數(shù)學(xué)?？級狠S題華師版九年級專題07解直角三角形的應(yīng)用仰俯角的四種考法含答案及解析

專題07解直角三角形應(yīng)用仰俯角的四種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“獨立”型 2類型二、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“背靠背”型 4類型三、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“疊合”型 7類型四、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“斜截”型 12壓軸能力測評（12題） 16解題知識必備1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．2.仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．3.坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．4.方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“獨立”型例題：（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.5米的測角儀，測得旗桿頂端D的仰角為，求旗桿的高度．（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：，，】【變式訓(xùn)練1】（24-25九年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學(xué)從點C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡頂D處，斜坡的坡度（或坡比），在D處測得該建筑物頂端A的俯角為，則建筑物的高度約為多少米？（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點，于點，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點處測得點的仰角為，求乙建筑物的高．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）類型二、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“背靠背”型例題：（24-25九年級上·上?！て谥校┤鐖D，甲乙兩幢樓之間的距離CD等于45米，現(xiàn)在要測乙樓的高，（），所選觀察點A在甲樓一窗口處，．從A處測得乙樓頂端B的仰角為45°，底部C的俯角為30°，求乙樓的高度（取，結(jié)果精確到1米）．【變式訓(xùn)練1】（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設(shè)計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山的高度．（結(jié)果保留根號）

【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·吉林長春·期中）圖①是象山亞帆中心地標(biāo)性建筑亞帆燈塔．某數(shù)學(xué)興趣小組測量亞帆燈塔的高度后繪制了如圖②所示的示意圖．在其附近高為的高臺上的處測得塔頂處的仰角為，塔底部處的俯角為．求亞帆燈塔的高．（結(jié)果精確到）【參考數(shù)據(jù)：，，】類型三、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“疊合”型例題：（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖①，位于農(nóng)安鎮(zhèn)城西門的黃龍塔至今已有千年歷史，亦稱遼塔．某校數(shù)學(xué)興趣小組在測量黃龍塔的高度的過程中，繪制了如圖②的示意圖．在處用高為的測角儀測得塔頂端的仰角為，再向黃龍塔方向前進到達(dá)距處的處，又測得塔頂端的仰角為．求黃龍塔的高度（結(jié)果精確到）．【參考數(shù)據(jù)：，，】【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·安徽·期末）如圖，塔前有一座高為的山坡，已知，，點，，在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在山坡處測得塔頂部的仰角為，在山坡處測得塔頂部的仰角為．(1)求的長．(2)求塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果取整數(shù)）【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·全國·期末）如圖，為了測量某建筑物的高度，小明先在地面上用測角儀A處測得建筑物頂部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前進了到達(dá)D處，此時遇到一斜坡，坡度，沿著斜坡前進到達(dá)F處測得建筑物頂部的仰角是，（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．(1)求斜坡的端點F到水平地面的距離和斜坡的水平寬度分別為多少米？(2)求建筑物的高度為多少米？(3)現(xiàn)小亮在建筑物一樓（水平地面上點B處）乘電梯至樓頂（點C），電梯速度為，同時小明從測角儀處（點A）出發(fā)，騎摩托車至斜坡的端點F處，已知，小明在平地上的車速是上坡車速的兩倍，小亮所用時間是小明所用時間的一半，求小明上坡時的車速為多少？類型四、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“斜截”型例題：（24-25九年級上·河北唐山·期中）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵長在斜坡上的楊樹的高度．如圖，已知斜坡的坡度為米，在距離點C4米處的點D測得楊樹頂端A的仰角為．(1)______度；(2)求楊樹的高度．（，，在同一平面內(nèi)，點C，D在同一水平線上，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）【變式訓(xùn)練1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖是某路段路燈的示意圖，燈桿長0.6m，燈柱與燈桿的夾角為．