2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南模中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法作△ABC的直觀(guān)圖得44/道1，其中=是邊上的中線(xiàn)，由圖

形可知，在△ABC（。是8C的中點(diǎn)）中，下列結(jié)論中正確的是（）

A.AB=BC="B.AD1BC

C.AC>AD>AB>BCD.AC>AD>AB=BC

2.如圖，正方體中，P,Q,R,S分另ij為棱4B,BC,B

Bi，CD的中點(diǎn)，連接&S,Bi。，對(duì)空間任意兩點(diǎn)M,N,若線(xiàn)段MN與線(xiàn)

段&S,比。都不相交，則稱(chēng)M,N兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)外可視的為

（）

A.點(diǎn)P

B.點(diǎn)Q

C.點(diǎn)R

D.點(diǎn)B

3.分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為乙、

唳、V3,則（）

111111

AM=V2+%B.嗎9=畛9+嗎9C.分=諺+詫D.及=瓦+%

4.已知P是正方體4BCD-&BiCiDi的中心，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)/與該正方體的表面交于E、尸兩點(diǎn)，現(xiàn)有如下命

題：①線(xiàn)段EF在正方體6個(gè)表面的投影長(zhǎng)度為t4=1,2，…,6）,則￡?=1方為定值；②直線(xiàn)/與正方體12條棱

所成的夾角的心。=1,2，…,12）,則￡目icos2%為定值,下列判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

第1頁(yè)，共11頁(yè)

5.空間兩直線(xiàn)所成角的取值范圍是.

6.如圖所示：在直三棱柱力BC—4B1C1中，AB1BC,AB=BC=BB1,則平面4聲傳與平面4BC所成的

面角的大小為

7.已知圓柱0的母線(xiàn)長(zhǎng)為I,底面半徑為r,。是上底面圓心，A,B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母

線(xiàn)，如圖，若直線(xiàn)。4與BC所成角的大小為/貝4=—―-

8.以下四個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)為.

①三角形（及其內(nèi)部）繞其一邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體叫圓錐；

②正棱柱的側(cè)棱垂直于底面；

③棱錐的各側(cè)棱和底面所成的角相等；

④圓錐的軸截面一定是等腰三角形.

9.正方體48CD-中，點(diǎn)M為力以1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AM,B￡）i所成的角的大小為.

10.已知在圓錐S。中，底面圓。的直徑4B=2,4SAB的面積為2",點(diǎn)M在母線(xiàn)SB上，且前=凝，一

只螞蟻若從4點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行到達(dá)M點(diǎn)，則它爬行的最短距離為.

11.如圖，在正四棱柱4BCD—&BiCiDi中，BBi=2,AB=AD=1,E為的中點(diǎn)，則公點(diǎn)到平面DCE

的距離為.

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12.在平面上，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種.己知a,S是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線(xiàn)

11，%在a上的射影是直線(xiàn)Si，S2,11，在6上的射影是直線(xiàn)"，t2.用S1與S2,電與以的位置關(guān)系,寫(xiě)出一

個(gè)總能確定人與％是異面直線(xiàn)的充分條件:

13.已知某商品的形狀為圓臺(tái)，上下底面圓的半徑分別為和R,高為2R將兩個(gè)這樣完

全相同的商品水平放入形狀為長(zhǎng)方體的外包裝盒中（不考慮外包裝的厚度），則外包裝盒

的表面積的最小值為

14.已知正四面體力BCD中，AB=2,Pi，P2,Pn在線(xiàn)段4B上，且14Pli=|

PlP2|=...=|Pn-LP?|=|PnB|,過(guò)點(diǎn)=1,2，…,幾）作平行于直線(xiàn)AC,8。的平

面，截面面積為耿，則所有截面積之和為.（公式：F+22+...+幾2=

九（九+1）（271+

6玲

15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，M是棱CQ的中點(diǎn)，N是側(cè)面B/C。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足直線(xiàn)

&N〃平面當(dāng)直線(xiàn)&N與平面BiBCCi所成角最小時(shí)，記過(guò)點(diǎn)D,M,N的平面截正方體2BCD—

的外所得到的截面為。，所有。的面積組成的集合記為S,則S=.

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4把1的小中，F(xiàn),P分別為線(xiàn)段2Q和平面4/1的。1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為線(xiàn)段

BiC的中點(diǎn)，則APGF周長(zhǎng)的最小值為.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題12分）

已知長(zhǎng)方體4BCD-41B1C1D1中，AD=4B=4,AA1=2,E,F分別是4B,人1。1的中點(diǎn).

（I）求證：直線(xiàn)EF〃平面

（H）求直線(xiàn)EF與平面BCC/i所成角的正弦值.

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G

18.(本小題12分)

刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與

多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體

TTTT

每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為土故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2兀-3xy=7r.如圖，在直三棱柱ABC-

公當(dāng)?shù)闹?，點(diǎn)4的曲率為管，N,M分別為SB,CCi的中點(diǎn)，且4B=4C,AA1=2AB.

