問=忖，沒法判斷￡與B之間的關(guān)系，比如圓心為始點(diǎn)，終點(diǎn)在圓上的向量.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、如果￡+刃=0，那么￡〃書，故本選項(xiàng)正確；

D、如果）為單位向量，且￡=2鼠那么同=2,故本選項(xiàng)正確；

故選：B.

5.在△48C中，點(diǎn)。、E分別在34G4的延長線上，已知A8:/D=3：2,下列各式不能判定。E〃圓的

是............................................................................................

.......................()

A.AE:CE=2:5B.AC:AE=3:2C.CB.DE=3):2D.AC:CE=3:5

【答案】C

【詳解】解：A、根據(jù)NE:CE=2:5有/E:NC=2:3,結(jié)合43:4D=3:2則。石〃CB,故本選項(xiàng)正確，不符

合題意;

B、根據(jù)NC:/E=3:2和48:/。=3：2則有。￡〃。8,故本選項(xiàng)正確，不符合題意;

C、由C8:D￡=3:2,可知對(duì)應(yīng)邊成比例，但沒有對(duì)應(yīng)邊的夾角這一條件，不能判定三角形相似，所以不能

判定DE〃C3,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意;

D、根據(jù)NC:CE=3:5有/E:/C=2:3,結(jié)合48:4D=3:2則。E〃CB,故本選項(xiàng)正確，不符合題意;

故選：C.

6.已知線段a,b,c,求作線段x,使6x=ac,下列作法中正確的是)

【答案】D

Yn

【詳解】解：A、土=:,即云=公，但x是未知線段，不能畫出，故不符合題意;

cb

Xn

B、-=即仍=s,不符合題意；

bc

/7C

C、—=—,即辦=6°,不符合題意；

bx

c,b

D、-=即加=反，符合題意；

xa

故選：D.

第二部分（非選擇題共126分）

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.如果線段c是。、6的比例中項(xiàng)，且。=4,b=6,貝l|c=.

【答案】2屈

【詳解】解：?.?線段c是。、b的比例中項(xiàng)，

/=ab，

Q=4,b=6,

■■-C2=4x6=24,

解得c=2直,c=—2灰’（舍去），

故答案為：2旗.

8.已知線段=2,如果點(diǎn)尸是線段"的黃金分割點(diǎn)，且NP>3P,那么丑的值為

【答案】V5-1

【詳解】

解法一：???點(diǎn)P是線段48的黃金分割點(diǎn)，且/P>BP，AB=2,

,AP

..-------------,

AB2

即AP=J^-X2=45-1.

2

解法二：???點(diǎn)P是線段4B的黃金分割點(diǎn)，且"〉BP,AB=2,

.BP_AP

AB-APAP

o即n-------=——，

APAB

.2-APAP

??=,

AP2

整理得/尸=-1+右或4P=-1-石（不合題意，舍去）

AP=-l+45,

故答案為：-1+^5.

9.在RtZ\/3C中，ZC=90°,cos/=；,貝.

【答案】30。

【詳解】解：.?.在MA/BC中，ZC=90°,COSN=L,

2

...NA=60°，

:.ZB=90°-ZA=30°,

故答案為：30°.

3

10.如圖，在此A4BC中，乙4c5=90。，CDLAB,tanzDC5=-,AC=129貝ljBC二

【答案】9

【詳解】解：vz^CB=90°,

??24+48=90°,

-CDLAB,

.-.ZBCD+ZB=9O°,

二.乙BCD二AA,

在RtAACB中，

3--------BC

vtan/A=tanzBCD=—=-----,

4AC

33

：.BC=-AC=-xl2=9.

44

故答案為：9.

BE

11.如圖，直線4。，3c交于點(diǎn)O,ABIIEFIICD.^AO=2fOF=l,尸。=2.則=的值為

【詳解】vAB\\EF\\CDfAO=2,OF=1,

.BOAO_2

.而一而一T'

BO=2OE,

,,OEOF

?函―訪一］，

/.EC=WE,

.BE__20E+0E_3

-；

?,菽一__2OE2

3

故答案為：—.

12.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3:4,其中兩個(gè)三角形的周長差是12,那么大三角形的周長是

【答案】48

【詳解】解：???兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3:4,即相似比為3:4,

??.它們周長的比是3:4,

設(shè)小三角形的周長為3x,則大三角形的周長為4x,

由題意，可得4x-3x=12,

解得x=12,

貝lj4x=48,

???大三角形的周長為48.

故答案為：48.

AQ

13.在A4BC中，AB=AC,如果中線期與高仞相交于點(diǎn)G,那么不=_____.

AD

【答案】|2

【詳解】-AB=AC,

是等腰三角形，

??,AD是BC邊上的高

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可知AD也是BC邊上的中線

???中線W與高ZD相交于點(diǎn)G

???點(diǎn)G為ZL4BC的重心

AG2

.?茄一3

2

故答案為：—

14.如圖，在平行四邊形/3C。中，E為對(duì)角線/C上一點(diǎn)，設(shè)就=3，赤=小若AE=2EC,則皮=

【詳解】解：..?四邊形是平行四邊形，

DC//AB,DC=AB.