為節(jié)能環(huán)保并提高路燈的照明效果，路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域的長為12.3，從D，E兩處分別測得路燈A的仰角為和，求燈柱的高度（參考數(shù)據(jù)：，，）．【變式訓(xùn)練2】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）每年的3月5日是“學(xué)雷鋒紀(jì)念日”，為弘揚雷鋒精神，某校九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們來到學(xué)校附近的雷鋒像（圖1）下敬獻鮮花和花籃，集體朗誦《雷鋒日記》部分章節(jié)，高唱歌曲《學(xué)習(xí)雷鋒好榜樣》，如圖2，該興趣小組的同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量雷鋒像的長度，表示底座高度，表示雷鋒像人身的高度，在點D處測得點B的仰角，點C的仰角，后退2米到達(dá)點E處后測得點C的仰角，點A、D、E在同一直線上，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）(1)求的度數(shù)；(2)①求的長；②求的長．壓軸能力測評（12題）一、單選題1．（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖①，天窗打開后，天窗邊緣與窗框夾角為，它的示意圖如圖②所示．若長為米，則窗角到窗框的距離的大小為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（24-25九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為，B處的俯角為60°．若斜面坡度為，則斜坡的長是（

）米A． B． C． D．3．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達(dá)點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．二、填空題4．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量學(xué)校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當(dāng)無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為，則旗桿的高度為米．5．（24-25九年級上·上海閔行·期中）“二鳥飲泉”問題中記載：“兩塔高分別為30步和20步．兩塔之間有噴泉，兩鳥從兩塔頂同時出發(fā)，以相同速度沿直線飛往噴泉中心，同時抵達(dá)．噴泉與兩塔在同一平面內(nèi)，求兩塔之間的距離．”如圖，已知，，是上一點，，在處測得點的俯角為，，，那么．6．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，河流兩岸，互相平行，點，是河岸上的兩座建筑物，點，是河岸b上的兩點，，的距離約為米，某人在河岸上的點處測得，，則河流的寬度約為米．三、解答題7．（24-25九年級上·全國·期末）為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度．一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的、兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在處海域．如圖所示，海里，在處測得在北偏東的方向上，處測得在北偏西的方向上，在海岸線上有一燈塔，測得海里．(1)求出A與C距離（結(jié)果保留根號）．(2)已知在燈塔周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在處海監(jiān)船沿前往處盤查，途中有無觸礁的危險（參考數(shù)據(jù)：，，．8．（24-25九年級上·四川巴中·期末）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島海里的點處，它沿著點的南偏東的方向航行．(1)當(dāng)漁船航行到與小島距離最近時，求漁船航行的距離及漁船與小島之間的最近距離．(2)當(dāng)漁船到達(dá)距離小島最近的點后，按原航向繼續(xù)航行海里后到點處突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊求救，問救援隊從處出發(fā)沿著哪個方向航行到達(dá)事故地點航程最短？最短航程是多少？（結(jié)果保留根號）9．（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖為某景區(qū)平面示意圖，為景區(qū)大門，，，分別為三個風(fēng)景點．經(jīng)測量，，，在同一直線上，且，在的正北方向，米，點在點的南偏東方向，在點的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求，兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）(2)大門在風(fēng)景點的南偏西方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修之間的步道，求間的距離．10．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道，無人機從點正上方點C沿正東方向以的速度飛行到達(dá)點D，此時測得點A的俯角為，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行到達(dá)點，測得點B的俯角為．(1)求無人機的高度；（結(jié)果保留根號）(2)求隧道的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）11．（22-23九年級上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）重慶有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北區(qū)塔子山的文峰塔被稱為是重慶的“航標(biāo)”．小宇與小航準(zhǔn)備測量塔子山文峰塔的高度，如圖，小宇在點處觀測到文峰塔最高點的仰角為，再沿正對文峰塔的方向前進至處測得最高點的仰角為，小航先在點處豎立長為標(biāo)桿，再后退至其眼睛所在位置點、標(biāo)桿頂、最高點在一條直線上，此時測得最高點的仰角為，已知兩人身高均為（頭頂?shù)窖劬Φ木嚯x忽略不計）．