(1)求異面直線(xiàn)CN和BiM所成角；

(2)求二面角力-5的正切值.

19.(本小題12分)

V

如圖，一矩形48CD的一邊4B在久軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在函數(shù)/(久)=言至，(K>°)的圖像上，設(shè)。

的縱坐標(biāo)為t.

(1)求此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積U(t)和表面積S(t)關(guān)于t的表達(dá)式;

(2)求，(t)、S(t)的取值范圍.

20.(本小題12分)

對(duì)于函數(shù)y=F(x)和數(shù)列｛an｝、｛b^,若an=F(?,F(6n)=n,則稱(chēng)｛an｝為函數(shù)y=/(x)的“影數(shù)列"，(

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2X

0｝為函數(shù)y=/(x)的一個(gè)"鏡數(shù)列"，已知/(x)=x,g(x)=log2x,/i(x)=2+x.

⑴若5｝為v=fO)的“影數(shù)列"，｛g｝為y=g(x)的“鏡數(shù)列”，

(i)求。2+■的值;

(ii)比較斯和勾的大小，并說(shuō)明理由.

(2)若｛4｝為函數(shù)y=%(x)的“影數(shù)列"，｛dn｝為函數(shù)y=h(x)的“鏡數(shù)列”，現(xiàn)將｛%｝與｛dn｝的公共項(xiàng)按從

小到大的順序重新構(gòu)成數(shù)列｛cn｝,試問(wèn)在數(shù)列｛%｝中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD—力iBiCiDi中，AD=1,CD=2,ArD1平面ABCD,與底面48CD所成角

為仇設(shè)直線(xiàn)&C與平面4&。遼)、平面4BCD、平面4所成角的大小分別為a,￡,y.

(1)若N4DC=29,求平行六面體4BCD-4iBiCiDi的體積U的取值范圍；

TT

(2)若乙4DC=2。且9=不求a,氏V中的最大值；

JT

⑶若乙4DC=萬(wàn)，g(6)=max｛a(8)，S(e),y(e)｝,(其中max｛a,b｝是指a,6中的最大的數(shù))，求g(8)的最小

值.

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參考答案

1.C

2.B

3.C

4.D

5.畸

an

6.4

7.73

8.②④

9,arccos-^—

15

10."

11岑

12.SI//52,并且以與勿相交(或：ti〃t2,并且Si與S2相交)

13.38R2

2

IA2n+4n

3n+3

15.｛畀｝

16.1

17.(/)證明：取BD的中點(diǎn)尸，連接PE,PDi，

由條件E,F分別是48,a以的中點(diǎn)可知,PEf/DrF,且PE=D/,

故PEFDi為平行四邊形，所以PD//EF,

???EFC平面外。1。，且PDiu平面

???EF〃平面幽￡?山

(〃)解：???平面BCC/1〃平面2DD141，

直線(xiàn)EF與平面4DD遇1所成角就是直線(xiàn)EF與平面8CQB1所成角.

???AB1平面4皿&

???EF在平面4?！?遇1內(nèi)的射影為4F，

因此就是直線(xiàn)EF與平面力。。1公所成角.

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^AAEFf^AF=2展AE=2EF=2逆，

sin〃FE喑=號(hào)=導(dǎo)

直線(xiàn)EF與平面BCJBi所成角的正弦值為

18.解：（1）在直三棱柱ABC—力iBiCi中，441，平面ABC,AC,ABu平面4BC,

則4411AC,AAi1AB,

二點(diǎn)力的曲率為2兀-2X—BAC=4,

TT

???^BAC=§,

??.△ABC為正三角形,

取BBi中點(diǎn)P,連CP,則可得CP〃/M,

???4PCN即為異面直線(xiàn)CN和所成角,

設(shè)AB=AC=1,則可得CN=殍，CP=#,NP=A

"2+CN2-NP2_（也）2+（乎）2_營(yíng)）2=理

???cos乙PCN

-2cp?CN--2X方孝--4-，

即異面直線(xiàn)CN和Bi”所成角為arccos幸.

4

(2)取BC的中點(diǎn)F連接2F,則4尸1BC,

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B,

???BBi_L平面力BC,AFu平面力BC,

***BBi_LAFy

■■■BBinBC=B,BB1，BCu平面BB?C,

.-.AF1平面B&CC

又BiMu平面BB1C1C,AF1BXM,過(guò)F作的垂線(xiàn)，垂足為H,連接4”,

則BiM1FH,又AFnFH=F,AF,FHc平面4FH,

；.B］M1平面AF”，

又AHu平面4FH,AH1BjM,

乙4”F為二面角力一MBi-Ci的平面角的補(bǔ)角，

設(shè)BiMCBC=E,AB=2,貝MF=8，EF=1+2=3,ME=2也，

由等面積法可得匏E-FH-CM,

則F"=普’=.=.，

ME22

則tanNW=誓=萼，

rn3

故二面角a-MB1-Cl的正切值為—坐.

