數(shù)學課堂探究：2離散型隨機變量的均值與方差（第2課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求離散型隨機變量的方差求離散型隨機變量的方差的步驟:（1）列出隨機變量的分布列;(2)求出隨機變量的均值；(3）求出隨機變量的方差．【典型例題1】袋中有20個大小相同的球,其中標記0的有10個，標記n的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、期望和方差；（2)若η＝aξ＋b，E(η）＝1,D(η）＝11,試求a，b的值．思路分析:（1)根據(jù)題意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．（2）運用E(η)＝aE(ξ）＋b，D（η)＝a2D（ξ)，求a，b.解：（1)ξ的分布列為：ξ01234Peq\f（1，2)eq\f（1,20）eq\f(1,10）eq\f（3，20）eq\f（1，5）則E(ξ）＝0×eq\f(1,2）＋1×eq\f（1,20)＋2×eq\f（1，10）＋3×eq\f(3，20）＋4×eq\f(1，5)＝1.5。D（ξ)＝（0－1.5）2×eq\f(1，2）＋（1－1。5）2×eq\f(1,20)＋（2－1。5）2×eq\f(1，10)＋（3－1.5）2×eq\f(3,20）＋（4－1。5）2×eq\f（1，5）＝2。75。（2)由D（η）＝a2D（ξ），得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E（η）＝aE(ξ）＋b，所以,當a＝2時，由1＝2×1。5＋b，得b＝－2；當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4。所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2,,b＝－2，)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝4.)）規(guī)律總結(jié)求離散型隨機變量的方差的關(guān)鍵是列分布列，而列分布列的關(guān)鍵是要清楚隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果．同時還要能正確求出每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率．探究二離散型隨機變量的方差的應(yīng)用離散型隨機變量的期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．因此在實際決策問題中，需先運算均值，看誰的平均水平高，然后再計算方差,分析誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．當然不同的情形要求不同，應(yīng)視情況而定．【典型例題2】2012年4月1日至7日是江西省“愛鳥周”，主題是“愛鳥護鳥觀鳥，共享自然之美”．為更好地保護鄱陽湖候鳥資源，需評測保護區(qū)的管理水平．現(xiàn)甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且候鳥的種類和數(shù)量也大致相等，兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：X0123P0.30。30.20.2Y012P0。10。50。4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．思路分析：要比較兩個保護區(qū)的管理水平,要先比較兩個保護區(qū)的違規(guī)事件的平均次數(shù)，然后比較其穩(wěn)定性，即方差．解：甲保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為E（X）＝0×0.3＋1×0.3＋2×0。2＋3×0.2＝1。3,D（X）＝(0－1。3）2×0.3＋（1－1。3)2×0。3＋（2－1。3）2×0。2＋（3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為E（Y）＝0×0。1＋1×0。5＋2×0。4＝1.3,D（Y）＝（0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0。5＋（2－1。3)2×0。4＝0.41。因為E（X）＝E(Y），D(X）＞D（Y),所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動較大，乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定．相對而言，乙保護區(qū)的管理更好一些．規(guī)律總結(jié)在解決此類問題時，應(yīng)先比較均值，若均值相等，再比較方差，方差較小的數(shù)據(jù)較穩(wěn)定．探究三兩點分布、二項分布的方差（1）如果隨機變量X服從兩點分布，則其方差D(X）＝p（1－p)（p為成功概率）．(2)如果隨機變量X服從二項分布即X~B(n,p）,則方差D（X）＝np(1－p)直接代入求解,從而避免了繁雜的計算過程．【典型例題3】一出租車司機從某飯店到火車站途中有六個交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率是eq\f(1，3）.(1)求這位司機遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2）若遇上紅燈,則需等待30秒，求司機總共等待時間η的期望與方差．解：（1)易知司機遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3）））,∴E（ξ）＝6×eq\f(1，3）＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,3）))＝eq\f（4,3）.（2）由已知η＝30ξ，∴E（η）＝30E（ξ)＝60，D（η)＝900D(ξ）＝1200。規(guī)律總結(jié)在解決有關(guān)均值和方差問題時，如果題目中離散型隨機變量符合二項分布，就應(yīng)直接代入公式求期望和方差,以簡化問題的解答過程．探究四易錯辨析易錯點機械套用公式致誤【典型例題4】已知隨機變量X的分布列為X01234P0。20.2a0.20。1求E(X）,D（X），D（－2X－3)．錯解：E（X)＝0×0。2＋1×0.2＋2×a＋3×0。2＋4×0。1＝1。2＋2a，D(X)＝[0－（1.2＋2a)]2×0。2＋[1－(1。2＋2a)]2×0.2＋［2－（1。2＋2a)]2×a＋［3－（1。2＋2a）］2×0。2＋[4－（1.2＋2a)］2×0。1＝（1。2＋2a)2×0。2＋(0。2＋2a)2×0。2＋（0.8－2a）2×a＋(1.8－2a）2×0。2＋（2。8－2a）2×0.1，D（－2X－3）＝－2D（X)．錯因分析:忽略了隨機變量分布列的性質(zhì)出現(xiàn)錯誤，這里只是機械地套用公式,且對D(ax＋b)＝a2D（x）應(yīng)用錯誤．正解:∵0.2＋0。2＋a＋0。2＋0。1＝1，∴a＝0.3.∴E(X