平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納

-標(biāo)準(zhǔn)化文件發(fā)布號(hào)：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-Kn#若1=（x,y）,貝中『=/+廣或同二次可7.設(shè)1=（%,乂），5=（x2,y2）,則己_L6OxLx2+y\y2=0.設(shè)。、〃都是非零向量，1=（七,）［）,5=（&,尤），夕是1與6的夾角，貝ijab%乂+%刈cosO=——二= __.a\b收+）:"；+￡知識(shí)鏈接：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類(lèi)比而得.下面對(duì)空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向■和平面的法向?.直線的方向向量：若A、B是直線/上的任意兩點(diǎn)，則A片為直線/的一個(gè)方向向量；與A月平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.⑵.平面的法向量：若向量百所在直線垂直于平面明則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面％記作1_La,如果3la,那么向量［叫做平面a的法向量.⑶，平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.②設(shè)平面a的法向量為］=（x,y,z）.③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)￡二（《,外,生），了=（4，a，4）.?一-?〃?a=0④根據(jù)法向量定義建立方程組《一一./?/?=0⑤解方程組，取其中一組解，即得平面。的法向量.1、用向■方法判定空間中的平行關(guān)系（1）線線平行設(shè)直線44的方向向量分別是。、兒則要證明乙〃心只需證明?！碼=kb（keR）.即：兩直線平行或重合O兩直線的方向向量共線。⑵線面平行①（法一）設(shè)直線/的方向向量是。，平面。的法向量是“，則要證明/〃a,只需證明。_L〃，即g〃=0.即：直線與平面平行=直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②）（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面。的法向量為〃，平面。的法向量為L(zhǎng)要證a〃0，只需證〃〃v,即證〃=41即：兩平面平行或重合O兩平面的法向量共線。3、用向■方法判定空間的垂直關(guān)系⑴線線垂直設(shè)直線乙，的方向向量分別是則要證明乙，\只需證明［，瓦即即：兩直線垂直.兩直線的方向向量垂直。⑵線面垂直①（法一）設(shè)直線/的方向向量是心平面。的法向量是晨則要證明11a,只需證明即4=%》.②（法二）設(shè)直線/的方向向量是。，平面。內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為m>n,右<，則/_La.。-〃=0即：直線與平面垂直=直線的方向向量與平面的法向量共線=直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面a的法向量為『平面/的法向量為正要證只需證力，1即證〃?v=0.即：兩平面垂直"兩平面的法向量垂直。4、利用向■求空間角⑴求異面直線所成的角已知。，方為兩異面直線，A,C與B,D分別是。力上的任意兩點(diǎn)，。力所成的角為仇acbd\貝IJcos0=_.時(shí)叫⑵求直線和平面所成的角1定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.②求法：設(shè)直線/的方向向量為以平面a的法向量為〃，直線與平面所成的角為夕。與〃的夾角為口則。為°的余角或。的補(bǔ)角角為夕。與〃的夾角為口則。為°的余角或。的補(bǔ)角的余角.即有：a'U的余角.即有：a'Usin0=|cos時(shí)=-^-=7au⑶求二面角1定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角是指在二面角a-/-。的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AO_L/,6O_L/,則405為二面角a-/—。的平面角.②求法:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為正、加再設(shè)正、5的夾角為口二面角。一/_々的平面角為內(nèi)則二面角6為石、［的夾角?；蚱溲a(bǔ)角冗一。根據(jù)具體圖形確定0是銳角或是鈍角：m-n?如果。是銳角，則COSB=|COSW==^,mnI? —〃八n即，=arccos■——；mntn-n?如果6是鈍角,貝IJcosd=—|cos8|=-=T7mn