19.解：(1)由y=/(x)==當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào)，得te(0,1),

又矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是圓柱，設(shè)C、。的坐標(biāo)為(均由，(到㈤，

則圓柱的底面圓半徑為t,高為八=|%1-冷1，

令］=t,貝［Jtx2—x+t-0,得fl=|%1-%2|=4t,

工圓柱的體積，(t)=ret2-“1"=兀-4t2,

圓柱的表面積S(t)=27rt2+2nt.注堡=2兀(留+^1-4^)；

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⑵由⑴可知U(t)=Trt,l—4/=兀］±2(1一鈕2)=兀4t4+t2,tG(0,1),

則產(chǎn)6(0,1),當(dāng)/=［時(shí)，V(t)取得最大值為全可得P(t)G(0,5；

令k=令一靖,則ke(0,1),

表面積s(t)=2兀(-22+k+》在ke(0,1)嚴(yán)格遞增，得s(t)e(5,2兀)，

綜上所述：K(t)e(0R,S(t)e(扣,2兀).

2n

20.解:(1)(i)由題意，an=f(n)=n,g(bn)=九,^g2bn=n,bn=2；

所以。2+=4+16=20.

(ii)當(dāng)九=1時(shí)，ai=1<Z?i=2；

當(dāng)九=2時(shí)，。2=4=力2；

當(dāng)九=3時(shí)，的=9>仇=8；

當(dāng)九=4時(shí)，。4=16=64，

當(dāng)九N5,nEN時(shí)，Qn<bn,數(shù)學(xué)歸納法證明如下

①當(dāng)n=5時(shí)，(15=25<既=32,命題成立；

②假設(shè)當(dāng)ri=k(k>5,fceZ)時(shí)，命題成立，

即/<2匕則當(dāng)n=吊+1時(shí),

bk+i-a-k+i=2fc+1-(fc+I)2

=2x2fc-fc2-2fc-l>2k2-k2-2k-l

=k2-2k-l=(J/-2(*).

因?yàn)閗25,(*)>0,即命題也成立，

由①②可知，當(dāng)n>5,n￡N時(shí)，an<bn.

Xd

(2)/(x)=2+x,則cn=/(X)=2"+n,/(dn)=2"+dn=n,

設(shè)Cp=dq,即2P+p=dq,貝|J220+P+2。+p=q,

設(shè)函數(shù)k(x)=2，+x,函數(shù)單調(diào)遞增，對(duì)于任意pGN*,有唯一的q6N*與之對(duì)應(yīng),

即數(shù)列％中每一項(xiàng)，都有dn中的項(xiàng)與之相等，

%=2八+71單調(diào)遞增，所以新4=2n+71,

假設(shè)數(shù)列｛%｝中存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，c^=cm+1-cm_1,m>2,mGN*,

故(2俏+m)2=(2m+1+m+1)-(2m-1+m-l),整理得到(m-B"771-1=1,

當(dāng)爪=1時(shí)，等式不成立；當(dāng)mN2時(shí)，(機(jī)-3)26-1為偶數(shù)，等式不成立；

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所以等式無(wú)正整數(shù)解.

故假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.

21.1?：⑴由題意得D4i=tcme(0<8四邊形ABC。的面積為2s出28

平行六面體A8CD—4iBiCi0i的體積，=2sin2d-tand=4s譏2仇

???平行六面體4BCD-4/傳1。1的體積V的取值范圍為(0,4).

(2)v9=45°,^LADC=90°,即CD1AD,

XArD_L平面ABC。，CDLArD,

???CD1平面A&DiD,

a=Z-CAiD,0=Z-A^CD,

由題意得41。=1,AD-1,CD=2,■■■tana—2,tanp=

???a=arctan2,0=arctan|,

以。4DC,D①為％,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一%yz,

貝見(jiàn)(0,0,1),C(0,2,0),>1(1AO),8(120)

???A^C=(0,2,—1),A=(—1,0,1),AB=(0,2,0),

設(shè)側(cè)面的法向量元=(x,yfz),

.L=。,取尤=i得

側(cè)面4&B1B的法向量完=(1,0,1),

.|J、IM1C?川；J10

???sinv=cos<1ArC,n>1=^=~—=x-,

\ArC\?\n\10

直線(xiàn)&C與側(cè)面441B1B所成角v的大小為arcsirP停，

綜上，a,/?,y中最大值為a=arctcm2.

JT

(3)???^ADC=萬(wàn)，即CD1AD,

第10頁(yè)，共11頁(yè)

XArD1平面4BCD,CDl&D,

CD_L平面44必。，

??.a=Z.CA1D,p=Z-A^CD,

u.n,CD2DAtanO

,?*DnA4-i=tCLTlujtdTlCL=.=------jtCLTlop=__1=_--,

〃n力itan0「CD2

以D4,DC,D4i為居y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一%yz,

則41(0。汝九。)，C(0,2,0),4(100),8(