專題06 分式與分式方程【考點精講】（原卷版）

專題06分式與分式方程一、分式分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因為0不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分二、分式運算分式運算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運算在分式的加減乘除混合運算中，應(yīng)先算乘除，進(jìn)行約分化簡后，再進(jìn)行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面的．運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．三、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.運用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗根【考點1】分式的概念及有意義的條件【例1】（2022·湖南懷化）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【例2】分式的值為零，則x的值為（）A.2B.﹣2C.±2D.任意實數(shù)分式有意義、無意義和值為零的條件（1）若分式eq\f(A,B)有意義，則B≠0（2）若分式eq\f(A,B)無意義，則B=0（3）若分式eq\f(A,B)=0，則A=0且B≠01．（2022·四川涼山）分式有意義的條件是（

）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠02．（2021·江蘇揚州市·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）A． B． C． D．3．（2022·湖北黃岡）若分式有意義，則x的取值范圍是________．4．（2022·廣西）當(dāng)______時，分式的值為零．5．（2021·浙江）一種鹽水，將m克鹽完全溶解于n克水后仍然達(dá)不到所需的含鹽質(zhì)量分?jǐn)?shù)，又加入了5克鹽完全溶解后才符合要求．則要配制的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為________．【考點2】分式的基本性質(zhì)【例3】如果把分式中的x和y都縮小到原來的一半，則分式的值（）A．縮小到原來的B．縮小到原來的C．不變D．?dāng)U大到原來的2倍【例4】（2021·福建三明·八年級期末）下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．分式約分的關(guān)鍵是確定分子和分母的公因式.1．分子、分母均為單項式.確定公因式的步驟2．分子或分母是多項式時,需要先將多項式因式分解,再求公因式.1．（2021·廣西岑溪·七年級期末）下列分式中，把x，y的值同時擴大2倍后，值不變的是（）A． B． C． D．2．（2021·遼寧沈河·八年級期末）下列各式從左到右的變形一定正確的是（）A．＝B．＝x﹣yC．＝D．＝3．（2021·湖北武漢·八年級期末）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．4．（2021·湖南長沙·八年級期末）將分式與通分，那么最簡公分母為________．5．（2021·貴州八年級月考）對分式通分后，的結(jié)果是（）A．B．C．D．【考點3】分式運算與化簡【例5】先化簡，再求值：（＋2－x）÷，其中x滿足x2－4x＋3=0.在運算過程中去括號時，括號前面是“﹣”，去掉括號和它前面的“﹣”號，括號里面的每一項都要改變符號分式混合運算應(yīng)注意的七點1．注意分式混合運算的順序.2．進(jìn)行分式與整式的加減運算時,可將整式視為分母為1的代數(shù)式,然后與分式進(jìn)行通分,再依照運算法則進(jìn)行運算.3．除法運算一定要轉(zhuǎn)化為乘法后再運算,如果分子、分母是多項式,可先將分子、分母因式分解,再進(jìn)行運算.4．分式的混合運算中,若有“A(B+C)”這種形式,且A·B,A·C均可約分時,可利用乘法分配律簡化運算.5．進(jìn)行分式的加減運算時,注意與分式方程的解法區(qū)別開來,不要“去分母”.6．化簡結(jié)果要最簡.7．代入求值時,盡可能用“整體代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化簡過程中出現(xiàn)的分式的分母為0.1．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．計算：__________．3．先化簡，再求值：，其中．4．（2022·四川成都）已知，則代數(shù)式的值為_________．5．（2022·新疆）先化簡，再求值：，其中．6．（2022·湖南邵陽）先化簡，再從－1，0，1，中選擇一個合適的值代入求值．．【考點4】分式方程的定義【例6】下列關(guān)于的方程中，不是分式方程的是（）A．B．C．D．1．已知方程：①；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A． B． C． D．2．下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【考點5】解分式方程【例7】（2022·四川成都）分式方程的解是_________．解分式方程的有關(guān)要點（1）解分式方程的基本思想是要設(shè)法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.（2）解分式方程時，方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根.（3）分式方程的檢驗方法：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.1．（2021·陜西蓮湖·八年級期末）已知是分式方程的解，則的值為（）A． B．1 C．3 D．2．（2022·湖南常德）方程的解為________．3．（2022·廣西玉林）解方程：．4．（2022·廣西梧州）解方程：【考點6】含參的分式方程【例8】（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為（）A．3 B．0 C． D．0或3【例10】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．分式方程無解兩種情形（1）分式方程化為整式方程后所得整式方程無解，則原程無解；（2）整式方程有解，但所求得的解經(jīng)檢驗是增根，此時分式無解。1．（2021·廣西賀州市·中考真題）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·四川宜賓市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（2022·四川德陽）關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞－1B．a(chǎn)＞－1且a≠0C．a(chǎn)＜－1D．a(chǎn)＜－1且a≠－24．（2022·四川遂寧）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或45．（2021·四川雅安市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則k的取值范圍是______．【考點7】分式方程的實際運用：行程【例11】（2022·四川樂山）第十四屆四川省運動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運會期間各場館用電設(shè)施的正常運行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練．現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修．維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度．1.（2021·黑龍江虎林·八年級期末）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為_________．2．（2021·上海市盧灣中學(xué)期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比騎車的速度慢．如果他騎車從城到城，再步行返回城共需要兩小時，那么小王跑步從城到城需要____分鐘．3．（2022·重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達(dá)地，求甲騎行的速度．4．（2022·四川自貢）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．【考點8】分式方程的實際運用：工程【例12】（2022·江西）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設(shè)甲每小時采樣x人，則可列分式方程為__________．1．（2021·四川宣漢·八年級期末）宣漢到達(dá)州要鋪設(shè)一條長35千米的管道，為了盡量減少施工對周邊居民生活造成的影響，實際施工時，每天鋪設(shè)管道的長度比原計劃增加20%，結(jié)果提前7天完成．設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道的長度為千米，則可列方程為（）A．B．C．D．2．（2021·貴州初二月考）2020年2月22日深圳地鐵10號線華南城站試運行，預(yù)計今年6月正式開通．在地鐵的建設(shè)中，某段軌道的鋪設(shè)若由甲乙兩工程隊合做，12天可以完成，共需工程費用27720元；已知乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍，且甲隊每天的工程費用比乙隊多250元．（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)選擇哪個工程隊？請說明理由．3．（2022·江蘇揚州）某