(1)求文峰塔的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)測量結(jié)束時小宇站在點處（點在點的正下方），小航站在點處，兩人相約在塔底見面，小宇的速度為，小航速度是其2倍，誰先到達(dá)塔底？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2023九年級下·重慶長壽·學(xué)業(yè)考試）第24屆冬季奧林匹克運動會已過去一年，但我國運動員取得的9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌的優(yōu)異成績卻激起了國人對冰雪運動的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個滑雪大跳臺（如圖1），它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區(qū)四部分組成．圖2是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺的跨度米，頂端E到的距離為40米，，，，．(1)求圖中的高度是多少？（結(jié)果保留整數(shù)）(2)求此大跳臺最高點A距地面的距離是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）

專題07解直角三角形應(yīng)用仰俯角的四種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“獨立”型 2類型二、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“背靠背”型 4類型三、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“疊合”型 7類型四、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“斜截”型 12壓軸能力測評（12題） 16解題知識必備1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．2.仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．3.坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．4.方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“獨立”型例題：（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.5米的測角儀，測得旗桿頂端D的仰角為，求旗桿的高度．（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：，，】【答案】旗桿的高約為米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)于E，利用正切的概念求出的長，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：由題意得，于E，米，，在中，（米），（米），答：旗桿的高約為米．【變式訓(xùn)練1】（24-25九年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學(xué)從點C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡頂D處，斜坡的坡度（或坡比），在D處測得該建筑物頂端A的俯角為，則建筑物的高度約為多少米？（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】建筑物的高度約為米．【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的長是解題關(guān)鍵．根據(jù)坡度，勾股定理，可得的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得∠1的正切，根據(jù)正切的含義，可得的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：作于E點，作于F點，如圖，設(shè)，，則，，，由勾股定理，得，解得，∴，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴建筑物的高度約為米．【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點，于點，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點處測得點的仰角為，求乙建筑物的高．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】乙建筑物的高為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的實際應(yīng)用：仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．根據(jù)四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得，在中，由的正切函數(shù)可求出的長，進而根據(jù)即可算出答案．【詳解】解：過點A作，由題意得：四邊形是矩形，，，在中，，，答：乙建筑物的高為．類型二、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“背靠背”型例題：（24-25九年級上·上?！て谥校┤鐖D，甲乙兩幢樓之間的距離CD等于45米，現(xiàn)在要測乙樓的高，（），所選觀察點A在甲樓一窗口處，．從A處測得乙樓頂端B的仰角為45°，底部C的俯角為30°，求乙樓的高度（取，結(jié)果精確到1米）．【答案】約為71米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解．【詳解】解：從觀察點A作，交于點E，依題意，可知（米），．∵,∴為等腰直角三角形．∴（米）．在中，，得（米）∴（米）．

答：乙樓的高度約為71米．【變式訓(xùn)練1】（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設(shè)計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山的高度．（結(jié)果保留根號）

