2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．2．1平面的基本性質(zhì)與推論1．了解異面直線的概念．2．理解平面的基本性質(zhì)．3．會(huì)證共點(diǎn)、共線、共面問題．1．平面的基本性質(zhì)文字語言圖形語言符號(hào)語言基本性質(zhì)1假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的全部點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．這時(shí)就說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則l?α基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，簡稱為不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面若A，B，C三點(diǎn)不共線，則有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本性質(zhì)3假如不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線α，β不重合，若A∈α，A∈β，則α∩β＝l且A∈l2．平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．共面與異面直線(1)空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，假如都在同一個(gè)平面內(nèi)，我們就說它們共面．假如兩條直線共面，那么它們平行或者相交．(2)我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的直線叫異面直線．(3)畫法：畫兩條異面直線時(shí)，為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點(diǎn)，即不共面的特點(diǎn)，通常采納平面襯托法，以加強(qiáng)直觀性，常見的畫法如圖．1．下列命題正確的是()①一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩條相交直線確定一個(gè)平面；③兩條平行直線確定一個(gè)平面；④四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．A．①③ B．②③C．③④ D．②③④答案：B2．用符號(hào)語言表示下列語句，并畫成圖形．(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點(diǎn)A、B；(2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點(diǎn)P；(3)直線l在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)；(4)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行．解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l．(2)l?α，P∈l，P∈α．(3)l?α，l?β．(4)α∩β＝l，m?α，m∥l．3．推斷下列圖形是否是平面圖形？為什么？(1)三角形；(2)平行四邊形；(3)隨意四邊形．解：(1)是．因?yàn)椴辉谕冀K線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．(2)是．因?yàn)閮蓷l平行直線確定一個(gè)平面．(3)不肯定是．因?yàn)樗梢允强臻g四邊形．4．兩條直線無公共點(diǎn)是否肯定平行呢？解：不肯定．在空間中，兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線可能平行，也可能異面．共面問題證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．【解】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：法一：(納入平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α．因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2．又因?yàn)閘2?α，所以B∈α．同理可證C∈α．又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α．所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：(協(xié)助平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個(gè)平面α．因?yàn)閘2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個(gè)平面β．因?yàn)锳∈l2，l2?α，所以A∈α．因?yàn)锳∈l2，l2?β，所以A∈β．同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．eq\a\vs4\al()(1)解決線共面問題的基本方法是：先由兩個(gè)推論確定出平面，然后再證明其余的線也在該平面內(nèi)；或由一部分線確定一個(gè)平面，由另一部分線確定另一個(gè)平面，再證明這兩個(gè)平面重合．(2)在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，需依據(jù)問題的詳細(xì)狀況進(jìn)行邏輯劃分，即分類探討．點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系有可能較為困難，需對(duì)全部情形逐一探討．在進(jìn)行分類探討時(shí)，需做到不重不漏．理解題意，依據(jù)公理，合理分類，分清各種位置的可能性，然后分別予以解決．求證：兩兩平行的三條直線假如都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a、b、c和l共面．證明：如圖．因?yàn)閍∥b，由推論3可知直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α．因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b．則A∈α，B∈α．而A∈l，B∈l，所以由基本性質(zhì)1可知l?α．因?yàn)閎∥c，由推論3可知直線b與c確定一個(gè)平面，設(shè)為β，同理可知l?β．因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l，且l∩b＝B，所以由推論2可知：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．所以平面α與平面β重合，所以直線a、b、c和l共面．多點(diǎn)共線問題在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面A1B1C1D1的對(duì)角線的交點(diǎn)，長方體體對(duì)角線A1C交截面B1D1A于點(diǎn)P．求證：O1，P，A三點(diǎn)在同始終線上．