2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試

卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列命題是假命題的是（）

A.棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形

B.將矩形力BCD繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體叫做圓柱

C.正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心

D.將直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體叫做圓錐

2.設(shè)I,m,ri均為直線，其中71在平面a內(nèi)，貝U"Z1a"是"I16且I1n"的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且正方體的六個(gè)面所在的平面與直線

CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為機(jī)，n,那么m+n=（）

A.8B.9C.10D.11

4.空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不共面但相互垂直,直線，與這三條直線所成角均為仇則8的值為

A.?B.arcsin-C.arcsin-^—D.arcsin-^—

J§33

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

5.正四棱柱的底面邊長為2,高為3,則它的體積為.

6.如圖，已知長方體的棱長441=3cm,AB=4cm,則點(diǎn)力i到

棱BC的距離是cm.

9.如圖，△0'4B'是水平放置的△。/IB的斜二測(cè)直觀圖,

若0'4=3,OB'=4,則△。力B的面積為

10.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是.

11.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P為A4i中點(diǎn)，記三棱錐P-48c的體積為匕，三

棱柱力BC—4B1C1的體積為％,則&=.

12.如圖，在棱長為1的正方體力BCD-&B1C1D1中，點(diǎn)P在截面4DB上，則線段4P

的最小值等于.

13.在正方體48CD-48傳1。1各個(gè)表面的對(duì)角線所在直線中，與直線4%異面的直線有

n條，則n=.

14.如圖為一幾何體的展開圖，其中4BCD是正方形，SD=PD,CR=CS,AQ=AP,§

點(diǎn)S,D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊，使P,Q,R,S四點(diǎn)重合

于點(diǎn)M,在該幾何體的側(cè)面和底面中，與平面M4D垂直的平面的個(gè)數(shù)為.A"7^

Q

15.正四棱錐S-4BCD的底面邊長為4,高為3,E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持

PE1AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為.

16.如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為5公里，側(cè)棱長為20公X

里，B是S4上一點(diǎn)，且4B=5公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從4繞山/N

一周到B的觀光鐵路，這條鐵路從4出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長/\\

度為公里.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題12分）

如圖，某公司制造一種海上用的“浮球”，它是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.其中圓柱的高為4米，球的

半徑r為1米.

（1）這種“浮球”的體積是多少立方米（精確到1m3）?

第2頁，共10頁

(2)假設(shè)該“浮球”的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為20元，半球形部分

每平方米建造費(fèi)用為30元,求該浮球的建造費(fèi)用(精確到1元).卜7----------嘲

18.(本小題12分)V\：,<\：；V

如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水

平平移后形成的封閉體，。1、。2、。’2分別為AB、BC、DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧4B的中點(diǎn)，G為弧BC的中點(diǎn).

(1)求直線GOq與平面8CDE所成角的大小.

(2)求異面直線2尸與GO%所成角的大小.

19.(本小題12分)

如圖，三棱錐4BCD中，AB1面BCD,BC1CD.

(1)求證：AC1CD.

(2)若三棱錐a-BCD的體積為，，BC=CD=1,有一根彩帶經(jīng)過面力BC與面4CD,且彩帶的兩個(gè)端點(diǎn)分別

固定在點(diǎn)B和點(diǎn)。處，求彩帶長度的最小值.

20.(本小題12分)

一組空間向量研，何，宙，…，碼(n6N*),記嘉=石+a2++…+/1，如果存在幅(pe{1,2,3,…,n},使得I

耳|2瓦-弓|,那么稱詬是該向量組的“八向量”.

(1)已知耳=(0,5,4),皈=(1,0,3),藥=(5工,0),若尾是向量組無,豉尾的“八向量”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(2)四面體PABC內(nèi)接于以。為球心，1為半徑的球，且3?雨+4?麗+5?瓦=6,

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(i)記可：=初,麗=而用=瓦，向量組耳豉宙中是否存在，向量”，若有，指出哪個(gè)是“八向量”并證

明；若沒有，請(qǐng)說明理由.

(九)求四面體/MBC體積的最大值.

21.(本小題12分)

如圖所示，已知三棱柱A8C-4/停1的側(cè)棱與底面垂直，AAi=AB=4C=1,AB1AC,M是C。的中

點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線&Bi上，且滿足神=4石瓦.

(1)指出直線MN與平面BAm的位置關(guān)系(不需說明理由).

(2)設(shè)直線PN與平面4BP所成的角為心求0的取值范圍.

(3)設(shè)平面PMN與平面ABC所成的銳二面角的大小為仇求cos。的最大值，并求相應(yīng)的2的值.

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參考答案

l.D

2.2

3.X

4.D

5.12

6.5

7.異面或平行

—>—?―>

8.-ci—c+b

9.12

IO.A/3

鹿

12.字

13.5

14.3

15.272+717

16.9

17.解：(1)由題意得，“浮球“可看成是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體組成,

圓柱體底面半徑為1,高為4,故體積為%=兀/[=47nn3,

4c4c

球體體積匕=-Trr3=-7rm3,

3

所以“浮球”的體積U=l/1+IZ2=^?17m；

(2)由題意得，圓柱形部分表面積即為圓柱體的側(cè)面積，

Si=2nrl=8zr,故建造費(fèi)用為87rx20=160兀元，

球形部分表面積為52=477T2=4兀，

故建造費(fèi)用為47rx30=120兀元，

所以整個(gè)“浮球”的建造費(fèi)用為160兀+120元=280兀=880元.