是4C上一點(diǎn)，AE=2EC,

AE=-AC,

3

\-AB=AE+EB=AE-BE=-a-b,

3

—?2一

DC=—ci—b,

3

2一

故答案為：-a-b.

15.如圖△Z5C中，5C=12cm,高4Q=8cm,正方形尸QW如圖所示，則正方形邊長尸0=

【詳解】解：如下圖，設(shè)/。與尸N交于點(diǎn)/,設(shè)正方形的邊長為、cm,

???四邊形PQW為正方形，

PN=MN=QM-PQ-xcm,PN//BC,

?.?江為△/BC的高，即

??.AI1.PN,

■:PN〃BC,

；,NAPN=/B,/ANP=/C,

/\APNs^ABC,

AIPN8-xx

——=——,即nn----=——

ADBC812

解得x=4.8cm,

??.正方形邊長4.8cm.

故答案為：4.8cm.

16.如圖，在ZUBC中，AB=6,BC=8,BP=^AB,。是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BQ=時(shí)，ABPQ

與△A4c相似.

oa

【答案】/或1

【詳解】?.?/3=6,BC=8,BP=；AB,

BP=2

當(dāng)與時(shí)，

,BP_BQ

.1_BQ

■-6-8'

解得：BQ=^.

當(dāng)ABPQs^BCA與時(shí)，

,BPBQ

.2BQ

"8"6'

3

解得：BQ=f

Q3

綜上所述：當(dāng)?或7時(shí)，AAP。與相似.

。2.

oa

故答案為：m或1

17.如圖，等邊ZUBC被矩形DEFG所截，EF//BC,線段48被截成三等份.若△4BC的面積為12cm?,

圖中陰影部分的面積為cm2.

【答案】4

【詳解】???線段48被截成三等份，

,AK2AH1

"AB"3'~AB~1＞，

■：EF//BC,

FAKNSAABC,

.SAAKN__4

9

SAABC~^AB~9

.S“KN__&

?Q="

一口qAKN3，

???四邊形。EFG是矩形，

EF//DG,

DG//BC,

:.AAHMSAABC,

.S&AHM_(4H2_j_

-S/一＜AB)q

4AHL

C1

.04AHM__1

,,^2—-~9,

.S=1

-24AHM3，

164

陰影部分的面積=Sw-S^AHM=----4.

故答案為：4.

18.已知，平行四邊形45co中，點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，在直線40上截取/尸=2ED,連接跖，EF交4c

【答案】|2■或2

【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長線交于H,

-??AB//CD,

.-.AEAF-AHDF,

.-.HD：AE=DF：AF=1:2,

即HD=-AE,

2

???AB//CD,

???△CHG-AAEG,

.-.AG：CG=AE：CH,

???AB=CD=2AE,

15

;.CH=CD+DH=2AE+-AE=-AE,

22

.-.AG：CG=2：5,

.-.AG：(AG+CG)=2：(2+5),

即AG：AC=2：7；

(2)點(diǎn)F在線段AD的延長線上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H,

AEB

---AB//CD,

.-.△EAF-AHDF,

/.HD：AE=DF：AF=1：2,

即HD=-AE,

2

???AB//CD,

/.AG：CG=AE：CH

vAB=CD=2AE,

13

.-.CH=CD-DH=2AE--AE=(AE,

22

/.AG：CG=2：3,

/.AG：(AG+CG)=2：(2+3),

即AG：AC=2：5.

22

故答案為：E或3.

57

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

cot45。

19.（10分）計(jì)算：3tan450-cot600+2|sin300-l|-----------------------------.

11tan600+2cos45°

cot45。

【詳解】解：3tan45°.cot60°+2|sin30°-1|-------———

tan60+2cos45

111

=3xlx—+2x

326+2*4.....................................2分

=V3+1-(V3-V2).....................................4分

=1+0.....................................10分

(1hc

20.(10分)已知線段。、b、。滿足大=:==，且Q+b+c=33,求線段。、b、。的長.

245

nhc

【詳解】解：設(shè)==—=：=碎。0),則。=2左,6=4左,。=5左..................2分

245

,??。+6+。=33,

??.2左+4左+5左=33,

解得后=3,.....................................4分

：.a=6,b=12,c=15....................................10分

21.（10分）如圖：在△/8C中，點(diǎn)。、E分別是六、/C的中點(diǎn)，設(shè)麗=[,BC^b.

A

⑴用向量￡、B分別表示下列向量：CD=,或=;

（2）在圖中作出向量癡分別在￡、?方向上的分向量.（不寫作法，保留痕跡，寫出結(jié)果）

【詳解】（1）解：,??點(diǎn)。、K分別是48、NC的中點(diǎn)，設(shè)強(qiáng)=3，BC^b.