【證明】連接AC(如圖所示)．因?yàn)锳1C交截面B1D1A于點(diǎn)P，A1C?平面ACC1A1，所以P∈平面B1D1A，且P∈平面ACC1A1．又因?yàn)槠矫鍮1D1A∩平面ACC1A1＝AO1，所以P∈AO1(基本性質(zhì)3)，所以O(shè)1，P，A三點(diǎn)在同始終線上．eq\a\vs4\al()證明點(diǎn)共線問題常用方法(1)先找出兩個(gè)平面，再證明這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，從而依據(jù)基本性質(zhì)3判定他們都在交線上．(2)選擇兩點(diǎn)確定一條直線，再證另一點(diǎn)在這條直線上．1．已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接，且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn)，且直線EF和GH交于點(diǎn)P，如圖，求證：點(diǎn)B、D、P在同一條直線上．證明：因?yàn)橹本€EF∩直線GH＝P，所以P∈直線EF，而EF?平面ABD，所以P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即點(diǎn)P是平面ABD和平面CBD的公共點(diǎn)．明顯，點(diǎn)B、D也是平面ABD和平面CBD的公共點(diǎn)，由基本性質(zhì)3知，點(diǎn)B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交線上，即點(diǎn)B、D、P在同一條直線上．2．如圖所示，在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，P，Q分別為AB，C1D1的中點(diǎn)．求證：P，Q，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．證明：如圖所示，連接BC1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，P，Q分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，所以EF∥BC1，BC1∥PQ．所以EF∥PQ．所以E，F(xiàn)，P，Q四點(diǎn)共面．多線共點(diǎn)問題如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．【證明】(1)分別連接EF，A1B，D1C．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)A1B．又因?yàn)锳1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以四邊形A1D1CB是平行四邊形，所以A1B∥CD1，從而EF∥CD1．所以EF與CD1確定一個(gè)平面，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)如圖所示，因?yàn)镋Feq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD1，所以延長直線D1F和CE必相交，設(shè)D1F∩CE＝P．因?yàn)镈1F?平面AA1D1D，P∈D1F，所以P∈平面AA1D1D．又CE?平面ABCD，P∈EC，所以P∈平面ABCD．即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)，而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．eq\a\vs4\al()立體幾何是以平面幾何為基礎(chǔ)的，平面幾何中的一些結(jié)論在立體幾何中也適用，有些立體幾何問題可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，本例充分利用平面中兩線的位置關(guān)系，直線D1F與CE相交于點(diǎn)P，進(jìn)而證明P∈直線AD．已知三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線相交于同一點(diǎn)．證明：因?yàn)棣痢搔茫絙，β∩γ＝a，所以a?γ，b?γ．又由于直線a和b不平行，所以a，b必相交．設(shè)a∩b＝P，如圖，則P∈a，P∈b．因?yàn)閍?β，b?α，所以P∈β，P∈α．又α∩β＝c，所以P∈c，即交線c經(jīng)過點(diǎn)P．所以a，b，c三條直線相交于同一點(diǎn)．1．假如一條直線上有兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)，解答時(shí)抓住直線上的兩個(gè)點(diǎn)與平面的關(guān)系．2．證明多點(diǎn)共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．3．證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)．1．不共線的三點(diǎn)能確定一個(gè)平面，解答時(shí)首先分析所給的元素是否具有確定唯一平面的條件，再進(jìn)行計(jì)算或推理．2．平面的基本性質(zhì)3是確定兩個(gè)平面交線的基礎(chǔ)，解答時(shí)關(guān)鍵是找尋兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上，據(jù)此可得相應(yīng)結(jié)論．3．共面與異面是直線的兩種位置關(guān)系，解答時(shí)會(huì)用符號(hào)語言與圖形語言表示位置關(guān)系，能依據(jù)定義說明兩條直線共面還是異面，對(duì)于異面直線，要學(xué)會(huì)從理論上進(jìn)行說明．1．在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是()A．兩兩相交的三條直線B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C．三個(gè)點(diǎn)D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)答案：D2．假如直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：選A．因?yàn)镸∈a，N∈b，a?α，b?α，所以M∈α，N∈α．而M，N確定直線l，依據(jù)基本性質(zhì)1可知，l?α．故選A．3．假設(shè)一塊木板斜立在地面上，當(dāng)用一根木棒在后面撐住時(shí)，能使板面固定，這個(gè)道理是________．答案：過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面4．對(duì)于結(jié)論“若a?α且a∩b＝P，則P∈α”，用文字語言可以敘述為__________．答案：若直線a與直線b相交于一點(diǎn)P且直線a在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P肯定在平面α內(nèi)[學(xué)生用書P91(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列命題：①公理1可用集合符號(hào)敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；②四邊形的兩條對(duì)角線必相交于一點(diǎn)；③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四條邊作為平面邊界線；④梯形是平面圖形．