2024-2025學(xué)年重慶烏江新高考協(xié)作體高三年級(jí)上冊(cè)二調(diào)數(shù)學(xué)試題及答案

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（二）

數(shù)學(xué)試題

（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.由b2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有（）個(gè)元素

A.15B.16C.17D.18

2.若直線y=2x是曲線，(x)=x(eF*-a)的切線，則()

A.-eB.-1C.1D.e

L」+COS2。/

3.已知tana=2,則一^一二()

sm2a

11

A.3B.-C.2D.-

32

4.若4（1,0）,3（0,6）,C（—2,-2）三點(diǎn)共線，則6=（）

2323

A.----B.----C.-D.一

3232

5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步.問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉

徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為

6和。的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形

（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為寬為內(nèi)接正方形的

邊長(zhǎng)d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊8c的中點(diǎn)，作直角三角形

4BC的內(nèi)接正方形對(duì)角線ZE,過點(diǎn)N作4F18C于點(diǎn)尸，則下列推理正確的是（）

圖1圖2圖3

A.由圖1和圖2面積相等得"=言B.由4E24F可得，

2

C.由402%￡可得11D.由4024下可得/+〃2.+6

—+—

ab

6.已知設(shè)z=x+yi(x/cR),則|(%—3)+(y+3)i|=2,則|z+l|的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

7.若數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，%=1，數(shù)列｛4｝為公差為6,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列｛耳，｝前

5項(xiàng)和的最小值為（）

187167147

A.——B.---C.---D.65

444

21

8.設(shè)a=tan0.21,Z）=lnl.21,c=——,則下列大小關(guān)系正確的是（)

22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.

9.已知非零向量第B忑，則下列結(jié)論正確的是（

A.若譏鼠己）=0,貝iJBnB.若（萬+B）_Lm一B）,則

C.若晨工=3N，則N=BD.向量（展司己-（鼠/）3與向量5垂直

10.已知根"（0,1）。（1,+°°），若log,“2=--—JogJuL則下列命題正確的是（）

1一2。a

A.若Q=2,則加〃=2B.若Q>2,則加〃>2

C.若mn—1,則a=1D.若加〃>1,則a〉1

11.已知｛coso,cos2a,cos3。｝=｛sina,sin2a,sin3。｝,則?？梢允?

71

A.I

3兀

B.一1"

2兀

C"T

兀

D.

14

12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù).當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的

點(diǎn)）.他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù).根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都

柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge.對(duì)四元數(shù)

K=Q+bi+cj+Mc,Q,仇c,d￡R的單位,其運(yùn)算滿足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,

ki=j,ji=—k,kj=-i,ik=-j；記萬=q—bi-qj-(7k,N(M)==/+/+/+/，

問=J/+/+c2+d2,定義，1=工，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為修，則以下說法中正確的有()

U

A.集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到一個(gè)八元集合

B.若非零元〃,ve%,則有：u^yu=V-1

C.若瓦,ve「，則有：N(uv)=N(*N(v)

?iu

D.若非零元ae%,則有：M=同

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.若函數(shù)/(x)=/—4"-3在區(qū)間(-4,+網(wǎng)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

14.若/(x)=asin[x+t]+3sin[x+1]是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)°的值為.

15.小澄玩一個(gè)游戲：一開始她在2個(gè)盒子48中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個(gè)質(zhì)地

均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將3中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入2中，直到無法繼

續(xù)游戲.那么游戲結(jié)束時(shí)3中沒有糖的概率是.

16.已知?！?,如果有且僅有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)z,同時(shí)滿足|(z-l)(z+l)2|=。和月=1,則。的取值范

圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=log?:——.

1+X

(1)判斷并證明/(X)的奇偶性；

(2)若對(duì)任意xe,te卜2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐.以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低.現(xiàn)測(cè)得某港口某

天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：(3.1時(shí)即為凌晨3點(diǎn)06分)

時(shí)亥||：X(時(shí))03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)y=Zsin(0x+e)+b來近似描述這一天內(nèi)港口水深與

時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)某條貨船的吃水深度(水面高于船底的距離)為4.2米.安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？?/p>

時(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)(1)中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時(shí)

間及這條貨船一天最多可以在港口中停靠的總時(shí)長(zhǎng).

