2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合

2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京朝陽初三一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)、E,尸分別在AB,3c的延長線上，且

BE=CF,設(shè)AE）=a,AE=b,AF=c.給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+6>c；?2ab<c2;③，片+廿>2口

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

2.（2024北京豐臺(tái)初三一模）如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E,尸分別是AD,AB邊上的點(diǎn)，AE=AF,且

Q<AE<ED,過點(diǎn)石作團(tuán)13。于點(diǎn)H,過點(diǎn)尸作FGLCD于點(diǎn)G,EH,FG交于點(diǎn)D,連接

OB,OD,3ZX設(shè)AE=a,ED=b,BD=c,給出下面三個(gè)結(jié)論：

@a+b>^a2+b2；?2^cr+b2>c；?a+b>^-c.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2024北京平谷初三一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、G、產(chǎn)分別為AB、BC、CD、AD邊

上的點(diǎn)，點(diǎn)K、M、N為對角線80上的點(diǎn)，四邊形及WV和四邊形MHCG均為正方形，它們的面積分

別表示為S1和S2,

給出下面三個(gè)結(jié)論:

9

①￥=邑；②DF=2AF；③S正方揚(yáng)鉆CD=1H+2sz.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

4.（2024北京東城初三一模）在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，點(diǎn)A（0,2）,B（-l,0）,C（2,0）為YABCD的頂

點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

二、填空題

5.（2023北京海淀初三一模）如圖，菱形ABCD的對角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)股為A3的中點(diǎn)，AC=4,

6.（2024北京房山初三一模）如圖，在矩形ABCD中，M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，則丁的值

為________

7.（2024北京順義初三一模）如圖，在矩形ABCD中，直線分別交于點(diǎn)E,F,0,只需添

加一個(gè)條件即可證明尸白這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）.

8.（2024北京海淀初三一模）如圖，在正方形ABCD中.點(diǎn)E,F,G分別在邊CD,AD,BC±,

FD<CG.若FG=AE,Zl=a,則N2的度數(shù)為（用含。的式子表示）.

FD

三、解答題

9.(2024北京平谷初三一模)如圖，在ABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為BC邊中點(diǎn)，

DE2AB于E,作N￡E>C的平分線交AC于點(diǎn)E過點(diǎn)E作DF的垂線交。產(chǎn)于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、H.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：DH=BE；

(3)判斷線段產(chǎn)。、HC與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

10.(2024北京門頭溝初三一模)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZA=9O°,BD=BC,點(diǎn)、E為

。中點(diǎn)，射線BE交AD的延長線于點(diǎn)R連接CP.

(1)求證：四邊形BCFD是菱形；

⑵若AD=1,CF=2,求8尸的長.

11.(2024北京平谷初三一模)如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。、E分別是BC、AB邊的中點(diǎn)，連

接DE并延長，使EF=2DE,連接AF、CE.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

⑵若々=30。，求證：四邊形ACEP是菱形.

12.（2024北京通州初三一模）如圖，將線段A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。度（0°＜。＜180°）得到線段AC,

連結(jié)BC,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別在線段AC,2c的延長線上，且CE=DE.

（1）ZEDC=（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）連結(jié)3￡）,點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，連接"，EF,NF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②若AFLEF,用等式表示線段N5與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

13.（2024北京東城初三一模）如圖，四邊形ABCD是菱形.延長54到點(diǎn)E,使得AE=AB,延長ZM到點(diǎn)

F,使得AF=AD,連接BO,DE,EF,FB.

（1）求證：四邊形BZ9尸是矩形；

⑵若/ADC=120。，EF=2,求跳'的長.

14.（2024北京順義初三一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在DC,CB的延長線上，且

BF=CE,￡B的延長線交轉(zhuǎn)于點(diǎn)G.

⑴求ZAGE的度數(shù)；

（2）在線段EG上取點(diǎn)X,使得GH=AG,連接AH,CH.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段CH與GB的數(shù)量關(guān)系，并證明.

15.（2024北京海淀初三一模）如圖，在YABCD中，。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,E分別在BC,AD上，EF

經(jīng)過點(diǎn)。，AE=AF.

(2)若E為BC的中點(diǎn)，AE=3,AC=4.求A3的長.

16.(2024北京東城初三一模)如圖，在正方形A5CD中，將邊AD所在直線繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度得到

直線DM,作點(diǎn)A關(guān)于直線DAf的對稱點(diǎn)尸，連接C尸、DP.