其中，正確的命題個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A．①中應(yīng)為l?α；②中空間四邊形對(duì)角線異面；③中平面沒有界線，只有④正確．2．如圖，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線BCC．直線ABD．直線CD解析：選D．由題意知平面ABC與平面β有公共點(diǎn)C，依據(jù)基本性質(zhì)3，這兩平面必定相交，有且只有一條經(jīng)過點(diǎn)C的交線．由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以只要再找到兩平面的另一個(gè)公共點(diǎn)即可．明顯點(diǎn)D在直線AB上，從而它在平面ABC內(nèi)；而D在直線l上，所以它又在平面β內(nèi)，這樣D也是平面ABC與平面β的公共點(diǎn)．因此平面ABC與平面β的交線是直線CD．3．已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合解析：選C．選項(xiàng)C中，α與β有公共點(diǎn)A，則它們有過點(diǎn)A的一條交線，而不是點(diǎn)A，故C錯(cuò)．4．空間四點(diǎn)A，B，C，D共面但不共線，那么這四點(diǎn)中()A．必有三點(diǎn)共線B．必有三點(diǎn)不共線C．至少有三點(diǎn)共線D．不行能有三點(diǎn)共線解析：選B．若AB∥CD，則AB，CD共面，但A，B，C，D任何三點(diǎn)都不共線，故解除A，C；若直線l與直線外一點(diǎn)A在同一平面內(nèi)，且B，C，D三點(diǎn)在直線l上，所以解除D．故選B．5．如圖所示，AA1是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與AA1異面的棱共有()A．3條B．4條C．5條D．6條解析：選B．依據(jù)異面直線的判定定理找與AA1異面的棱．因?yàn)锳A1在面A1ABB1內(nèi)，B1在面A1ABB1內(nèi)，C1不在面A1ABB1內(nèi)，所以C1B1是與AA1異面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是與AA1異面的棱，故正確答案為B．6．已知點(diǎn)A，直線a，平面α．①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a?α?A?α；③A∈a，a?α?A?α．以上命題正確的個(gè)數(shù)為________．解析：①中“a∈α”符號(hào)不對(duì)；②中A可以在α內(nèi)，也可以在α外，故不正確；③中“A?α”符號(hào)不對(duì)．答案：07．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，推斷下列直線間的位置關(guān)系：(1)直線A1B與D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與B1C的位置關(guān)系是________．解析：題號(hào)結(jié)論緣由分析(1)平行因?yàn)锳1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)異面AB與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)答案：(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面8．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________(把正確圖形的序號(hào)都填上)．解析：圖形①中，連接MN，PQ(圖略)，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ，依據(jù)公理2的推論3可知兩條平行直線可以確定一個(gè)平面，故圖形①正確．分析可知③中四點(diǎn)共面，②④中四點(diǎn)均不共面．答案：①③9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線．證明：如圖，連接A1B，CD1，明顯B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．所以BD1?平面A1BCD1．同理BD1?平面ABC1D1所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．因?yàn)锳1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1．又因?yàn)锳1C?平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1．所以Q在平面A1BCD1與ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三點(diǎn)共線．10．在四面體A-BCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．證明：因?yàn)镋，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC．又因?yàn)镈F∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，從而FH∥GE．故E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．因?yàn)镕H∥AC，DH∶DA＝2∶5，所以FH∶AC＝2∶5，即FH＝eq\f(2,5)AC．又因?yàn)镋，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，所以GE＝eq\f(1,2)AC，所以FH≠GE，所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形，GH和EF交于一點(diǎn)，設(shè)為O．因?yàn)镺∈GH，GH?平面ABD，O∈EF，EF?平面BCD，所以O(shè)在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O(shè)在這兩個(gè)平面的交線上，而這兩個(gè)平面的交線是BD，且交線只有這一條，所以點(diǎn)O在直線BD上．故EF，GH，BD交于一點(diǎn)．[B實(shí)力提升]11．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線相互平行，則這三個(gè)平面把空間分成()A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分解析：選C．作出這三個(gè)平面的截面，如圖所示，把空間分為7部分，本題考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力．順當(dāng)作出截面是解決本題的關(guān)鍵，其中l(wèi)1，l2，l3是截線．12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，