19.在V4SC中，角45,C的對(duì)邊分別為b,c,已知g=1sinC+cosC.

b3

(1)求角8；

BA-BDBDBC

(2)若。是V4SC邊ZC上的一點(diǎn)，且滿足9a+4c=25,求的最大值.

20.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上

是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得

到如下的頻率分布直方圖：

頻率

0.002

0.001,單次最大

O180230280330380430”續(xù)航里程/千米

(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值方(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽

車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)于，。近似為樣本標(biāo)

準(zhǔn)差S.

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購(gòu)買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)

航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布則尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2tr<J<〃+2a)=0.9545,0(〃一3b<J<〃+3b)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點(diǎn)。出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都,，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則遙控車

向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移到點(diǎn)(59,0)(勝利大本營(yíng))或點(diǎn)(60,0)(失敗大本營(yíng))時(shí)，游戲結(jié)

束，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)(〃,0)的概率為

60),試證明數(shù)列花一耳”1｝是等比數(shù)列(2<?<59),求出數(shù)列仍｝(1。<60)的通項(xiàng)公

式，并比較月9和10的大小.

21.已知V45c的三個(gè)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且tanC=3tan8.

(1)若a=2b,求C；

(2)若。=癡，b+c=3,求V4SC的面積.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=2e*+2sinx-(a+l)x.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)在［0,+8)上的最小值；

(2)若g(x)與/⑴關(guān)于N軸對(duì)稱，當(dāng)x?0時(shí)，/(x"g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研(二)

數(shù)學(xué)試題

(分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.由b2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有()個(gè)元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)取出的數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，每一類中一一列舉出來計(jì)數(shù)即可.

【詳解】只取一個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：共3個(gè)；

只取兩個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有12,21,13,31,23,32共6個(gè)；

取三個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有123,132,213,231,312,321共6個(gè)；

共有3+6+6=15種方法，即由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有15

個(gè)元素，

故選：A.

2.若直線y=2x是曲線，(x)=x(eF*-a)的切線，則。=()

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切點(diǎn)及切線的斜率求得正確答案.

【詳解】/=/,(x)=(l+2x)e2x-a,

依題意，直線底=2x是曲線=的切線,

/(e"-a)=2///=(2+a)/

設(shè)切點(diǎn)為&27),貝卜

(l+2r)e2z-a=2'(l+2?)e2r=2+a

通過對(duì)比系數(shù)可得(1+2。/=/,2產(chǎn)=0/=0,則。=一1.

故選：B

1+cos2a

3.已知tana=2,則)

sin2a

A.3C.2D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計(jì)算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.

.1+cos2a2cos2a11

【詳解】---------=-----------=-----.

sin2a2sin?costztana2

故選：D.

4.若4(1,0),3(0,6),C(—2,-2)三點(diǎn)共線，則6=()

2323

A---B.----C.一

.3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共線向量的性質(zhì)，設(shè)就=彳益且XwO,進(jìn)而列方程求解.

【詳解】?.?4民。三點(diǎn)共線，=方且4片0，

2=3

zs]-2-1=2(0-1)

得(_2_0=9_0)解得2,

b=—

[3

故選：A.

5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步.問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉

徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為

6和。的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形(黃)和兩個(gè)小直角三角形

(朱、青)將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為a+6,寬為內(nèi)接正方形的

邊長(zhǎng)d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊8c的中點(diǎn)，作直角三角形

48。的內(nèi)接正方形對(duì)角線ZE,過點(diǎn)/作于點(diǎn)尸，則下列推理正確的是()

圖1圖3

OA

由圖和圖面積相等得，一

A,12d=B.由/E24F可得

a+b

la2+b22

C.由402ZE可得1-2——FD.由/。2幺/可得/+/+b

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖1,圖2面積相等,可求得d的表達(dá)式,可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中

的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案

【詳解】對(duì)于A,由圖1和圖2面積相等得a/7=(a+b)xd,所以4=9，故A錯(cuò)誤；

a+b

對(duì)于B,因?yàn)?/上8C,所以一xaxb=—,片+/x/F,所以吊尸=/

22Ja2+b-

AE=41d=，

a+b

因?yàn)樗哉?谷'整理得屋之言'故B錯(cuò)詡

對(duì)于C,因?yàn)?。為斜?C的中點(diǎn)，所以ZQ=

2

2

因?yàn)樗越灰?/p>

4D24E,十憶2整理得1―F，故c正確;

2a+b—+-

ab

對(duì)于D,因?yàn)镹D24F,所以立一+匕2處,整理得故D錯(cuò)誤.