【答案】米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明四邊形和四邊形為矩形，得出米，米，，，設(shè)，則米，解直角三角形得出，，根據(jù)米，得出，求出，最后得出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴四邊形和四邊形為矩形，∴米，米，，，∴（米），設(shè)，則米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·吉林長春·期中）圖①是象山亞帆中心地標(biāo)性建筑亞帆燈塔．某數(shù)學(xué)興趣小組測量亞帆燈塔的高度后繪制了如圖②所示的示意圖．在其附近高為的高臺上的處測得塔頂處的仰角為，塔底部處的俯角為．求亞帆燈塔的高．（結(jié)果精確到）【參考數(shù)據(jù)：，，】【答案】米【知識點】已知正切值求邊長、仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，過點作于點，連接、，證明四邊形為矩形，得出，在中，在中，分別解直角三角形得出、的長，最后再由計算即可得解．解題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義及解直角三角形．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接、，∴，由題意知：，，，，，∴，∴四邊形為矩形，∴，在中，，在中，，∴，∴（米）．答：亞帆燈塔的高的值為米．類型三、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“疊合”型例題：（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖①，位于農(nóng)安鎮(zhèn)城西門的黃龍塔至今已有千年歷史，亦稱遼塔．某校數(shù)學(xué)興趣小組在測量黃龍塔的高度的過程中，繪制了如圖②的示意圖．在處用高為的測角儀測得塔頂端的仰角為，再向黃龍塔方向前進到達(dá)距處的處，又測得塔頂端的仰角為．求黃龍塔的高度（結(jié)果精確到）．【參考數(shù)據(jù)：，，】【答案】【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題主要查了解直角三角形．延長交于點F，根據(jù)題意得：，，，在中，可設(shè)，則，然后在中，解直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點F，根據(jù)題意得：，，，在中，，∴可設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．即黃龍塔的高度為．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·安徽·期末）如圖，塔前有一座高為的山坡，已知，，點，，在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在山坡處測得塔頂部的仰角為，在山坡處測得塔頂部的仰角為．(1)求的長．(2)求塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果取整數(shù)）【答案】(1)的長為(2)塔的高度約為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角三角形【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運用，（1）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，如圖，過點作．垂足為，在中，，根據(jù)角的正切值可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，在中，，，∴,∴DE的長為．（2）解：由題意得，在中，，，∴，在中，設(shè)，∵，∴，∴，如圖，過點作．垂足為，由題意得，，∵，∴，在中，，∴，∴，解得，∴，答：塔的高度約為．【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級上·全國·期末）如圖，為了測量某建筑物的高度，小明先在地面上用測角儀A處測得建筑物頂部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前進了到達(dá)D處，此時遇到一斜坡，坡度，沿著斜坡前進到達(dá)F處測得建筑物頂部的仰角是，（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．(1)求斜坡的端點F到水平地面的距離和斜坡的水平寬度分別為多少米？(2)求建筑物的高度為多少米？(3)現(xiàn)小亮在建筑物一樓（水平地面上點B處）乘電梯至樓頂（點C），電梯速度為，同時小明從測角儀處（點A）出發(fā)，騎摩托車至斜坡的端點F處，已知，小明在平地上的車速是上坡車速的兩倍，小亮所用時間是小明所用時間的一半，求小明上坡時的車速為多少？【答案】(1)斜坡的端點F到水平地面的距離為米，斜坡的水平寬度為米(2)米(3)小明上坡時的車速為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、含30度角的直角三角形、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角與俯角，坡度坡角問題等知識．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．（1）由可得，再由直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求解即可；（2）由可證，設(shè)米，根據(jù)得，即，再求解即可；（3）設(shè)小明上坡時的車速為，小明在平地上的車速為，根據(jù)題意可列方程，再求解即可．【詳解】（1）解：，，，米，∴斜坡的端點F到水平地面的距離為，斜坡的水平寬度為米．（2）解：由題意知：，在中，，，，設(shè)米，在中，，，，解得：，米，答：建筑物的高度為米；（3）解：設(shè)小明上坡時的車速為，小明在平地上的車速為，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是方程的解，且符合題意，∴小明上坡時的車速為．類型四、解直角三角形應(yīng)用仰俯角之“斜截”型例題：（24-25九年級上·河北唐山·期中）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵長在斜坡上的楊樹的高度．如圖，已知斜坡的坡度為米，在距離點C4米處的點D測得楊樹頂端A的仰角為．(1)______度；(2)求楊樹的高度．