高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題突破（六）

熱點題型1統(tǒng)計與統(tǒng)計案例以實際生活中的事例為背景，通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的分析進行統(tǒng)計、抽象概括，做出估計與判斷．常與抽樣方法、頻率分布直方圖、莖葉圖、概率等知識交匯考查，考查考生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力．eq\o(典例)(2018·合肥質(zhì)檢)為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時間的利用問題，某校從高二年級1000名學(xué)生(其中走讀生450名，住宿生550名)中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)星期天晚上學(xué)習(xí)時間(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90，120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240)，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人．(1)求n的值并補全頻率分布直方圖；(2)如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：利用時間充分利用時間不充分總計走讀生住宿生10總計據(jù)此資料，是否認(rèn)為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)？(3)若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時間的原因，求抽出的2人中第①組、第②組各有1人的概率．參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)設(shè)第i組的頻率為Pi(i＝1,2，…，8)，由圖可知P1＝eq\f(1,1500)×30＝eq\f(2,100)，P2＝eq\f(1,1000)×30＝eq\f(3,100)，∴學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的頻率為P1＋P2＝eq\f(5,100)，由題意得n×eq\f(5,100)＝5，∴n＝100.又P3＝eq\f(1,375)×30＝eq\f(8,100)，P5＝eq\f(1,100)×30＝eq\f(30,100)，P6＝eq\f(1,120)×30＝eq\f(25,100)，P7＝eq\f(1,200)×30＝eq\f(15,100)，P8＝eq\f(1,600)×30＝eq\f(5,100)，∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝eq\f(12,100)，∴第④組的高度為h＝eq\f(12,100)×eq\f(1,30)＝eq\f(12,3000)＝eq\f(1,250)，頻率分布直方圖如圖．(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“住宿生”有55人，“走讀生”有45人，利用時間不充分的有100×(P1＋P2＋P3＋P4)＝25(人)，從而2×2列聯(lián)表如下：利用時間充分利用時間不充分總計走讀生301545住宿生451055總計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－15×452,45×55×75×25)＝eq\f(3752×100,4640625)≈3.030.∵3.030<3.841，∴沒有理由認(rèn)為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)．(3)由題可知第①組人數(shù)為100×P1＝2(人)，第②組人數(shù)為100×P2＝3(人)，記第①組的2人為A1，A2，第②組的3人為B1，B2，B3，則“從5人中抽取2人”所構(gòu)成的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3”，共10個基本事件；記“抽取2人中第①組、第②組各有1人”記作事件A，則事件A所包含的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，共6個基本事件，∴P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，即抽出的2人中第①組、第②組各有1人的概率為eq\f(3,5).熱點題型2概率與統(tǒng)計的綜合以實際問題為背景，利用頻率估計概率，常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率及其分布列等知識交匯命題，考查考生分析問題及解決問題的能力．eq\o(典例)(2017·江西新余模擬)2016年10月21日，臺風(fēng)“海馬”導(dǎo)致江蘇、福建、廣東3省11市51個縣(市、區(qū))189.9萬人受災(zāi)，某調(diào)查小組調(diào)查了受災(zāi)某小區(qū)的100戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)(單位：元)分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五組，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表所示，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為捐款數(shù)額超過或不超過500元和自家經(jīng)濟損失是否超過4000元有關(guān)；(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記抽取的3戶居民中自家經(jīng)濟損失超過4000元的戶數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)由頻率分布直方圖可得，在抽取的100戶中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有70戶，經(jīng)濟損失超過4000元的有30戶，補全表格數(shù)據(jù)如下：則K2＝eq\f(100×60×10－10×202,80×20×70×30)≈4.762.因為4.762>3.841.所以可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為捐款數(shù)額超過或不超過500元和自家經(jīng)濟損失是否超過4000元有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖可知抽到自家經(jīng)濟損失超過4000元的居民的頻率為0.3，將頻率視為概率，由題意知ξ的可能取值為0,1,2,3，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))3＝eq\f(343,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(441,1000)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))1＝eq\f(189,1000)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))0＝eq\f(27,1000).從而ξ的分布列為ξ0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)E(ξ)＝np＝3×eq\f(3,10)＝0.9，D(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝0.63.熱點題型3離散型隨機變量的分布列、期望與方差離散型隨機變量分布列及均值與方差及其應(yīng)用是高考中的一個熱點．解題時要弄清離散型隨機變量的所有取值及每個取值下對應(yīng)的概率，對概型的確定及轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．eq\o(典例)(2017·河南質(zhì)監(jiān))小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的帳戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A、B、C是否猜中互不影響．(1)求A恰好獲得4元的概率；(2)設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列；(3)設(shè)B獲得的金額為Y元，C獲得的金額為Z元，判斷A所獲得的金額的期望能否超過Y的期望與Z的期望之和．解(1)A恰好獲得4元的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).(2)X的可能取值為0,4,6,12，P(X＝4)＝eq\f(1,9)，P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝12)＝eq\f(1,3)，所以X的分布列為：X04612Peq\f(2,9)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,3)(3)Y的可能取值為0,4,6；Z的可能取值為0,4.因為P(Y＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，P(Y＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(Y＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(Z＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9)，P(Z＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，所以E(Y)＝0×eq\f(5,9)＋4×eq\f(1,9)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(22,9)，E(Z)＝0×eq\f(8,9)＋4×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9)，所以E(Y)＋E(Z)＝eq\f(26,9)，又E(X)＝0×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＋6×eq\f(1,3)＋12×eq\f(1,3)＝eq\f(58,9)，由于E(X)>E(Y)＋E(Z)，所以A所獲得的金額的期望能超過Y的期望與Z的期望之和．熱點題型4樣本數(shù)字特征與正態(tài)分布的綜合樣本的數(shù)字特征與正態(tài)分布及概率分布列的綜合在高考中時有出現(xiàn)，體現(xiàn)了知識網(wǎng)絡(luò)的交匯，命題新穎，具有一定的創(chuàng)新性．解決與正態(tài)分布有關(guān)的問題重在理解μ，σ2的意義及密度曲線的對稱性．eq\o(典例)(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：經(jīng)計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計值eq\o(μ,\s\up16(^))，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值eq\o(σ,\s\up16(^))，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除(eq\o(μ,\s\up16(^))－3eq\o(σ,\s\up16(^))，eq\o(μ,\s\up16(^))＋3eq\o(σ,\s\up16(^)))之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)