數(shù)學課堂探究離散型隨機變量的數(shù)學期望

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求離散型隨機變量的數(shù)學期望解決求離散型隨機變量的數(shù)學期望問題的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出離散型隨機變量的分布列，就可以套用數(shù)學期望的公式求解．對于aX＋b型隨機變量的數(shù)學期望，可以利用數(shù)學期望的性質(zhì)求解,也可以求出aX＋b的分布列，再用定義求解．【典型例題1】甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是eq\f(1，2)外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是eq\f（2，3）。假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．(1）分別求甲隊以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；（2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望．思路分析：(1）利用相互獨立事件的概率求解．(2)先列出X的所有值，并求出每個X值所對應的概率，列出分布列，然后根據(jù)公式求出數(shù)學期望．解：(1）記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2,3）)）3＝eq\f（8，27),P（A2)＝Ceq\o\al（2，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3))）2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2，3)）)×eq\f（2,3)＝eq\f（8,27），P（A3）＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,3)))2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(2，3））)2×eq\f(1，2）＝eq\f(4,27）.所以，甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為eq\f（8,27）,以3∶2勝利的概率為eq\f（4,27)。(2)設(shè)“乙隊以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)＝Ceq\o\al（2,4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（2,3))）2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3)））2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2)）)＝eq\f（4，27)。由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2，3，根據(jù)事件的互斥性得P（X＝0）＝P(A1＋A2）＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f（16，27），又P(X＝1)＝P（A3)＝eq\f(4，27),P（X＝2）＝P（A4)＝eq\f（4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P（X＝1)－P(X＝2）＝eq\f(3,27）.故X的分布列為X0123Peq\f（16,27）eq\f（4，27）eq\f（4,27）eq\f(3，27)所以E(X）＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4，27)＋2×eq\f（4，27）＋3×eq\f(3，27)＝eq\f(7,9)。探究二特殊分布的數(shù)學期望解決此類問題，首先應依據(jù)二項分布、二點分布及超幾何分布的特點，判斷隨機變量屬于哪一種分布，再寫出隨機變量的分布列,然后利用特殊分布的數(shù)學期望公式求解．【典型例題2】某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為eq\f（2,3）和eq\f(1，2)，且各棵大樹是否成活互不影響．求移栽的4棵大樹中:(1）兩種大樹各成活1棵的概率；(2）成活的棵數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望．思路分析：本題主要考查獨立重復試驗和分布列的應用，求解時可由二項分布求數(shù)學期望．解：設(shè)Ak表示甲種大樹成活k棵，k＝0,1，2，Bl表示乙種大樹成活l棵,l＝0,1，2，則Ak,Bl（k，l＝0,1，2）相互獨立，由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式，得P（Ak)＝Ceq\o\al(k,2）×eq\b\lc\（\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(\f(2,3)）)k×eq\b\lc\（\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(\f（1,3）)）2－k，P(Bl）＝Ceq\o\al（l，2)×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))l×eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)2－l。據(jù)此算得：P（A0)＝eq\f（1，9），P（A1)＝eq\f（4，9），P(A2)＝eq\f（4,9），P（B0）＝eq\f（1,4），P（B1)＝eq\f（1，2），P(B2)＝eq\f(1,4）。（1)所求概率為P（A1B1)＝P（A1）P（B1）＝eq\f(4，9）×eq\f（1，2）＝eq\f（2,9）。