（，，在同一平面內(nèi)，點C，D在同一水平線上，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)楊樹的高度為米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度及仰角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)坡度得出，即可求解；（2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解．【詳解】（1）解：斜坡的坡度為，，，故答案為：；（2）解：過點作的垂線，交于點，如下圖：，即，解得：，，即，解得：，在中，，即，，解得：（米），答：楊樹的高度為米．【變式訓(xùn)練1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖是某路段路燈的示意圖，燈桿長0.6m，燈柱與燈桿的夾角為．為節(jié)能環(huán)保并提高路燈的照明效果，路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域的長為12.3，從D，E兩處分別測得路燈A的仰角為和，求燈柱的高度（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】燈柱的高度約為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【詳解】解：如圖，過點A作，垂足為F，過點B作，垂足為G，由題意，得，，∵，∴．在中，，∴．設(shè)，∵，∴．在中，，∴．在中，，∴，∴，，∴，∴，∴燈柱的高度約為．【變式訓(xùn)練2】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）每年的3月5日是“學(xué)雷鋒紀(jì)念日”，為弘揚雷鋒精神，某校九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們來到學(xué)校附近的雷鋒像（圖1）下敬獻鮮花和花籃，集體朗誦《雷鋒日記》部分章節(jié)，高唱歌曲《學(xué)習(xí)雷鋒好榜樣》，如圖2，該興趣小組的同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量雷鋒像的長度，表示底座高度，表示雷鋒像人身的高度，在點D處測得點B的仰角，點C的仰角，后退2米到達(dá)點E處后測得點C的仰角，點A、D、E在同一直線上，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）(1)求的度數(shù)；(2)①求的長；②求的長．【答案】(1)(2)①的長約為米；②的長約為米．【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，靈活運用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）連接，過點作，由題意可知，，，，進而得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，即可求解；（2）①由題意可知，是等腰直角三角形，則令米，利用銳角三角函數(shù)列方程，求出，即可求解；②由①可知，米，再利用銳角三角函數(shù)求出米，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，過點作，由題意可知，，，，，，，，，；（2）解：①由題意可知，，，，，米，是等腰直角三角形，，令米，則米，在中，，，，即的長約為米；②由①可知，米，在中，，米，米，即的長約為米．壓軸能力測評（12題）一、單選題1．（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖①，天窗打開后，天窗邊緣與窗框夾角為，它的示意圖如圖②所示．若長為米，則窗角到窗框的距離的大小為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系在直角三角形中的應(yīng)用．熟練掌握直角三角形中得邊角關(guān)系是解題得關(guān)鍵，在中，由三角函數(shù)關(guān)系即可得解．【詳解】解：在中，∵，∴米，故選：D．2．（24-25九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為，B處的俯角為60°．若斜面坡度為，則斜坡的長是（

）米A． B． C． D．【答案】C【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】過作于，過點作于點，由坡度的定義得，求得，再證是等腰直角三角形，得，然后由銳角三角函數(shù)定義求出的長，即可得出答案．此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，證明為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作于，過點作于點，斜面坡度為，，，在處進行觀測，測得山坡上處的俯角為，山腳處的俯角為，，，，是等腰直角三角形，，，，，解得：故選：C．3．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達(dá)點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】B【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考査了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長交于點C，根據(jù)題意得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】如圖，延長交于點C．由題意得．在中，，，．在中，，，．故選B．二、填空題4．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量學(xué)校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當(dāng)無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為，則旗桿的高度為米．【答案】/【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角的問題，以及解直角三角形方法，解題的關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu)造出直角三角形，難度不大．過點作于點，利用直角三角形的解法得出，進而解答即可．【詳解】解：過點作于點，當(dāng)無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為，米，，（米），旗桿的高度（米），故答案為：．5．（24-25九年級上·上海閔行·期中）“二鳥飲泉”問題中記載：“兩塔高分別為30步和20步．