—1—1--1—

；.BD=-BA=—a,CE=—CA,

22

CD=BD-BC

2

■■CA^BA-BC，

-.CE=^a-b),

..屈=」"$)=_￡+/

2、,22

(2)解：如圖，過E作EM〃/2交2C于X,

BMC

???點(diǎn)。、￡分別是48、/C的中點(diǎn),

DE//BC,

.?.四邊形DBME是平行四邊形，

二向量而，麗？是向量而分別在2、辦方向上的分向量;10分

22.（10分）如圖，在zX/BC中，。是BC上的點(diǎn)，E是4D上一點(diǎn)，^.―=—,ZBAD=ZECA.

A

⑴求證：/C2=3C.CQ；

⑵若￡是15。的重心，求AC%功2的值.

【詳解】(1)證明：在△AW和中，

ABAD

<^4C~~CE9

ABAD=/ECA

???ABADs4ACE中，

；"B=NEAC,

在4ABC和4DAC中'

J/5=NEAC,

[ZACB=ZDCAf

.?./\ABC^/\DAC,

ACBC

，~CD~^4C，

-AC2=BCCD；................................5分

(2)解：?〕BADs八ACE,

ABDA=NAEC,

；"CDE=NCED,

；.CD=CE,

???E是△45。的重心，

2

/.BC=2BD=2CD,AE=-AD,

3

-AC2=BCCD=2CD2,

,/△BADs"CE,

AD_BD

''~CE~~AE'

：.-AD2=BDCE,

3

.?.AD2=-CD2,

2

AC2_4

...............................10分

AD7-3

23.(12分)如圖，在直角梯形4BCA中,AB//DC,NDAB=90°,AB=16,CD=10,BC=645.

⑴求梯形/BCD的面積；

(2)連接班，求ND3C的正切值.

【詳解】(1)解：過C作CE1A8于E,

NADC=90°,

.-.ZA=ZADC=ZAEC=90°,

四邊形4DCE是矩形，

AD=CE,AE=CD=\0,

BE=AB—AE=6,

BC=6y/5,

■■CE=^BC2-BE2=12.

梯形4BCZ)的面積;=1x(10+16)xl2-156

:...............................6分

(2)解：過C作CHLBO于H,

AEB

???CD//AB,

；"CDB=/ABD,

?；/CHD=NA=9。。，

二公CDHs公DBA,

CHCD

,?萬一茄’

'-BD=ylAB2+AD2=7162+122=20,

CH10

~V2~20

CH=6,

由勾股定理得：BH=^BC2-CH2=12,

_CH_6

tan/D5C.................12分

~BH~12~2

24.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（20,0）和（0,15）,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)在

線段NO上以每秒2個(gè)單位長度的速度向原點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長度的速度向

上平行移動(dòng)（即￡尸〃無軸），分別與，軸、線段48交于點(diǎn)￡、F,連接EP、FP,設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸與動(dòng)直線斯

同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為fs.

⑴求/=9時(shí)，△尸防的面積.

（2）移動(dòng)過程中，是否存在這樣的/使得APE尸的面積等于40?若存在，請(qǐng)求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

⑶移動(dòng)過程中，是否存在/值使得以點(diǎn)E,O,P為頂點(diǎn)的三角形與△3CM相似？若存在，請(qǐng)直接寫出所有

滿足條件的/值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【詳解】（1）-：EF//OA,

ZBEF=NBOA

又；NB=NB,

:.ABEFS公BOA,

.EFBE

'~OA~~BO'

當(dāng)％=9時(shí)，OE=9,OA=20,05=15,BE=OB—OE=15—9=6,

5等3

:.Sp.=-EFOE^-xSx9=36；4分

M22

(2)不存在.

理由：;ABEFSABOA,

.所=些0=(157).2O2,

BO153V7

i4

.-.-x-(15-/)x/=40,

整理，得「一151+60=0,

?1?A=(-15)2-4x1x60=-15<0,

二方程沒有實(shí)數(shù)根.

二不存在使得△PEF的面積等于40的f值；.................8分

(3)當(dāng)/￡尸0=/3/。時(shí)，AEOPsABOA,

OPOE20-2Zt

：■——=——，即pn------=—,

OAOB2015

解得/=6；

當(dāng)=時(shí)，AEOPs"OB,

OPOE20-2Zt

：.——=——，即Bn------=—,

OBOA1520

解得f書.

on

二當(dāng)/=6$或/=曰$時(shí)，△￡(?尸與△BO/相似..................12分

25.(14分)如圖，RtZ\23C中，乙4。8=90。,4。=6,3。=8.點(diǎn)。為斜邊4B的中點(diǎn)，EDVAB,交邊BC

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為射線/C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0為邊3C上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持尸

備用圖

⑴求證：△皿3s△瓦)0；

⑵設(shè)==求丁關(guān)于%的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；

⑶連接P。，交線段即于點(diǎn)?當(dāng)△口＞尸為等腰三角形時(shí)，求線段"的長.

【詳解】（1）證明：???N/C5=90。，

???4+4=90。，

VED1AB,

/EDB=90。,

：.ZDEQ+ZB=90°,

.?.N4=ZDEQ,

又TPDIQP,

：,ZPDQ=90°,

ZEDQ+/PDE=/ADP+ZPDE=90°,

ZEDQ=ZADP,

.?.△3尸s