第01章 乘法公式與因式分解-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第1章乘法公式與因式分解【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————1．乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．2．因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，初中課本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．————高中知識(shí)鏈接————我們知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便，進(jìn)入高中后，我們會(huì)用到更多的乘法公式：（3）立方和公式；（4）立方差公式；（5）三數(shù)和平方公式；（6）兩數(shù)和立方公式；（7）兩數(shù)差立方公式．我們用多項(xiàng)式展開(kāi)證明式子（3），其余請(qǐng)自行證明：學(xué)-科網(wǎng)證明：因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等等．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．如果，那么代數(shù)式的值是（）A．6B．2C．-2D．-6【答案】A【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及到單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式、合并同類(lèi)項(xiàng)等，利用整體代入思想進(jìn)行解題是關(guān)鍵．2．若n滿(mǎn)足（n-2011）2+（2012-n）2=1,則（2012-n）（n-2011）等于（）A．－1B．0C．D．1【答案】B【解析】分析：首先設(shè)a=n－2011，b=2012－n，然后根據(jù)完全平方公式得出ab的值，從而得出答案．詳解：設(shè)a=n－2011，b=2012－n，∴a+b=1，，∴∴ab=1，即(n－2011)(2012－n)=1，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是完全平方公式的應(yīng)用，屬于中等難度的題型．解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是得出兩個(gè)代數(shù)式的和為1，這是一個(gè)隱含條件．3．已知：，則代數(shù)式的值是______．【答案】8【解析】分析：先將所求式子化簡(jiǎn)，然后將a2+a＝4整體代入計(jì)算即可求答案．詳解：＝＝，∵，∴原式＝4+4＝8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算、整體思想．正確進(jìn)行計(jì)算，并利用整體思想將式子的值直接代入是解題的關(guān)鍵．4．已知x2﹣2x﹣1=0．求代數(shù)式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．【答案】0【解析】分析：根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．詳解：原式=x2-2x-1+x2-4x+x2-4=3x2-6x-3∵x2-2x-1=0∴原式=3（x2-2x-1）=0【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．把下列各式分解因式：（1）（2）（2）（4）（5）（6）6．把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．【解析】（1）如圖1．1－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線(xiàn)上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－byx－ay－byxx圖4－11xy圖5－2611圖3－1－211圖2－1－2xx圖1說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖2所示）．（2）由圖3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖4，得＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如圖5）．7．求證：四個(gè)連續(xù)正整數(shù)（其中表示正整數(shù)）的積與1的和是完全平方數(shù)．證明：（方法一）由題意，所以得證．說(shuō)明：將看成整體進(jìn)行配方即可．（方法二）由題意得，要證明上式是完全平方數(shù)，只要證明上式等于一個(gè)式子的平方．令上式，從而求得，所以得證．高中經(jīng)典題型1．計(jì)算：（1） （2）（3） （4）說(shuō)明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿(mǎn)足乘法公式的結(jié)構(gòu)．（2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的．2．已知，試確定的值．解：由題設(shè)，得比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得，所以．3．把分解因式．【解析】把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式．說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試．4．把分解因式．【解析】按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．說(shuō)明：由此例可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用．5．把分解因式．【解析】把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是．6．把分解因式．【解析】先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．學(xué)科！網(wǎng)說(shuō)明：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．如果多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則的值是2．如果多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則的值是3．4．已知，，則5．把下列各式因式分解(1) (2)(3)(4)6．把下列各式因式分解：(1) (2)————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）；（2）（3）；（4）（5）；（6）2．運(yùn)用立方和與立方差公式計(jì)算：（1）（2）3．計(jì)算： (1) (2) (3) (4)4．若，則的值為( ) A． B． C． D．5．若，則____________；____________．6．已知，求的值．7．展開(kāi)8．計(jì)算9．計(jì)算10．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)11．已知，求代數(shù)式的值．12．證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除．13．已知，求證：．第1章乘法公式與因式分解答案1．乘法公式答案A組1．2．3．；4．5．(1)，∴．6．(1)