（2)（方法1）ξ的所有可能值為0,1,2,3，4，P(ξ＝0)＝P（A0B0)＝eq\f（1,9)×eq\f（1，4)＝eq\f（1,36),P（ξ＝1)＝P(A0B1）＋P(A1B0）＝eq\f(1，9)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,9）×eq\f（1，4）＝eq\f(1，6），P（ξ＝2)＝P（A0B2）＋P（A1B1)＋P（A2B0）＝eq\f（1,9)×eq\f(1,4)＋eq\f(4,9）×eq\f(1，2)＋eq\f(4，9）×eq\f(1,4）＝eq\f（13，36),P（ξ＝3）＝P(A1B2）＋P（A2B1）＝eq\f(4，9)×eq\f（1，4）＋eq\f（4，9)×eq\f(1,2)＝eq\f(1，3)，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝eq\f(4,9）×eq\f(1，4）＝eq\f（1，9).綜上知ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,36）eq\f（1,6)eq\f(13，36)eq\f（1,3）eq\f(1,9）從而，ξ的數(shù)學期望為E（ξ）＝0×eq\f（1，36）＋1×eq\f(1，6）＋2×eq\f（13，36)＋3×eq\f（1,3）＋4×eq\f(1,9)＝eq\f（7，3)(棵)．(方法2）分布列的求法同方法1，令ξ1，ξ2分別表示甲、乙兩種大樹成活的棵數(shù)，則ξ1~Beq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(2，\f（2,3）)），ξ2～Beq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(2，\f（1,2）)），所以E（ξ1）＝2×eq\f（2，3）＝eq\f（4,3)(棵)，E(ξ2）＝2×eq\f(1,2)＝1（棵），所以E（ξ）＝E(ξ1)＋E（ξ2）＝eq\f(4,3）＋1＝eq\f(7，3)(棵)．探究三期望的應用解決數(shù)學期望的應用問題，首先應把實際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應各事件發(fā)生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應的數(shù)學期望，隨機變量的數(shù)學期望反映的是離散型隨機變量取值的平均水平．在實際問題的決策中，往往把數(shù)學期望最大的方案作為最佳方案進行選擇．【典型例題3】某公司準備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務,現(xiàn)有A，B兩個項目可供選擇：①投資A項目一年后獲得的利潤X1（萬元）的分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的數(shù)學期望E（X1）＝12.②投資B項目一年后獲得的利潤X2(萬元）與B項目產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，B項目產(chǎn)品價格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且在4月和8月進行價格調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p。經(jīng)專家測算評估:B項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次）與X2的關(guān)系如下表所示：X(次)012X2（萬元）4。1211.7620。40（1）求a,b的值．（2)求X2的分布列．(3）若E（X1)＜E（X2），則選擇投資B項目，求此時p的取值范圍．思路分析：(1）由分布列的性質(zhì)及數(shù)學期望的計算公式列方程組求解．(2）利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率求解．（3)利用數(shù)學期望公式列出不等式求解．解：(1）由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋0.4＋b＝1，,11a＋12×0。4＋17b＝12，)）解得a＝0。5，b＝0。1.(2)X2的可能取值為4.12,11.76,20。40.P(X2＝4.12）＝（1－p)［1－(1－p)]＝p(1－p)，P（X2＝11.76）＝p[1－（1－p）]＋(1－p）(1－p）＝p2＋（1－p)2，P(X2＝20。40）＝p（1－p）．所以X2的分布列為X24.1211。7620。40Pp(1－p）p2＋(1－p）2p(1－p）(3)由(2)可得E（X2）＝4。12p（1－p）＋11。76［p2＋(1－p）2］＋20.40p（1－p)＝－p2＋p＋11。76.因為E(X1)＜E（X2）,所以12＜－p2＋p＋11.76.所以0.4＜p＜0。6。當選擇投資B項目時，p的取值范圍是（0.4，0.6）．探究四易錯辨析易錯點：對隨機變量X取值的意義理解錯誤而致誤【典型例題4】某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗；若試驗失敗，則再重新試驗一次；若試驗3次均失敗，則放棄試驗．若此人每次試驗成功的概率均為eq\f（2,3)，且各次試驗互不影響．求此人試驗次數(shù)X的數(shù)學期望．錯解：試驗次數(shù)X的可能取值為X＝1,2，3，P（X＝1)＝eq\f(2,3），P（X＝2)＝eq\f(1,3）×eq\f(2，3)＝eq\f(2，9)，P(X＝3）＝eq\f（1,3）×eq\f(1,3）×eq\f(2，3)＝eq\f（2，27)，所以X的概率分布如下表所示X123Peq\f(2,3）eq\f(2,9）eq\f(2，27）所以E(X)＝1×eq\f(2,3）＋2×eq\f（2，9）＋3×eq\f（2，27）＝eq\f（4,3).錯因分析:錯誤的主要原因是沒有明確隨機變量X的取值意義，X＝1表示一次試驗就成功，X＝2表示第一次失敗，第二次成功，由于試驗最多進行3次，所以X＝3表示前兩次失敗，第三次可能成功也可能失敗，所以P(X＝3）＝eq\f(1,3)×eq\f（1，3）×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f（2,3）＋\f（1，3)))＝eq\f(1,9).因此,在求隨機變量取各值的概率時，務必理解各取值的實際意義，以免出錯．正解：試驗次數(shù)X的可能取值為1,2，3，P(X＝1）＝eq\f（2，