5、利用法向■求空間距離⑴點(diǎn)Q到直線'距離若Q為直線/外的一點(diǎn)，P在直線/上，口為直線/的方向向量，b=PQ,則點(diǎn)Q到直線/距離為 "詰"列"為一"2⑵點(diǎn)A到平畫(huà)區(qū)的距離若點(diǎn)尸為平面。外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面。內(nèi)任一點(diǎn)，平面。的法向量為n,則P到平面。的距離就等于壞在法向量環(huán)方向上的投影的絕對(duì)值.即"=MPcos(〃,M戶)\n-MP即"=MPcos(〃,M戶)\n-MP="P1 1\nMP小MPn(3)直線上與平面3之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí),直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知,直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任-離。即1:H⑷兩平行平面之間的距離一點(diǎn)到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距利用兩平行平面間的距離處處相等,可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即離。即d=n.煙⑸異面直線間的距離設(shè)向量〃與兩異面直線。，〃都垂直，M￡4,PsA則兩異面直線。力間的距離d就是赤在向量3方向上投影的絕對(duì)值。n-MP即d=6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直.那么它也和這條斜線垂直.P01a,Owa推理模式：PA[}a=Aaua,a±OA概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直.那么它也和這條斜線的射影垂直.PO_La,Osa推理模式：PA^a=A ^alAOaua.a±AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設(shè)AC是平面。內(nèi)的任一條直線，AD是。的一條斜線AB在。內(nèi)的射影,且BD1AD,垂足為D.設(shè)AB與。（AD）所成的角為％,AD與AC所成的角為名，AB與AC所成的角為夕.則cos0=cos0.cos夕、.X 一8、面積射影定理已知平面。內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S（S原），它在平面。內(nèi)的射影圖形的面積為S〈S射），平面。與平面。所成的二面角的大小為銳二面角色則3"三=包.SS原9、一個(gè)結(jié)論展度無(wú)7的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為卜/,、加夾角分別為4、%。3,則有 /2= <=>cos2+COS2+cos;0,=1<=>sin2q+sin2&+sur凡=2.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.基礎(chǔ)練習(xí)一選擇題.如圖，點(diǎn)。是正六邊形爐的中心，則以圖中點(diǎn)A,B,C,D,E,凡。中的任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()A.6個(gè) B.7個(gè)C.8個(gè) D.9個(gè)解析：選D.與向量共線的向量有，，，，，，，，共9個(gè)，故選D..設(shè)不共線的兩個(gè)非零向量級(jí),心，且封門(mén)+益)〃(q+心2),則實(shí)數(shù)k的值為( )A.1B.-1C.±1D.0答案：A.已知向量是不共線向量仃，G，給出下列各組向量：①。=26，b=ei+e2i?a=2el—e2>b=—ei+；G；③a=ei+e2,b=—2ei—2ei；④a=ei+e2,b=eL"其中共線的向量組共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案：B.己知E、F分別為四邊形ABCD的邊CD、8c邊上的中點(diǎn)，設(shè)=a,=b,則=A.g(a+b) B.—+b)C./(a—b) D-(/?—a)答案：B.下列計(jì)算正確的有()①(一7)x6。=-42m②a—2b+(2a+2b)=3a：③a+/?-（4+/?）=0.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析：①對(duì)，②對(duì)，③錯(cuò)，因?yàn)椤?/?—（。+））=0.答案：C.化簡(jiǎn)一+所得結(jié)果是（）A? B.C?0D?答案：c.在"BC中,||=||=||=1,則|一|的值為（ ）A.0B.1 C幣 D.2答案：B.已知向量?！ā?，且同＞|切＞0,則向量。+人的方向（）A.與向量。方向相同B.與向量。方向相反C.與向量〃方向相同D.與向量〃方向相反答案：A.在平行四邊形ABCO中，對(duì)角線AC與30交于點(diǎn)。，+=九則2=答案：2.向量（+）+（+）+等于（）A?B.C?D?解析：（+）+（+）+=（+）+（+）+=++=.故選c.答案：C.如果6八62是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么（）A.若實(shí)數(shù)3、使九6/+4202=。，則九=22=。B.空間任一向量。可以表示為4=2⑼+后62,這里々、心是實(shí)數(shù)C.對(duì)實(shí)數(shù)力、入2,九一+入e2不一定在平面a內(nèi)D.對(duì)平面a中的任一向量。，使⑼+心々的實(shí)數(shù)九、心有無(wú)數(shù)對(duì)答案：A.如果3門(mén)+462=。,261+3改=從其中a,b為已知向量，則ei=答案：ei=3a—4b益=-2a+3〃.