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18.解：⑴連接。。2，?！?。2,

因?yàn)镚為弧BC的中點(diǎn)，

所以G/lBC,

由圓柱的性質(zhì)知，平面8CDE_L平面BCG,

而平面BCDEC平面BCG=BC,且G^u平面BCG,

所以GO?_L平面BCDE,

所以NG。3。?即為直線GO%與平面BCDE所成角，

^￡Rt△6?！?。2中，6。2=1,?！?。2=2,

所以tanNGO'O2=f。=2，即NGO'O2=arctan^-,

故直線GO'2與平面8CDE所成角的大小為arctan今

(2)連接CG,

因?yàn)镕為弧48的中點(diǎn)，G為弧8c的中點(diǎn)，

所以AF〃CG,

所以NCGO'2或其補(bǔ)角即為異面直線4F與GO)所成角，

由(1)可知。3G=(G。］+。2'。2=gCG=",O'2C=在，

由余弦定理知，cos/CGg=CG?小'°丁2葭J=書,

Utr,02G，X、乙X7〉10

即NCG。%=arccos^^,

“10

所以異面直線力F與GO1所成角的大小為arccos喏.

19.解：(1)證明：???AB1面BCD,又CDu面BCD,

???AB1CD,又BC1CD,且4B1ClBC=B,

.-.CD1面ABC,又ACc面ABC,

???AC1CD；

(2)?；三棱錐4-BCD的體積為/BC=CD=1,

根據(jù)題意可得三棱錐力一BCD的體積為4xaxBCXCDXAB=\AB=1,AAB=1,

DZOO

結(jié)合(1)可知三角形4BC為等腰直角三角形，三角形4CD為直角三角形,

且AB=BC=CD=1,AC=72,???AD=4，

將三角形4BC與三角形4CD展開鋪平如圖：

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A

，D

BC

則由圖可知所求的最小值為BD=Y12+I2_2X1X1XCOS135°=+"

20.解：（1）由題意得￡=（6,t+5,7）,豆—宙=（1,5,7）,

又因?yàn)樗幨窍蛄拷M正，皈，碼的“八向量”，

所以尾|2所-詬I，

222

即3+產(chǎn)>^2+5+7<^>t>50,

解得tW-5避或t>572,

故t的取值范圍為（一8,-5M）U（5也,+8）；

（2）（i）由題意得，因?yàn)樗拿骟wP48C內(nèi)接于球。，

所以|可|—|矽=|宙|—1，

因?yàn)?石+4前+5而=0,

所以3萬+4改=—5何，

兩邊同時(shí)平方得9（可/+16（荻/+24石?雨=25（前產(chǎn)

因?yàn)椋ㄕ?=|同2,（豉）2=|對(duì)2,（碼）2=|碼|2,

所以可得可?荻=0,即近1眩，OA1~OB,且4B,C,。在同一平面內(nèi).

如圖所示，以。為原點(diǎn)，直線。4OB分別為尤，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(1,0),8(0,1),石=(1,0),而=(0,1),

代入3可*+402+5宙=0,得函—(一卷―3),

于是可得|同=1>|另-可|=|前+碼|=J(0-|)2+(l-^)2=半，尾|=12隊(duì)-同=|何+對(duì)=

J(l-|)2+(0-^)2=竿，同=1W隊(duì)-碼|=|可+對(duì)="，

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所以由“八向量”的定義，可，說都是“八向量”.

(九)由(i)得，0A10B,且4B,C,。在同一平面內(nèi)，

所以△ABC在過球心。的截面上，

又3?市+4.而+5.而=6,3.01+5.0C=-40B,

兩邊平方可得萬??瓦=

即cosUOC=sin乙40c=之，

同理4-0B+5-0C=-30A,

兩邊平方可得布-0C=

即cosNBOC=-春sinzSOC=|,

于是S&ABC=SAAOB+SA40c+BOC=^|0^4|,\0B\+^|0^4|?\0C\'sinzXOC+^|0S|>\0C\-sinZ-BOC=

6

三

所以當(dāng)OP，平面力BC時(shí)，四面體PABC體積取得最大值，

此時(shí)為BC=^S^ABC-\OP\=|x|xl=|.

21.解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與當(dāng)重合時(shí)，MN與平面8clp共面，

當(dāng)點(diǎn)P不與當(dāng)重合時(shí)，因?yàn)镸,N分別是CCi，BC的中點(diǎn)，

所以MN〃Bg,又因?yàn)镸NC平面8GlP,BQu平面BCR,

所以MN〃平面8C1P；

(2)如圖，以4為原點(diǎn)，以4B,AC,44i所在直線分別為乂軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

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則4(0,0,0),B(l,0,0),N(蒜0),4i(0,0,1),=(1,0,0),

設(shè)P(a,瓦c),由公戶=4石瓦，

得(見hc-l)=(40,0),

,a=A

所以)=?,則P(4,0,l),

c=1

所以PN=1),

設(shè)平面力BP的法向量為訪=(0,1,0),

直線尸N與平面ABP所成的角為仇

1

2

則sin。=Icos<~PNjrt>|二I里%2

\PN\\m\(|-A)2+