2477^

故選：C.

6.已知設(shè)z=x+yi(x,yeR),則|(x_3)+(y+3)i|=2,則|z+l|的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得復(fù)數(shù)z實(shí)部與虛部的關(guān)系，再去求|z+l|的最小值即可解決.

.cx=2cosa+3

【詳解】由I(x—3)+(y+3)i|=2,可得(x—3)2+(y+3)2=4,可令〈

y=2sin?-3

貝1J|z+11="(x+l)2+y2="(2cosa+4)2+(2sina-3)2

=,29+16cos。-12sina=j29+20sin(0一a)((P為銳角，且tan°=g)

由一1Vsin(0—a)Wl,可得3Wj29+20sin(e-a)37

則Iz+11的最小值為3.

故選：A

7.若數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，%=1，數(shù)列｛4｝為公差為6,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列｛可也,｝前

5項(xiàng)和的最小值為()

187167147

A.----B.----C.----D.65

444

【答案】A

【解析】

17,

【分析】由已知可得+ab+ab+%“+%&Uf1F13+19q+25q~,利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值.

2…233qq

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛〃｝為公差為6,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，

所以4=1,4=7也=13也=19,4=25,

若數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，%=1，設(shè)公比為4,

112

則%-—y，。2=一,%%。5=夕，

qq

所以數(shù)列｛〃/“｝前5項(xiàng)和為+。262+。363+a4b4+。5々=~~^----F13+19q+25q2,

1724口一rz(=t,-27—2—70+19/+50g"

設(shè)y=-H----1-13+19^+25^,求導(dǎo)可得y=------+19+50^=-------------T-------------------------，

qqqqq

2

令g(q)=_2—7q+19夕3+50/,可得g，⑷=-7+579+200/,

x/m\r~3,十_，/、___/3、2ccc/3、3—7000+5130+5400?

g(9)在(0,+s)上為增函數(shù)，又g(q)=-7+57x(歷)+200x(-)=------------------------>0,

33

當(dāng)9之二時(shí)，gf(q)>0,所以g(q)在匕7,+oo)上為增函數(shù)，

Xg(1)=-2-7x1+19x(1)3+50x(1)4=0,

所以當(dāng)qe(f,g)j'<0,qe/>0,

,,“，一c1925187

所cr以Vmin=4+14+13+y+—,

3?工+13〉變+四+13=427187

當(dāng)ge(0,”v=---〉----，

q2q9394'

所以則數(shù)列｛%〃｝前5項(xiàng)和的最小值為丁.

故選：A.

21

8.設(shè)a=tan0.21,Z)=lnl.21,c=——,則下列大小關(guān)系正確的是)

22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

TT

【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)0<x<,時(shí)，tanx>x,再通過構(gòu)造函數(shù)

/(x)=x-ln(l+x),0<x<g進(jìn)一步得到x>ln(l+x),xe0,^由此即可比較a,6,進(jìn)一步比較

c,b,由此即可得解.

JT

【詳解】設(shè)0(x)=taiix-x,0<x<5，則J

，/、cosx-cosx-(-sinx)sinx1兀

hf(x)=----------------\-------L--------］二一-——1>0,0<X<-,

cosxcosx2

所以=tanx—X在［og)上單調(diào)遞增，

所以〃(1)=12口工一工〉〃(0)=0,即tanx>x,0<x<Z,

jr|x

令f(x)=x-ln(l+x),0<x<—,則=l—---->0

1+x

所以/(x)=x-ln(l+x)在［o,］)上單調(diào)遞增,

從而/(x)=x-In(1+x)>/⑼=0,即x>In(1+x),

所以tanx>x>ln(l+x),,

從而當(dāng)x=0.21時(shí)，a=tan0.21>6=lnl.21,

.cm,兀02446321

a-tan0.21<tan—=——<—=——<——二——二c，

633666622

所以。>a>b.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較6的大小關(guān)系時(shí)，可以通過先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，由此即可順利得解.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.

