2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷

一、填空題（本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

2.半徑為2的球的表面積為.

3,已知長方體4s4B1G3的棱=AB=2,則異面直線8。與8c所成

角的余弦值為.

4.在四面體P-/8C中，若底面N8C的一個法向量為且00=（22一1）,則

頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為.

5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

6.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形旦。皿?C,

OA'=2B'C=4,A'B'=2,則該平面圖形的面積為.

7.三棱錐尸—N8C中，三條側(cè)棱上4=PB=PC,則頂點(diǎn)尸在平面N8C內(nèi)的射影。是

V48c的.（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

8.在空間四邊形4BCD中，E,F,G,X分別是邊/瓦BC,CD,￡%的中點(diǎn)，若四邊形對

71

角線4C=BD=2,對角線/C與3。所成的角為則尸8=_________.

9.如圖，在圓柱。1。2內(nèi)有一個球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱。1。2

的體積為Vi，球。的體積為V1,則修

的值是

10.已知二面角戊一4s一6為30。，P是半平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸到平面廳的距離是1,則點(diǎn)尸

在平面口內(nèi)的投影到AB的距離是.

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動，

當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為

12.如圖，正方體”88一4與G3的棱長為4,點(diǎn)P在正方形/BCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.

平面區(qū)域少由所有滿足4引40區(qū)26■的點(diǎn)尸組成，則四面體0-48c的體積的取值范圍

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.已知直線/和平面則“/垂直于。內(nèi)的兩條直線”是“/'a”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非

必要條件

14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺

中的部分）長為12,則原圓錐的母線長為（）

A.16B.18C.20D.22

15.m、〃為空間中兩條直線，a、夕為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的個數(shù)為（）

①二面角的范圍是[0,可；

②經(jīng)過3個點(diǎn)有且只有一個平面；

③若加、〃為兩條異面直線，mua,nu甲，貝

④若加、〃為兩條異面直線，且加//a,〃//a,加//，,〃//￡,則a///.

A.0B.1C.2D.3

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形,

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉席”.如

圖，在塹堵4BC—451G中，ACLBC,且44]=48=2.下列說法簿送的是（）

A.四棱錐8—N/CG為“陽馬”

B.四面體4cle5為“鱉席”

2

c.四棱錐8-z/CG體積的最大值為一

3

D.過/點(diǎn)作AE±A.B于點(diǎn)￡,過￡點(diǎn)作EF±A.B于點(diǎn)F,則AXB±面AEF

三、解答題（本題滿分78分，共5小題）

17.如圖，棱長為2的正方體4BCD—481G，中，M、N、P分別是C】，、CCP24的

中點(diǎn).

DyMG

（1）證明：〃N//平面aas/].

（2）求異面直線尸已與w所成角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

18.如圖，已知E4=/C=PC=48=a,PA1AB,ZC_L48,M為/C的中點(diǎn).

（1）求證：PM,平面/2C；

（2）求直線必與平面NBC所成角的大小.

19.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐尸-下部

的形狀是正四棱柱4BCD-4與。]。1（如圖所示），并要求正四棱柱的高。1。是正四棱錐的高

POX的4倍.

（1）若48=6m,POl=2m,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)尸。?為多少時，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積

是多少？

20.如圖，45是圓柱的底面直徑，4B=2,P4是圓柱的母線且尸2=2,點(diǎn)。是圓柱底面

圓周上的點(diǎn).

(1)求圓柱的表面積；

(2)證明：平面尸平面P/C；

(3)若ZC=1,。是尸5的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段尸“上，求CE+ED的最小值.

21.已知點(diǎn)尸是邊長為2的菱形48CD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面45c。上的射影是

ZC與的交點(diǎn)。，已知/氏4。=60°,△尸。3是等邊三角形.

(1)求證：AC1PD；

(2)求點(diǎn)。到平面P5c的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段4D上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)E在何處時，直線PE與平面尸所成的角最大？

求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)E此時所在的位置.

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷

一、填空題（本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

【正確答案】平行或異面

【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】空間中的直線沒有公共點(diǎn)，則兩直線要么平行，要么是異面直線.

故平行或異面

2.半徑為2的球的表面積為.

【正確答案】16萬

【分析】代入球的表面積公式：S表=4不及2即可求得.

【詳解】?.?R=2,

...由球的表面積S表=4加非公式可得，

S球表=4X〃X22=16〃，

故答案為：16%

本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.

