2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價(jià)一含解析新人教A版必修第一冊

PAGE10-單元素養(yǎng)評價(jià)(一)(第一、二章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分，共40分)1.不等式14-5x-x2<0的解集為 ()A.{x|-7<x<2} B.{x|x<-7或x>2}C.{x|x>2} D.{x|x<-7}【解析】選B.原不等式等價(jià)于x2+5x-14>0，所以(x+7)·(x-2)>0，即x<-7或x>2，故選B.2.若a，b，c∈R且a>b，則下列不等式成立的是 ()A.a2>b2 B.QUOTE<QUOTEC.a|c|>b|c| D.QUOTE>QUOTE【解析】選D.選項(xiàng)A：a=0，b=-1，符合a>b，但不等式a2>b2不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B：當(dāng)a=0，b=-1符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故QUOTE<QUOTE不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C：當(dāng)c=0時(shí)，a|c|>b|c|不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D：因?yàn)閏2+1>0，所以依據(jù)不等式的性質(zhì)，由a>b能推出QUOTE>QUOTE.3.QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為 ()A.9 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)?6≤a≤3，所以3-a≥0，a+6≥0，所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)a=-QUOTE時(shí)，等號成立，即QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為QUOTE.4.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 ()A.QUOTE B.RC.QUOTE D.?【解析】選A.因?yàn)棣?a2+4m>0，所以函數(shù)y=mx2-ax-1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)閙>0，所以原不等式的解集不行能是B，C，D選項(xiàng).5.某市原來居民用電價(jià)為0.52元/kW·h，換裝分時(shí)電表后，峰時(shí)段(早上八點(diǎn)到晚上九點(diǎn))的電價(jià)為0.55元/kW·h，谷時(shí)段(晚上九點(diǎn)到次日早上八點(diǎn))的電價(jià)為0.35元/kW·h.對于一個(gè)平均每月用電量為200kW·h的家庭，換裝分時(shí)電表后，每月節(jié)約的電費(fèi)不少于原來電費(fèi)的10%，則這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量至多為 ()A.110kW·h B.114kW·hC.118kW·h D.120kW·h【解析】選C.設(shè)每月峰時(shí)段的平均用電量為xkW·h，則谷時(shí)段的用電量為(200-x)kW·h；依據(jù)題意，得：(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)≥200×0.52×10%，解得x≤118.所以這個(gè)家庭每月峰時(shí)段的平均用電量至多為118kW·h.6.已知2a+1<0，則關(guān)于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是 ()A.{x|x<5a或x>-a}B.{x|x>5a或x<-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}【解析】選A.