9.已知非零向量力員己，則下列結(jié)論正確的是()

A.若加工)=0,則BnB.若0+B)_L伍—B),則@=行|

c.若雇了=3.萬,則g=BD.向量他5-伍工)3與向量)垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到BE=0，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B,根據(jù)

條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算及模的定義，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C,根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，

得至ljm|cos@?=Ecos,Q,即可求解；選項(xiàng)D,根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，得到

[(a-b)c-(a-c)b]-a=O,即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榉綖榉橇阆蛄浚簦?鼠3)=0,則3.己=0，故石工己，所以選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,若伍+彼)?伍-彼)=求一廬=|開一向2=0,故向=|3],所以選項(xiàng)B正確,

對(duì)于選項(xiàng)C^a-c^b-c<則⑷??cos(“〉=⑸.?COS(BQ,

得到同cos@3)=⑸cos色可，不能確定]=B，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,[(5-(5-c)6]-5=(a-b)c-a-(a-c)b-a=(a-b)(c-a)-(a-b)(c-a)=0,

故兄-萬，所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.

10.已知機(jī),〃e(0,l)u(l,+co),若logM2=^^,log〃2=3,則下列命題正確的是()

i-2aa

A.若a=2,則加〃=2B.若a>2,則加〃>2

C.若mn=1,則a=1D.若mn>1,則a〉1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)得機(jī)〃=2“2-2。+1,通過代入a=2即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；

代入機(jī)〃=1即可求出a的值，則可判斷C；由加">1可得2a+l=(a—〉0,可解得a的取值范圍，

則可判斷D.

2

【詳解】由題意知log2m=l—2a/og2〃=a2,JJ/flog2(?/?)=a-2a+1,

所以也〃=2"j+L

對(duì)于A,若a=2,則加〃=2i=2，故A正確；

對(duì)于B,若a>2,則a~—2a+1=(G—I)2>1,所以mn>2'=2>故B正確；

對(duì)于C,若加〃=1,貝UY—2a+l=0，解得a=l,故C正確；

對(duì)于D,若加〃>1,則a?—2。+1=(a-I)?〉0,不能得到a〉l,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知{cosa,cos2a,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},則a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用積化和差和輔助角公式得到夜sin(4+P)=J^sin(四+3,即可求解得到。=也或

24243

ct----1—，kGZJ,可求答案.

28

【詳解】丁{coso,cos2o,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},

cosa+cos2a+cos3a=sin。+sin2a+sin3a,

.a

sin——x(sina+sin2a+sin3a)=sin言x(cosa+cos2a+cos3a),

2

..a..a...a.a.a..a

sincrsin——Fsin2asin——bsm31sHi—=cosasm——I-cosz^zsm——I-cos3^zsin一,

222222

a3a3a5a5a7a.3a.a.5a.3a.la5a

cos-----cos------Fcos-------cos—+cos-------cos——sin--------sin-Fsin--------sin------Fsin-------sin—

222222222222

ala.la.a

cos-----cos——=sm--------sm—

2222

.aa.lala

/.sin.—Fcos——sin.-----Fcos—,

2222

二國(guó)嗚+?=&n(+?

，呼+〉(■!+；)=3。=2E或++[+：]=4a+'=(2左+1”，k^Z,

2hi,一左兀兀

二.CC-----，左￡Z,或(X-------1---，左WZ,

328

3兀71

???經(jīng)檢驗(yàn)，a=-乃或2符合，其它都不符合.

88

故選：AB.

