平面向量復(fù)習(xí)課件

精選精選平面向量復(fù)習(xí)基本知識點及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。(2)零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；uuur uuur(3)單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是±番)；|AB|(4)相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；(5)平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量〃、b叫做平行向量，記作：a〃b，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概數(shù)兩個向量平行包含兩個向量共線r但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！(因為有0)；④三點A、B、C共線=AB、AC共線；—fc- -b-(6)相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。2、向量的表示方法：(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點在前，終點在后;-b —ft —fc-(2)符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；(3)坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與％軸、J軸方向相同的兩個單位向量i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為rrra=xi+yj=(X,y),稱(x,y)為向量a的坐標，a=(x,y)叫做向量a的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量訪有且只有一對實數(shù)入、入，使a=九q+九e,。TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22b i4、實數(shù)與向量的積：實數(shù)九與向量a的積是一個向量，記作九a,它的長度和方向規(guī)定如下：(1\ rr\1)入a=|X|a卜(2)當九>0時，入a的萬向與a的萬向相同，當九<0時，入a的萬向與a的萬向相反，當九rr ,=0時，入a=0,注意：入aW0。5、平面向量的數(shù)量積：5、平面向量的數(shù)量積：. .uuuruurr(1)兩個向量的夾角：對于非零向量a,b，作0A=a,OB=b,ZAOB=0兀-a,b反向，當0=二時，a,2(0?0?兀)稱為向量a,b的夾角，當0兀-a,b反向，當0=二時，a,2b垂直。rr .(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為0,我們把數(shù)量IaIIbIcos0叫做ar rr rr rr與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：a?b,即a?b=abcos0。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。一_ rb在a上的投影為IbIcos0,它是一個實數(shù)，但不一定大于0。r.a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模IaI與b在a上的投影的積。向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a,b,其夾角為0，則:①a±boa?b=0；②當a,b②當a,b同向時，frrra?b=ab,特別地，ra2—* T —fe- T當a與b反向時，a?b=r. rr當r. rr當0為銳角時，a?b>0,且a、b不同向，- -.rr時，a?b<0,且a、b不反向，rra?b>0是0為銳角的必要非充分條件；當0為鈍角rra?b<0是0為鈍角的必要非充分條件;

rra?brr.rr.③非零向量a,b夾角0的計算公式：cos6=-rr-；@Ia?bl<laIIbl。aibi6、向量的運算：(1)幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行溫s；平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a與b的和，即rruuntuutrumra+b=AB+BC=AC.uuuruurrrruuauuruur②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB=a,AC=b，那么a—b=AB—AC=CA，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。(2)坐標運算：設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則:riri22①向量的加減法運算：a土b=(5土x2,yi±y)。②實數(shù)與向量的積：入a=1(x,y)=(1x,九y)。uUu1 1 1③若A(x,y),B(x,y)，則AB=(x—x,y—y),即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段1 1 2 2 2 1 2 1的終點坐標減去起點坐標；丫④平面向量數(shù)量積：a?b=xx+yy。r 1r2r~2⑤向量的模：Ial=?x2+y2,a2=laI2=x2+y2。⑥兩點間的距離：若A(x⑥兩點間的距離：若A(x,y),B(x,y)，則IABl二丘 -11 2r2rrr (2r)1 r7、向量的運算律：(1)交換律：a+b=b+a,1*a7=(X^)a，一y產(chǎn)2r1r,a?brrr(rr)rrrrr(rr) (r)r(rr)r(r)a+b+c=a++b/+c,a一b一c=a一%+c), 1ay?b=1Q?b)=a?1bb)；rrr(rr)rr(rr)rrrrr+pja=1a+日a,1a+b==1a+1b,a+b??c=a?c+b?crr=b?a；(2)結(jié)合律:(3)分配律：如下列命題中：①rraa?b⑦ka2r

b

=r;aa?(力-~c)=a.力一日?c；②a?(力?c)=(a.力)?c；③rraa?b⑦ka2r

b

=r;a- 一4 3a一一 rrrrrrrr-21aI?I bI+IbI2；④若a?b =0,則|a =0或b=0 ；⑤若a?b=c?b,則a=c ；⑥[a2=a2rrrrrrrrrr⑧(a?b)2=a2?b2；⑨(a一b)2=a2-2a?b+b2。其中正確的是(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c)牛(a?b)c,為什么？rrrrrrrr8、向量平行(共線)的充要條件：a//b。a=1b。(a?b)2=(IaIIbl)2。xy—yx=0。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"rr rrrrrr 12 129、向量垂直的充要條件：a±boa?b=0oIa+bl=la一bI。xx+yy=0.特別地uua uur uua uur 1212/aBB AC x /aBB ACxIinmr-k7〃〃p 1 1 inmr—7〃〃p1^U/Ur' ^U/u/I' ^U/Ur' ^U/U/I'.)。AB AC AB AC10.線段的定比分點：(1)定比分點的概念：設(shè)點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù)1，使uuruuur 皿12 1 2uuur ?PP=1PP,則1叫做點P分有向線段PP所成的比，P點叫做有向線段PP的以定比為1的定比分點；1 2 12 12(2)1的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當P點在線段PP上時O1>0；當P點在線段PP的12 uuu；12延長線上時o1<—1；當P點在線段pP的延長線上時0-1<1<0；若點P分有向線段PP所成的2 1 12

