高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題92 概率與統(tǒng)計 綜合應(yīng)用（原卷版）

2019年高考數(shù)學(xué)（理）高頻考點名師揭秘與仿真測試92概率與統(tǒng)計綜合應(yīng)用【考點講解】具本目標(biāo)：（1）理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會求某些取有限個值的離散型隨機(jī)變量的分布列.（2）了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.（3）了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.（4）理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.（5）借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.（6）了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.（7）了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用.二、知識概述：1..古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）為有限個，且每次試驗只能出現(xiàn)其中的一個結(jié)果（基本事件）；（2）每個試驗結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.【溫馨提示】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：（1）列舉法；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化；（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目．2.幾何概型的基本特性：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個；（2）每個試驗結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.3.離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其概率分布然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對應(yīng)．求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．4.二項分布的判斷與應(yīng)用.二項分布，實際是對n次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.5.判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)的公式求出，然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷．求線性回歸方程時，在嚴(yán)格按照公式求解時，一定要注意計算的準(zhǔn)確性．【真題分析】1.【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A． B． C． D．2.【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．3.【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4.【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.35．【2018年高考浙江卷】設(shè)，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時，A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小6．【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p37.【2017年高考浙江卷】已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2．若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>8.【2017年高考山東卷理數(shù)】為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為（）A．B．C．D．9.【2018年高考江蘇卷）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為__________．10.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．11.【2016山東理19】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（1）“星隊”至少猜對個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望.12.【2016全國乙理19】某公司計劃購買臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).（1）求的分布列；（2）若要求，確定的最小值；（3）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？13.【2018年高考北京卷理數(shù)】電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立．（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（3）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．14．【2018年高考天津卷理數(shù)】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．15．【2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【模擬考場】1.【2018年高考江蘇卷】已知5位裁判給某運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為______________．2．【2018年高考江蘇卷】某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為______________．4.【2017年高考江蘇卷】記函數(shù)的定義域為．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則的概率是______________．5.【2017年高考江蘇卷】______________6．【2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則______________．7.某廠有4臺大型機(jī)器，在一個月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修．每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．（1）問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資．每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人．求該廠每月獲利的均值．8.有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次．根據(jù)年齡將大眾評委分為5組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率.9.在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人．(1)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績等級為A的人數(shù)；(2)若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(3)已知參加本考場測試的考生中，恰有2人的兩科成績等級均為A.在至少一科成績等級為A的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人的兩科成績等級均為A的概率．10.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概