12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù).當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的

點(diǎn)）.他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù).根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都

柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge.對(duì)四元數(shù)

u=a+bi+q+dk,a,仇c,deR的單位iJA,其運(yùn)算滿足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,

ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j；iflu^a-bi-cj-dk,N（u]=uu=a1+b~+c1+d2,

|w|=\la2+b2+c2+d2,定義記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為修,則以下說法中正確的有（）

U

A.集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到一個(gè)八元集合

l-1

B.若非零元〃,ve%,則有：uvu=v

C.若則有：N（uv）=N（u）N（V）

_iu

D.若非零元ae%,則有："=同

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,利用已知條件求出所求集合為｛1"/工-1,」,^,一曲即可；對(duì)于B,直接給出反例

u=l,v=2即可；對(duì)于C,利用N(iz)的定義計(jì)算即可；對(duì)于D,利用C選項(xiàng)的結(jié)果驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A,由于i2=j2=k2=—l,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合-容易驗(yàn)證該集合中任意兩個(gè)元素的乘積還在該集合中，故集合

的元素按乘法得到的集合是八元集合1,-i,-j,-k｝,故A正確；

對(duì)于B,取M=l,v=2,則，%"=尸?2」=1-24=2。!=2一|=V-1,故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C,若設(shè)〃=a+bi+qj+t/k,v=x+ji+zj+wk,則

N(〃v)=N((Q+bi+qj+(7k)(x+yi+zj+wk))

=N(^ax-by-cz-dw)+(即+Zzx+civ—辦)i+(az+cx+方一Z?w)\+^aw+dx-\-bz-cy)k)

=^ax-by-cz-+(即+Zxx+cw—力/+(+ex+-Z?w)2+dx+bz-cy^

=a2x2+b2x2+c2x2+d2x2+a2y2+b2y2+c2y2+d2y2+a2z2+b2z2+c2z2+d2z2+a2w2+b1'w1+c2w2+d2w2

222

=(〃+/+。2+/)12+y+z+w^

=N(a+bi+cj+(7k)N(x+yi+zj+wk)

=N(u)N(v),故C正確；

對(duì)于D,根據(jù)題目中的定義有N(M)=K，從而

u_uu_uu_N(u)_N(u)_N(u)

KIKIJN”),

,1u

所以0=\UEI，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.若函數(shù)/(》)=/一4如一3在區(qū)間(-4,+⑹上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-叫-2]

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸與-4的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=—-4"—3的對(duì)稱軸為x=2a,圖象開口向上，

所以函數(shù)在[2d+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/(“在區(qū)間(-4,+8)上單調(diào)遞增，

所以2a<-4,

解得aW—2.

故答案為：(一00,—2].

14.若/(x)=asin卜+：)+3sin卜+曰是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】_也

【解析】

【分析】由函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，則代入計(jì)算并驗(yàn)證即可求出°?

兀

【詳解】函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，則/

（兀）々（兀兀）3兀）.（兀兀）勺.（兀兀）.71.

——二3sm——+—\=—=/\—=asm\—+—+3sm—+—=（2sm—+3,

（6）^63J2{6J（66）（63）3

化簡(jiǎn)可得a——V3-

當(dāng)。=—g時(shí)，則/（x）=-Gsin[x+E）+3sin[x+"|

.71

+3sinxcos—+cosxsi.n—兀、

33）

A/3cosx

所以/（x）=Gcosx,貝！1/（-x）=A/^COS（-X）=Gcosx=f（x）,

所以函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，則a=—G.

故答案為：-百

15.小澄玩一個(gè)游戲：一開始她在2個(gè)盒子48中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個(gè)質(zhì)地

均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將8中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入8中，直到無法繼

續(xù)游戲.那么游戲結(jié)束時(shí)3中沒有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】設(shè)最初在/中有人顆糖，B中有6-上顆糖時(shí)，游戲結(jié)束時(shí)2中沒有糖的概率為

&（左=0,1，…,6）,歸納找出遞推關(guān)系,利用方程得出旬,再由遞推關(guān)系求生.

【詳解】設(shè)/中有人顆糖，8中有6-%顆糖，游戲結(jié)束時(shí)3中沒有糖的概率為縱（左=0,1,…,6）.