3.己知長方體N8CD—48013的棱2。=24=1,4B=2,則異面直線與4G所成

角的余弦值為.

【正確答案】^##-75

55

【分析】由定義說明ND8C是異面直線3。與4G所成角或其補(bǔ)角，然后計算.

【詳解】因為用G//8C,所以/D8C是異面直線8。與4G所成角或其補(bǔ)角,

在直角ABDC中，BD=y/CD2+CB2=V5-cosNCBD=叁=：=g,

故亙

5

4.在四面體尸—48C中，若底面48C的一個法向量為萬=(1,1,0),且麗=(2,2,—1),則

頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為.

【正確答案】2亞

【分析】根據(jù)點(diǎn)面距公式代入計算即可得.

\n-CP\|2+2|4l

【詳解】由點(diǎn)面距公式得:十自..=。=2亞.

|利7F7FV2

故答案為.2亞

5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

【正確答案】2〃

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與圓錐側(cè)面的關(guān)系求出圓錐底面圓半徑即可計算得解.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為心則該圓錐底面圓周長為2乃「，

因圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長為2〃，

依題意，2n丫=2兀，解得r=l,

顯然圓錐的母線長/=2,則圓錐側(cè)面積5="〃=2"，

所以圓錐的側(cè)面積為2〃.

故2〃

6.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O/2'C',豆OA//B'C',

OA'=2B'C=4,A'B'=2,則該平面圖形的面積為

【正確答案】1272

【分析】首先求出。C',再畫出平面圖形，從而求出其面積.

【詳解】因為。4=25'。'=4,A'B'=2,所以0C'=J（4—21+22=2&，

由直觀圖可得如下平面圖形，則。4=2BC=4,0C=20C=472-

\

\

『―V

所以S/Bc=gx（2+4）x4］！=12JI.

故12后

7.三棱錐尸-N8C中，三條側(cè)棱R4=P5=PC,則頂點(diǎn)尸在平面Z8C內(nèi)的射影。是

V/8C的.（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【正確答案】外心

【分析】由已知可得頂點(diǎn)尸在底面4BC上的射影。到底面三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，即。

為VABC的外心.

【詳解】如圖，設(shè)頂點(diǎn)P在底面48C內(nèi)的射影為。，則平面4BC,

連接。4,OB,0C,

OA,OB,OC在平面ABC內(nèi)，

?-?POVOA,POVOB,POLOC,

.-.APOA,NPOB,△POC都是直角三角形，

???PA=PB=PC,

?-.APOA,VPOB和△POC三個三角形全等，

從而有。4=08=。。，

所以。為VZ5C的外心.

故外心.

8.在空間四邊形N3CD中，E,F,G,，分別是邊/瓦BC,CD,￡%的中點(diǎn)，若四邊形對

TT

角線/C=HD=2,對角線/C與3。所成的角為則FH=.

【正確答案】1或百

【分析】由題意可知四邊形EEG/f為菱形，且知菱形相鄰的兩個角分別為二,0,再由所給

33

邊長即可求得的長.

【詳解】如圖,

由E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，得EFIIACIIHG,EF=HG=-AC=1,

2

EH//BD//FG,EH=FG=-BD=1,則四邊形EEG8為菱形，又/C與8。所成的角

2

于是直線EE與￡夕所成角為￡，即菱形EEG//的邊長為1，相鄰兩個內(nèi)角分別為色,空,

333

TT2.7171

即NFEH=—或NFEH=—,當(dāng)NFEH=—時,FH=EF=1,

333

27r

當(dāng)ZFEH=§時，F(xiàn)H=2Msin60°=也，

所以FH=T或FH=6

故1或行

9.如圖，在圓柱。1。2內(nèi)有一個球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱。1。2

的體積為K1，球。的體積為歹2,則的值是

【詳解】設(shè)球半徑為廠，則卷=等=*故答案為|.

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求

解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能

直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

10.已知二面角戊-48-6為30。，尸是半平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸到平面廳的距離是1,則點(diǎn)尸

在平面0內(nèi)的投影到AB的距離是.