設(shè)內(nèi)，G是平面內(nèi)一組基底，如果=36-2e?,=4ei+G，=3ei—9e2f則共線的三點(diǎn)是()A、B、C B.B、C、DC.A.B、D D.A、。、D答案：C4.設(shè)4，&是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下而四組向量中，不能作為基底的是()A.仃+仁和3仃-2q和4e2—6(?i61+262和6?+261D.女和61+62解析：???4e2—6ei=-2(34一2女)，A3^i—2^2與4e2~6ei共線，故選B.答案：B.若=(2,3),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(1,1) B.(-b1)C.(3,5) D,(4,4)答案：C.已知平行四邊形Q4BC(。為原點(diǎn))，=(2,0),=(3,1),則OC等于()A.(1,1) B.(1,-1)

C.(一C.(一1，-1)D.(-14)解析：==-=(3J)-(2,0)=(1,1),故選A.答案：A.若向量a=(l,l),b=(l,-1),c=(—l,2),則。等于(答案：B.若a=(2,3),b=(4,—1+y),且則y=( )A.6B.5C.7D.8答案：C32.已知點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，="+t,若=九則2等于()a]b.4 c.1^ d.1解析：用，表示向量，.解析：用，表示向量，.答案：DTOC\o"1-5"\h\zL若向量。、方滿足同=r=1,。與6的夾角為6足,則。等于( )1 3A- B-C.1+坐 D.2解析:選Baa+a"=|aF+|a憫85600=1+；=,.2.設(shè)a,b,c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()A.(ab)c—(c-a)b=0B.。?〃=0=。=0或b=0C.(Zrc)。一(a,c)b不與c垂直D.{3a+4by(3n-4b)=9|a|2-16|/?|2

解析：選D,由于數(shù)量積是實(shí)數(shù)，因此g乃)c,9aM分別表示與c,b共線的向量，運(yùn)算結(jié)果不為0,故A錯(cuò)誤；當(dāng)(山,。與〃都不為零向量時(shí)，也有。為=0,故B錯(cuò)誤；[(b-c)a—(a-c)b]c=(bc)ac—{auc)bc=0,故C錯(cuò)誤：(3n+4h)(3a—4b)=9a2—16b2—12a-b+12a-b=9|肝一16|年.TOC\o"1-5"\h\z.。=(-4,3),b=(5,6),則3間2—4。必等于( )A.23 B.57C.63 D.83解析：選D.V|rz|=y](—4)2+32—5,。力=—4x5+3x6=—2, 3|a|2—467-Z?=3x52—4x(—2)=83.故選D..已知A(2,1),8(3,2),C(-l,4),則△,48。是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.任意三角形解析：選B」=(l,1)-(-3,3)=—3+3=0.故選B.1.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，已知過(guò)點(diǎn)(0,今的直線交函數(shù)的圖象于A、B兩點(diǎn),則?的值為()TOC\o"1-5"\h\z4A-4 B-3C-- D --? 3解析：選C.由題意知直線的斜率存在可設(shè)為k,則直線方程為y=kx+^,與尸*聯(lián)立得;.\x2—2kx—1=0,AxiX2=-1,Xi+x2=2k,yiv：=■+鄉(xiāng)(丘+'=.修4+；+""|=一4+爐+；=；,. , 1,1 3.??=總改+)，1竺=-1+w=一1二填空題2.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量旭與向量是平行向量，與是共線向量，則機(jī)■解析：:A,B,。不共線，，與不共線，又必與，都共線，A/n=0.答案：06.已知11=⑷=3,11=1)1=3,AAOB=120°,則1〃+81=答案：35.已知向量〃，〃不共線，實(shí)x,y5.已知向量〃，〃不共線，實(shí)x,y滿足(3x—4y)”+(2x—3y)〃=6a+3b9貝!)x—y=解析：由題意，得3x—4y=6且2r—3y=3,解得x=6,y=3,Ax—j=3.答案:36.如下圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G,若=。,=b,用。、力表示=解析：???￡、戶分別為相應(yīng)邊中點(diǎn),33 3 3???=4=4（。+〃）=乃+/?~ 3 3答案:京+力4.已知。=（1,2）4.已知。=（1,2）,b=（2,3）,實(shí)y滿足xa+yb=(3,4),則*=答案：一1.若將向量。=(小,1)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)]得到向量b,則b的坐標(biāo)為.答案：(-L小).已知平行四邊形A3CD中，A(l,l),B(6,l),C(8,5),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.答案：(3,5).作用于原點(diǎn)的兩個(gè)力Fi=(2,2),尸2=(1,3),為使它們平衡，需加力尸3=答案：(-3,-5).已知口ABC。四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4(5,7),以3,x),C(2,3),D(4