方程x2-4ax-5a2=0的兩根為-a，5a.因?yàn)?a+1<0，所以a<-QUOTE，所以-a>5a.結(jié)合二次函數(shù)y=x2-4ax-5a2的圖象，得原不等式的解集為{x|x<5a或x>-a}，故選A.7.若0<x<QUOTE，則函數(shù)y=xQUOTE的最大值為 ()A.1 B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)?<x<QUOTE，所以1-4x2>0，所以xQUOTE=QUOTE×2xQUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)2x=QUOTE，即x=QUOTE時(shí)等號成立.8.(2024·攀枝花高一檢測)某公司從2024年起每人的年工資主要由三個(gè)項(xiàng)目組成并按下表規(guī)定實(shí)施：項(xiàng)目計(jì)算方法基礎(chǔ)工資2024年1萬元，以后每年逐增10%住房補(bǔ)貼按工齡計(jì)算：400元×工齡醫(yī)療費(fèi)每年1600元固定不變?nèi)粼摴灸陈毠ぴ?024年將得到的住房補(bǔ)貼與醫(yī)療費(fèi)之和超過基礎(chǔ)工資的25%，到2024年底這位職工的工齡至少是 ()A.2年 B.3年 C.4年 D.5年【解析】選C.設(shè)這位職工工齡至少為x年，則400x+1600>10000·(1+10%)2×25%，即400x+1600>3025，即x>3.5625，所以至少為4年.二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9.下列說法不正確的是 ()A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000B.小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮表示為“x>y”C.某變量x至少是a可表示為“x≥a”D.某變量y不超過a可表示為“y≥a”【解析】選ABD.對于A，x應(yīng)滿意x≤2000，故A錯(cuò)；對于B，x，y應(yīng)滿意x<y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯(cuò)誤.10.下列不等式不肯定正確的是 ()A.x+QUOTE≥2 B.QUOTE≥2C.QUOTE>xy D.QUOTE≥QUOTE【解析】選BCD.因?yàn)閤與QUOTE同號，所以QUOTE=|x|+QUOTE≥2，A正確；當(dāng)x，y異號時(shí)，B不正確；當(dāng)x=y時(shí)，QUOTE=xy，C不正確；當(dāng)x=1，y=-1時(shí)，D不正確.11.已知2<x<3，2<y<3，則 ()A.2x+y的取值范圍為(6，9)B.2x-y的取值范圍為(2，3)C.x-y的取值范圍為(-1，1)D.xy的取值范圍為(4，9)【解析】選ACD.因?yàn)?<x<3，2<y<3，所以4<xy<9，4<2x<6，所以6<2x+y<9，而-3<-y<-2，所以1<2x-y<4，-1<x-y<1.12.3+5x-2x2>0的充分不必要條件是 ()A.-QUOTE<x<3 B.-QUOTE<x<0C.1<x<2 D.-1<x<6【解析】選BC.由不等式3+5x-2x2>0，可得2x2-5x-3<0，解得-QUOTE<x<3，由此可得：選項(xiàng)A，-QUOTE<x<3是不等式3+5x-2x2>0成立的充要條件；選項(xiàng)B，-QUOTE<x<0是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要條件；選項(xiàng)C，1<x<2是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要條件；選項(xiàng)D，-1<x<6是不等式3+5x-2x2>0成立的必要不充分條件.三、填空題(每小題5分，共20分)13.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則a=_______；不等式ax2+bx+c>0的解集為_______.