兩塔之間有噴泉，兩鳥從兩塔頂同時出發(fā)，以相同速度沿直線飛往噴泉中心，同時抵達(dá)．噴泉與兩塔在同一平面內(nèi)，求兩塔之間的距離．”如圖，已知，，是上一點，，在處測得點的俯角為，，，那么．【答案】/【知識點】用勾股定理解三角形、仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形仰角俯角問題及勾股定理，根據(jù)題意可得，解直角三角形求出，進而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，在中，，，，在中，，則，，．故答案為：．6．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，河流兩岸，互相平行，點，是河岸上的兩座建筑物，點，是河岸b上的兩點，，的距離約為米，某人在河岸上的點處測得，，則河流的寬度約為米．【答案】【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．過點作于點，結(jié)合勾股定理和銳角三角函數(shù)即可求解；【詳解】解：過點作于點，則，，，，∴，，，，，解得：，故答案為：．三、解答題7．（24-25九年級上·全國·期末）為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度．一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的、兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在處海域．如圖所示，海里，在處測得在北偏東的方向上，處測得在北偏西的方向上，在海岸線上有一燈塔，測得海里．(1)求出A與C距離（結(jié)果保留根號）．(2)已知在燈塔周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在處海監(jiān)船沿前往處盤查，途中有無觸礁的危險（參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)與的距離為海里(2)海監(jiān)船沿前往處盤查，無觸礁的危險【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給方向角構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．（1）如圖所示，過點作于點，可求得，，設(shè)，在與中，分別表示出、的長度，然后根據(jù)海里，代入、的式子，求出的值，繼而可求出的長度；（2）如圖所示，過點作于點，在中，根據(jù)的值，利用三角函數(shù)的知識求出的長度，然后與100比較，進行判斷．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，可得，，設(shè)，在中，，在中，，海里，，解得：，則，答：與的距離為海里；（2）解：如圖所示，過點作于點，在中，，，，故海監(jiān)船沿前往處盤查，無觸礁的危險．8．（24-25九年級上·四川巴中·期末）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島海里的點處，它沿著點的南偏東的方向航行．(1)當(dāng)漁船航行到與小島距離最近時，求漁船航行的距離及漁船與小島之間的最近距離．(2)當(dāng)漁船到達(dá)距離小島最近的點后，按原航向繼續(xù)航行海里后到點處突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊求救，問救援隊從處出發(fā)沿著哪個方向航行到達(dá)事故地點航程最短？最短航程是多少？（結(jié)果保留根號）【答案】(1)漁船航行海里距離小島最近，漁船與小島之間的最近距離為海里(2)救援隊從處出發(fā)沿點的南偏東的方向航行到達(dá)事故地點航程最短，最短航程是海里【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．（1）過作于，根據(jù)題意求得，在中，根據(jù)垂線段最短和銳角三角函數(shù)定義求解即可；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求得，進而可得，在中，利用兩點之間線段最短及銳角三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】（1）解：過作于，則，由題意可知，則，在中，∵，，∴．答：漁船航行海里距離小島最近，漁船與小島之間的最近距離為海里．（2）解：∵，，∴，∴，∴，在中，∵，，∴．故救援隊從處出發(fā)沿點的南偏東的方向航行到達(dá)事故地點航程最短，最短航程是海里．9．（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖為某景區(qū)平面示意圖，為景區(qū)大門，，，分別為三個風(fēng)景點．經(jīng)測量，，，在同一直線上，且，在的正北方向，米，點在點的南偏東方向，在點的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求，兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）(2)大門在風(fēng)景點的南偏西方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修之間的步道，求間的距離．【答案】(1)、兩地的距離約為339.4米(2)米【知識點】含30度角的直角三角形、方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）過點作于點，可求出，利用含的直角三角形的性質(zhì)得出，在中，利用正弦定義可求出，即可求解；（2）過點作于點，在中，利用正弦定義可求出、，在中，利用含的直角三角形的性質(zhì)可求出，即可求解．【詳解】（1）解：過點作于點，由題意知，，，，，，在中，米，（米），（米）．答：、兩地的距離約為339.4米；（2）解：過點作于點，由（1）得（米），，，，，，在中，，，（米），在中，，（米），（米）．10．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道，無人機從點正上方點C沿正東方向以的速度飛行到達(dá)點D，此時測得點A的俯角為，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行到達(dá)點，測得點B的俯角為．(1)求無人機的高度；（結(jié)果保留根號）(2)求隧道的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(