【正確答案】百

【分析】設(shè)點(diǎn)P在平面廳內(nèi)的投影為點(diǎn)。，作尸0,48于點(diǎn)。，連接。。，證明/尸。。即

為二面角a—48一萬的平面角，再解Rt△尸即可.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)尸在平面廳內(nèi)的投影為點(diǎn)。，則尸。，￡,尸0=1,

作尸0,28于點(diǎn)0,連接。。，

因為尸0Q,ABu。,所以「。LAB,00,00,

又尸0_148,00門尸。=尸,尸。,尸0<=平面P0。，

所以48,平面產(chǎn)。。，

又OQu平面尸0。，所以48，。。，

所以APOQ即為二面角a-AB-p的平面角，

所以NPOQ=30。，

在Rt2\POQ中，ZP0Q=3Q°,PQ=\,

所以0Q=V3，

即點(diǎn)P在平面0內(nèi)的投影到AB的距離是G.

故答案為.出

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動,

當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為

【正確答案】12

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,求出以S為圓心，SN為半徑的圓的面積以及圓錐的側(cè)面積，根

據(jù)題意，列出方程即可求得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/，則以S為圓心，為半徑的圓的面積為成2,

又圓錐的側(cè)面積為兀x3x/=3Td,

因為當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，

所以兀尸=4*3兀/，解得/=12,

故12

12.如圖，正方體28co的棱長為4,點(diǎn)尸在正方形Z8CD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.

平面區(qū)域W由所有滿足4<\AXP\<275的點(diǎn)P組成，則四面體P-A{BC的體積的取值范圍

【分析】連接/P,由線面垂直的性質(zhì)得到再由勾股定理求出094P區(qū)2,即

可得到P以A為圓心2為半徑的;圓面上，再根據(jù)腺-a?。=〃“BC=；卜4卜5陛°，得到當(dāng)

尸在邊4D上時四面體的體積最大，當(dāng)尸在邊48的中點(diǎn)時四面體的體積最小，再根據(jù)面體

的體積公式計算可得取值范圍.

【詳解】連接/尸，如圖所示，

Q

A

因為2/_L平面4SCD,4Pu平面4SCZ）,所以

?.?以/|=4,由444P區(qū)2JL|40|=卜2口2+卜4|2,則ogzP區(qū)2；

所以P在以A為圓心2為半徑的!圓面上，由題意可知，VPABC=VAPBC=-\AAXS^BC,

A1—/liDV,zli-1Dl_-ry|1|AlDU

1132

所以當(dāng)尸在邊4。上時，四面體尸一4§。的體積的最大值是］Xex4x4x4=々-.

所以當(dāng)尸在邊48的中點(diǎn)時，邑必。的面積取得最小值，此時Sa%c=；x4x2=4,

所以四面體尸—48C的體積的最小值是:x4x4=g,所以乙-鳳€y,y,

1,5、、r「1632

故答案為.—5—

思路點(diǎn)睛：

求解三棱錐體積的最值問題，要找準(zhǔn)突破口，也即是按三棱錐的體積公式「=」S/z,

3

通常會有以下兩種：

①如果底面積固定，則通過找高的最值來進(jìn)行求解；

②如果高已知確定，則求底面積的最值來進(jìn)行求解（如本題）.

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.己知直線/和平面則“/垂直于a內(nèi)的兩條直線”是”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非

必要條件

【正確答案】B

【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.

而“/垂直于a內(nèi)的兩條直線“，沒有滿足相交，

所以不一定能推出直線與平面垂直，

但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，

即可得：“/垂直于a內(nèi)的兩條直線”是a”的必要不充分條件.

故選：B.

14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺

中的部分）長為12,則原圓錐的母線長為（）

A.16B.18C.20D.22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：

CD1

取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為——=—,且CD//AB,BD=12,

AB4

T71J~X11。1

設(shè)圓錐的母線長為/，根據(jù)相似比可得一=—=^—=-,解得/=16,

ABEBI4

即原圓錐的母線長為16.

故選：A.

15.m、,為空間中兩條直線，a、夕為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的個數(shù)為（）

①二面角的范圍是［0,兀）；

②經(jīng)過3個點(diǎn)有且只有一個平面；

③若加、〃為兩條異面直線，mua,nuf3,ml邛,則〃//a.

④若加、〃為兩條異面直線，且加//a,〃//a,加//￡,〃///,則a///?.