【解析】由表知x=-2時(shí)y=0，x=3時(shí)，y=0，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c可化為y=a(x+2)(x-3).又因?yàn)閤=1時(shí)，y=-6，所以a=1，圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>3}.答案：1{x|x<-2或x>3}14.若a<1，則a+QUOTE與-1的大小關(guān)系是_______.

【解析】因?yàn)閍<1，即1-a>0，所以-QUOTE=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2.即a+QUOTE≤-1.答案：a+QUOTE≤-115.已知A={x|1<x<2}，B={x|x2-2ax+a2-1<0}，若A?B，則a的取值范圍是_______.

【解析】方程x2-2ax+a2-1=0的兩根為a+1，a-1，且a+1>a-1，所以B={x|a-1<x<a+1}.因?yàn)锳?B，所以QUOTE，解得1≤a≤2.答案：1≤a≤216.若正數(shù)a，b滿意a+b=1，則QUOTE+QUOTE的最小值為_______.

【解析】由a+b=1，知QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE，又ab≤QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時(shí)等號成立)，所以9ab+10≤QUOTE，所以QUOTE≥QUOTE.答案：QUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)解下列不等式：(1)2+3x-2x2>0.(2)x(3-x)≤x(x+2)-1.(3)x2-2x+3>0.【解析】(1)原不等式可化為2x2-3x-2<0，所以(2x+1)(x-2)<0，故原不等式的解集是QUOTE.(2)原不等式可化為2x2-x-1≥0.所以(2x+1)(x-1)≥0，故原不等式的解集為QUOTE.(3)因?yàn)棣?(-2)2-4×3=-8<0，故原不等式的解集是R.18.(12分)(1)若x<3，求y=2x+1+QUOTE的最大值.(2)已知x>0，求y=QUOTE的最大值.【解析】(1)因?yàn)閤<3，所以3-x>0.又因?yàn)閥=2(x-3)+QUOTE+7=-2(3-x)+QUOTE+7，由基本不等式可得2(3-x)+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)2(3-x)=QUOTE，即x=3-QUOTE時(shí)，等號成立，于是-QUOTE≤-2QUOTE，-2(3-x)+QUOTE+7≤7-2QUOTE，故y的最大值是7-2QUOTE.(2)y=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閤>0，所以x+QUOTE≥2QUOTE=2，所以0<y≤QUOTE=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE，即x=1時(shí)，等號成立.故y的最大值為1.19.(12分)“綠水青山就是金山銀山”.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國更加重視對生態(tài)環(huán)境的愛護(hù)，2024年起，政府對環(huán)保不達(dá)標(biāo)的養(yǎng)雞場進(jìn)行限期整改或勒令關(guān)閉.一段時(shí)間內(nèi)，雞蛋的價(jià)格起伏較大(不同周價(jià)格不同).假設(shè)第一周、其次周雞蛋的價(jià)格分別為x元、y元(單位：kg)；甲、乙兩人的購買方式不同：甲每周購買3kg雞蛋，乙每周購買10(1)若x=8，y=10，求甲、乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格.(2)推斷甲、乙兩人誰的購買方式更實(shí)惠(平均價(jià)格低視為實(shí)惠)，并說明理由.【解析】(1)因?yàn)閤=8，y=10，所以甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=9(元)，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE(元).(2)甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE，由(1)知，當(dāng)x=8，y=10時(shí)，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，揣測乙的購買方式更實(shí)惠.證法一(比較法)：依題意x，y>0，且x≠y，因?yàn)镼UOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE>0，所以QUOTE>QUOTE，所以乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，即乙的購買方式更實(shí)惠.證法二(分析法)：依題意x，y>0，且x≠y，要證：QUOTE>QUOTE，只需證：(x+y)2>4xy只需證：x2+y2>2xy，只需證：x≠y(已知).所以乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，即乙的購買方式更實(shí)惠.20.(12分)解關(guān)于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).【解析】由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)·(x+4a)<0，且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個(gè)根分別是a和-4a.當(dāng)a=-4a，即a=0時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>-4a，即a>0時(shí)，解不等式得-4a<x<a；當(dāng)a<-4a，即a<0時(shí)，解不等式得a<x<-4a.綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為{x|-4a<x<a}；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|a<x<-4a}.21.(12分)已知a，b為正實(shí)數(shù)，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE.(1)求a2+b2的最小值.(2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.【解析】(1)因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE，所以QUOTE+QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE，即ab≥QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立).因?yàn)閍2+b2≥2ab≥2×QUOTE=1(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立)，所以a2+b2的最小值為1.(2)因?yàn)镼UOTE+QUOTE=2QUOTE，所以a+b=2QUOTEab.因?yàn)?a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，即(2QUOTEab)2-4ab≥4(ab)3，即(ab)2-2ab+1≤0，(ab-1)2≤0.因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以ab=1.22.(12分)(2024·濱州高一檢測)為了緩解市民吃肉難的生活問題，某生豬養(yǎng)殖公司欲將一批豬肉用冷藏汽車從甲地運(yùn)往相距120千米的乙地，運(yùn)費(fèi)為每小時(shí)60元，裝卸費(fèi)為1000元，豬肉在運(yùn)輸途中的損耗費(fèi)(單位：元)是汽車速度(km/h)值的2倍.(說明：運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用=運(yùn)費(fèi)+裝卸費(fèi)+損耗費(fèi))(1)若汽車的速度為每小時(shí)50千米，試求運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用.(2)為使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過1260元，求汽車行駛速度的范圍.(3)若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小，汽車應(yīng)以每小時(shí)多少千米的速度行駛？【解析】(1)當(dāng)汽車的速度為每小時(shí)50千米時(shí)，運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用為：