、12112、

顯然%=]%，4=§%1z。V左45）,

可得4+1—=2（以一%J,貝（JR—。5=21%—〃o）=26〃o，

/.&=+2^=。彳+25a0+2^a。=Q]+22+???+2^a。=（27_]），

同理%=%+2?Q°+…+2、=（2‘_1）4,

2111

（27T）%=§Q6_1）%+丁解得a0=雙麗=—

%=（24—1）為=15x255=jy,

故答案為：—

17

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于建立統(tǒng)一的一個(gè)6顆糖果放入2個(gè)盒子不同情況的模型，找到統(tǒng)一

的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系建立方程求出,，即可得出這一統(tǒng)一模型的答案.

16.已知?！?,如果有且僅有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)z,同時(shí)滿足|（z-l）（z+l）2|=。和目=1,則。的取值范

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來研究即可.

【詳解】由"一1）由+l）2|=a可得|z_l||z+l「=a,

又由目=1可得，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，

設(shè)單位圓上動(dòng)點(diǎn)尸，幺(-1,0),5(1,0),則卜-1|表示尸8長(zhǎng)度，|z+l|表示尸/長(zhǎng)度,

即。二尸「尸八又因?yàn)槭a(chǎn)+尸不=人所以"尸"(4-尸爐)，

令PB=x,可設(shè)/(》)=十(4一%2)=一》3+4%，xe(0,2)

/,（X）=-3X2+4,令/'，（%）=0,可得x=^L,

所以/（x）=—/+4%在10，￥^]

/'（X）=-3x2+4>0,上單調(diào)遞增;

/'（X）=-3x2+4<0,所以+4》在

+4義2616〉,/（2）--23+4x2=0,/（0）=0,

所以當(dāng)ae0,時(shí)，x在(0,2)有兩解，即在x軸上方一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足條件,

再利用圓關(guān)于X軸對(duì)稱，所以在X軸下方也一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足條件,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為?尸不，再利用產(chǎn)產(chǎn)+產(chǎn)片=4消元，然后再利

用函數(shù)求導(dǎo)來研究值域，即可求得。的范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=log?；——.

1+X

(1)判斷并證明/(X)的奇偶性;

(2)若對(duì)任意xe--,1,te卜2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

11

(2)——<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定義證明判斷即可;

⑵根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定/(x)在xe上最小值，把問題化為『+而—5W0在/4-2,2]

上恒成立，即可求結(jié)果.

【小問1詳解】

/(x)為奇函數(shù)，證明如下：

1—V

由解析式易知——〉0n(X—l)(x+1)<0^-1<%<1,函數(shù)定義域?yàn)?-1,1),

1+x

而/(-x)=log，F(xiàn)3=-log2；上=-/(x)，故/(X)為奇函數(shù).

l-x1+X

【小問2詳解】

12111一

由加=--=------1在XG上為減函數(shù)，而歹=1。82根在定義域上為增函數(shù)，

1+x1+X33

所以/(x)在xe-1,|上為減函數(shù)，故/(X)1mli=/(g)=-l,

要使任意xe—,tw卜2,2],不等式+成一6恒成立,

只需，+內(nèi)—6?—1在,?[-2,2]上恒成立，即/+a/-5W0在/e[-2,2]上恒成立,

4-2a-5<011

由>=/+m-5開口向上,則！=>——<a<—,

[4+2a-5<022

11

綜上，—一.

22

18.海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐.以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低.現(xiàn)測(cè)得某港口某

天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：(3.1時(shí)即為凌晨3點(diǎn)06分)

時(shí)亥U：X(時(shí))03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)>=Nsin（0x+o）+b[0>O，S|<]J來近似描述這一天內(nèi)港口水深與

時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米.安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？?/p>

時(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時(shí)

間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r(shí)長(zhǎng).

5兀

【答案】（1）y=2.4sin一x+5,0<x<24

-31

（2）最早可行的進(jìn)港時(shí)間為1時(shí)2分，5時(shí)10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r(shí)

長(zhǎng)為8小時(shí)16分.

【解析】

【分析】（1）由公式/=max—minmax+min可求,由表格可得周期/二口/-0=12.4,進(jìn)而求

22

①，代入最高點(diǎn)（31,7.4）可求。；

（2）由題意可知進(jìn)港條件為y>6.2,解不等式即可.

【小問1詳解】

由表格可知y的最大值為7.4,最小值為26

.7.4—2.6_.7.4+2.6

所以/=--------=2.4力7=--------=5,

22