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】B

【分析】利用二面角的取值范圍可判斷①，當(dāng)三點(diǎn)共線時可判斷②，利用線面平行的判定方

法可判斷③，利用線面平行的性質(zhì)以及面面平行的判定定理可判斷④

【詳解】對于①，二面角的范圍是［0,可，①錯；

對于②，若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過這個點(diǎn)有無數(shù)個平面，②錯

對于③，若加、〃為兩條異面直線，mua,〃uB，mlI/3,則i與a可能平行也可能相交，

故③錯誤；

對于④，因為加//%加//p，過直線7〃作平面7,使得/Pla=a,

由線面平行的性質(zhì)定理可得mlla,ml1b,則a/",

因為a<Za,bua,則a//a,

因為〃//%〃//，，過直線〃作平面。，使得°na=d，An0=c,

由線面平行的性質(zhì)定理可得〃//c,〃//d,則c//d,

因為c<za,dua,貝!|c//a,

若a//c,則M〃“，這與加、〃為兩條異面直線矛盾，故c相交，

又因為a,c<z/?,所以&//尸，故④對，

故選：B

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形,

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉席”.如

圖，在塹堵48C—451G中，AC1BC,且44]=48=2.下列說法第送的是（

A.四棱錐8—//cq為“陽馬”

B.四面體4GC5為“鱉席”

2

c.四棱錐8-z/cq體積的最大值為一

3

D.過/點(diǎn)作AE±AXB于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作EF±&B于點(diǎn)F,則AXB±面AEF

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A,B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)ZC=5C時，四棱錐

B-AXACCX體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證4B1平面AEF,進(jìn)而判

斷D的正誤.

【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，

在塹堵48。一4四。1中，ZCL8C,側(cè)棱幺4,平面43C,

A選項，3C，又AC：LBC,且24nze=Z,則平面Z/CG，

四棱錐8—Z/CG為“陽馬”，故A正確；

B選項，由zc，8C,即4G，BC,又4G，GC且3Cccc=c，

4G1平面BBGC,：.4G±BCi，則v48G為直角三角形，

又由平面44CC，得A48C為直角三角形，由“塹堵”的定義可得A4GC為直角三角

形，ACGB為直角三角形，四面體4GCB為“鱉膈”，故B正確；

C選項，在底面有4=/。2+8。222ZC-8C，即ZO5CV2,當(dāng)且僅當(dāng)=5C=J5

時取等號，

11244

V=-S^BC=-AAxACxBC=-ACxBC<-,最大值為一，故C錯誤；

DB-ZAlA]CUCz]3AACC31x333

D選項，因為ZE，48,EF±AXB,AEcEF=E,所以4臺，平面ZER,故D正確;

故選：C

三、解答題（本題滿分78分，共5小題）

17.如圖，棱長為2的正方體4BCD—4用。0|中，M、N、P分別是GA、力4的

中點(diǎn).

（1）證明："N//平面48與4.

（2）求異面直線尸R與〃乂所成角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

【正確答案】（1）證明見解析

⑵…亞

10

【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

（2）根據(jù)線線平行，找出異面直線所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小問1詳解】

如圖：連接2逐，D。

DiMG

因為/BCD—為正方體，所以48//C〃.

又，M、N分別是GA、CG的中點(diǎn)，所以MN//CD\,

所以兒W//45,N/u平面W平面N344,所以“N//平面

【小問2詳解】

如圖：連接PC、PD}

因為MN//CD「所以即為異面直線兒W與尸口所成的角，設(shè)為0.

在VPCD]中，PD}=^PA^+A^=Vl+4=V5-CD,=272,

PC=^P^+AB'+BC2=71+4+4=3.

2尸+。。2一P。25+8—9Vw

所以cose=-..........!-------------=—產(chǎn)—/==—.

2xD[PD[C2x6x2夜10

所以異面直線PDX與MN所成的角為.arccos巫

10

18.如圖，已知E4=NC=PC=A3=a,PA1AB,ZC_L48,M為/C的中點(diǎn).

p

（1）求證：PM，平面/8C;

（2）求直線尸2與平面A8C所成角的大小.

【正確答案】（1）見解析（2）arcsin---

4

【分析】（1）推導(dǎo)出PMJ_/C，PMVAB,由此能證明PMJ_平面48C;

（2）連結(jié)則NPBAf是直線尸8和平面/8C所成的角，由此能求出直線尸3和平面48c

所成的角.

【小問1詳解】

證明：因為AP/C為等邊三角形，且M為ZC的中點(diǎn)，

所以PM_L/C.

又PALAB,AC1AB,且尸2n2。=2,

所以氏4,平面P/C.