uuur 1比為九，則點uuur 1比為九，則點P分有向線段P2P所成的比為其。

mum(3)線段的定比分點公式：設(shè)P(x,y)、P(x,y),P(羽y)分有向線段PP所成的比為九,則x+入xX= —^21+九y+入y，y=——1+九特別地當九=1時，就得到線段p1p2的中點公式112X+XX=-A 22y+y。在使用定比分點的坐y= 22標公式時，應(yīng)明確(X,y)，(x,y)、(X,y)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應(yīng)11 22根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比九。r11.平移公式：如果點P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x:y')，則[x=x+h；曲線f(x,y)=0按向r [y'=y+k量a=(h,k)平移得曲線f(x—h,y—k)=0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊!12、向量中一些常用的結(jié)論：⑴一個封閉圖形首尾連接而呼的向量和為零向rsr要注意運用；rrrr(2)IIaI-Ib11<1a土b1<1aI+IbI，特別地，當a、b同向或有0OIa+b1=1aI+IbIrrrrrr rrrrrrrrrrr>IIaI-1bII=Ia-bI；當a、b反向或有0OIa-bI=IaI+1bI>IIaI-1bII=Ia+bI；當a、b不共線rrrrrrOIIaI-IbII<Ia±bI<IaI+IbI(這些和實數(shù)比較類似).(3)在AABC中，①若A(x,y),B(x,y),C(x,y)，則其重心的坐標為1 1 2 2 3 3(x+x+xv+v+v、umr4uuuuuruumG-^—2一3,y1*y3 。②PG=3(PA+PB+PC)OG為AABC的重心，特別地I3 3 ) 3uuruuruurrPA+PB+PC=0OP為AABC的重心；uuuuuruurmummumuur，③PA-PB=PB-PC=PC-PAOP為AABC的垂心；uurumr④向量九(JAL+JUC-)(九豐0)所在直線過AABC的內(nèi)心(是/BAC的角平分線所在直線)；IABIIACIuumumrumuuuruuruuur⑤IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oPAABC的內(nèi)心；mum uuumuuum(3)若P分有向線段PP所成的比為九，點M為平面內(nèi)的任一點，則M=邛+'叫，特別地P為TOC\o"1-5"\h\z12 1+九uumruuummurmp+mpPP的中點oMP=一1 2；12 2uuruuuumr 1mmmm 1m(4)向量PA、PB、PC中三終點A、B、C共線o存在實數(shù)a、P使得PA=aPB+PPC且平面向量部分常見的題型練習(xí)類型(一)：向量的夾角問題 1T T 一 一十 fT.平面向量a,b，滿足口=1,b|=4且滿足a.b=2，則a與b的夾角為—F—F- —i.—a..已知非零向量a,b滿足a=b，bKb-2a)，則a與b的夾角為—*■f .T.■ I-I !"■I f—■.已知平面向量a,b滿足(a-b).(2a+b)=-4且a|=2，b|=4且，則a與b的夾角為類型(二)：向量共線問題TOC\o"1-5"\h\z--^+- ——fc1,已知平面向量a=(2,3x)，平面向量b=(—2,—18),若a〃b，則實數(shù)x.設(shè)向量a=(2,1),b=(2,3)若向量九0+b與向量c=(一4，一7)共線，則九二.已知向量a=(1,1),b=(2,x)若a+b與4b—2a平行，則實數(shù)x的值是( )A．-2B．0 C．1 D．24已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10),且A,B,C三點共線，則Uk= .已知A(1,3),B(—2,—3),C(x,7),設(shè)AB=a,BC=b且a〃b,則x的值為()(A)0 (B)3 (C)15 (D)18類型(三):向量的垂直問題TOC\o"1-5"\h\z-H- —￥?.已知向量a=(x,1),b=(3,6)且a1b，則實數(shù)x的值為.已知向量a=(1,n),b=(—1,n)，若2a一b與b垂直，則a=? 1 一 i.已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b與2a-4b垂直，求實數(shù)k的值.已知|a|=2,|b|=4，且a與b的夾角為巳，若ka+2b與ka—2b垂直，求k的值。類型(四)投影問題Hl一「一 c2兀 二 一=5,b=4,,a與b的夾角9=—，則向量b在向量a上的投影為.在Rt△ABC中，/C=-,AC=4,則AB.AC=2-b— —?-b —I* -K.關(guān)于ab=a.c且a豐0，有下列幾種說法：①a1(b—c)；②b1c;③a.(b—c)=0④b在a方向上的投影等于c在a方向上的投影：⑤b二九a=⑥b=c其中正確的個數(shù)是( )(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個類型(五)求向量的模的問題1,已知零向量a=(2,1),a.b=10,a+b=5、⑵則b=

2.已知向量a,b滿足a=1,|b|=2,a-b3.4．已知向量a=(1,\；3)2.已知向量a,b滿足a=1,|b|=2,a-b3.4．已知向量a=(1,sin°),b=(1,cos。),則a—b的最大值為類型(六)向量積問題uuuruuuuruuuruuuruuur等于( )4A.94B.34C.-34D.-91、(2009陜西卷文)在AABC中,M是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足學(xué)PA等于( )4A.94B.34C.-34D.-9類型(六)平面向量基本定理的應(yīng)用問題1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2),則1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2),則c等于(3?1,(C)2a-2b1-33(B)-2a--b3--1/(D)-2a+2b2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),求求口4的值，使c=Xa+Rb.設(shè)e,e是平面向量的一組基底，則當X=1211.下列各組向量中,可以作為基底的是()(A)e=(0,0),e=(1,-2)(B)e=(-1,2),e=(5,7)(C)e=(3,5),e=(6,10)(D)e=(2,-3),e125.a=(1,1),b=(—1,1),c=(4,2)，則Jc=()3a+b3a-b (C)-a+3b(D)a+3b兀■6已知3,|b|=2,a與b的夾角為—,c=a+2b,d=ma-6b(mgR)6已知(1)當m