又PM在平面上4c內(nèi)，所以氏4,PM.

因為A8c/C=Z,且8/，尸河，PM1AC,

所以平面48c.

【小問2詳解】

解：連結(jié)由（1）知尸河，平面48C,

所以NPBM是直線PB和平面ABC所成的角.

p

B

因為AP/C為等邊三角形，所以尸M=

2

7T

又△尸45為等腰直角三角形，且=—

2

所以PB=ma-

因為所以sin/P8M=￡44=逅

PB4

則/PBM=arcsin

4

所以直線PB和平面ABC所成的角的大小等于arcsin".

4

19.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P下部

的形狀是正四棱柱ABCD-4用弓。1（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高

尸。?的4倍.

（1）若Z8=6m,POl=2m,則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)尸。?為多少時，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積

是多少？

【正確答案】⑴312m3

(2)30，288V2m2

【分析】(1)明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應(yīng)公式求解；

(2)先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，S(x)=16(36—,然后利用二次函數(shù)性

質(zhì)求其最值.

【小問1詳解】

由尸。1=2知OO]=4尸。]=8.

因為44=4B-6,

所以正四棱錐尸—N4GA的體積曝=；.442.0a=；x62X2=24(m3);

正四棱柱ABCD-481G2的體積曝=AB-=6?x8=288(m3).

所以倉庫的容積展曝+%=24+288=312加).

【小問2詳解】

設(shè)尸&=xm,下部分的側(cè)面積為S(x),

則。0]=4xm,4Q=V36-X2,4用=V2-,36—-,

S(x)=44耳.00]=16缶736-Y=1672-舊(36-》2),(0<x<6),

^/(X)=X2(36-X2)=-X4+36X2=-(X2-18)2+324,

當(dāng)-=18,即x=3也時，/(x)max=324，S(x)max=288V2.

即當(dāng)尸Q為3五時，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是288cm2.

20.如圖，45是圓柱的底面直徑，4B=2,P4是圓柱的母線且尸2=2,點(diǎn)。是圓柱底面

圓周上的點(diǎn).

（1）求圓柱的表面積；

（2）證明：平面P8C_L平面P/C；

（3）若ZC=1,。是尸3的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段正幺上，求CE+E。的最小值.

【正確答案】（1）6兀

（2）證明見解析（3）V5

【分析】（1）根據(jù)圓柱求表面積公式即可求解.

（2）先證5C_L平面上4C,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

（3）先分析得將AP/C繞著尸/旋轉(zhuǎn)到尸0,，使其與尸48共面，且C'在48的反向延長線

上，當(dāng)Q,E,C'三點(diǎn)共線時，CE+ED的最小值為CZ）,通過解三角形求CZ＞即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，圓柱的底面半徑廠=——=1,圓柱的高/z=R4=2,

2

圓柱的上下底面積和為2S底=2加,=2兀，圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2兀＞力=4兀，

所以圓柱的表面積為S=2s底+5惻=6兀

【小問2詳解】

由題意可知，尸/上底面45C,BCu底面48C,則上4L5C,

由直徑所對的圓周角為直角，可得8C±AC,

又尸2n2。=2,E4u平面P/C，ZCu平面R4C,

所以3C_L平面P/C,又因為3Cu平面尸6C,

所以平面平面上4C

【小問3詳解】

將APAC繞著PA旋轉(zhuǎn)到pc'，使其與PAB共面，

且C'在45的反向延長線上，當(dāng)。，E,C'三點(diǎn)共線時，

CE+即的最小值為CZ>,

因為尸2=2，AB=2,PA1AB,PB=Jp/+AB?=2&，

DA2771r-

tanZPBA=——=—=1,所以NPBA=—,BD=—BP=6,BC'=BA+AC=2+1=3,

AB242

所以在三角形中，

由余弦定理可得CD=J32+(-2x3x夜義豐=6，

所以CE+的最小值為V5.

21.已知點(diǎn)尸是邊長為2的菱形/BCD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸在底面N8CD上的射影是

ZC與的交點(diǎn)。，已知/切。=60°,△尸是等邊三角形.

(2)求點(diǎn)。到平面尸8C的距離;

(3)若點(diǎn)￡是線段40上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)￡在何處時，直線PE與平面P8C所成的角最大？

求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)E此時所在的位置.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)巫

5

14

(3)