(1)依題意補(bǔ)全圖形;

⑵求/DPC的度數(shù);

⑶延長OP、CP分別交直線AS、AD于點(diǎn)區(qū)F,試探究：線段。E、3E和AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.(2024北京東城初三一模)如圖，在等腰_ABC中，AB=3C,30平分/ABC,過點(diǎn)A作隹)〃交

3。的延長線于。，連接8,過點(diǎn)。作DEL3D交BC的延長線于E.

(1)判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由;

(2)若AB=4,NABE=120。，求OE的長.

參考答案

1.A

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明△DAE1四△BAF，結(jié)合三角

形的三邊關(guān)系判斷①；完全平方公式結(jié)合勾股定理判定②；勾股定理判斷③.

【詳解】解：：正方形ABC。，

/.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=90°,

BE=CF,

：.AE=BF,

ADAE^ABAF，

AF=DE=c,

AD+AE>DE,

a+b>c；故①正確；

VAD2+AE2=DE2>即：a2+b2=c2,

**?(b—a)=a~—2ab+b2=c~—2ab>0,

2ab<c2;故②正確；

v且E,尸為動(dòng)點(diǎn)，

無法確定C和2“的關(guān)系，故③錯(cuò)誤；

故選A.

2.A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，①根據(jù)

BD=JAB°+AD。即可判斷;②根據(jù)題意可推出四邊形A/OE是正方形，結(jié)合即可

判斷；③證△￡>￡1/△屏結(jié)合30+00>班>即可判斷；

【詳解】解：：四邊形MCD是正方形，

AB=AD,BD=yjAB2+AD2=拒AD

/.AD=AE+ED=—BD

2

即：a+b=-^-c,故③錯(cuò)誤；

2

???EHIBC,FG±CD,

：.四邊形AEHB,AFGD,AFOE均是矩形

*/AE=AF,

四邊形AR9E是正方形

AE=AF=OE=OF=a

?*-OD=>JDE2+OE2=yjcr+b2

OE+DE>DO

?二a+bNa2+及，故①正確；

?.?AD=AB,AE=AF^

：.DE=BF

?.,/DEO=ZBFO=90°,OE=OF,

:.△DEgABFO

?*-OD=BO=^a1+b1

;BO+DO>BD

工2，片+/>0,故②正確；

故選：A

3.C

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì).根據(jù)正方

形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得==BK=EK=KN,DN=KN,進(jìn)而得到

EK=-BD=—BC,根據(jù)正方形的面積公式即可判斷①；根據(jù)。尸=血硒，EF=^2AF,FN=EF,

33

2211

即可判斷②；由5=§叱=§品—邑有叱=,方形"8,可判斷③。

【詳解】解:①，四邊形A5CD是正方形，

/ABD=/CBD=45。,

四邊形EKNF和四邊形MHCG均為正方形，

ZBHM=NCHM=90°,NBKE=ZNKE=90°,

△3EK和V附因都是等腰直角三角形，

BH=CH=MH=-BC,BK=EK=KN,

2

同理可得￡W=X7V,

EK=-BD=—BC,

33

2222

St=EK=^^BC=|fiC,S2=MH=^BC^=^BC,

???S^S2,故①錯(cuò)誤；

②：萬和△"N都是等腰直角三角形，

DF=-J1FN，EF=V2AF,

四邊形EKN/為正方形，

AFN=EF,

DF^IAF,故②正確；

2911

③由①知：，=§5正方形"CD,邑=73C?=1S正方形4g8,

9921

.?+2S2=7X3$正方形Ms+2X^5正方形=5正方形會(huì)⑺，故③正確;

故選：C.

4.C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（W〃），由平行四

0+2_-1+m

邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得。八八，解方程即可得到答案.

2+00+n

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（加,〃），

0+2_-1+m

由平行四邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得\八八，

2+00+〃

F二F

；.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,2）,

故選：C.

5.75

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，由菱形的性

質(zhì)得AC人BD,OA=OC=^AC=2,OB=OD=；BD=4,由勾股定理得.=舊轉(zhuǎn)而7=2石，再

根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得解.根據(jù)勾股定理求出AB的長是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，AC=4,BD=8,

：.AC1BD,OA=OC=-AC=-x4=2,OB=OD=-BD=-x8=4

2222

ZAOB=90°,

,,AB=VCM2+OB1=+4?=2^/5，

??,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

OM=-AB=-x245=45.

22

故答案為：V5.

6.—/0.5

2

MN1

【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理.連接見利用三角形中位線定理得出而二，進(jìn)而

利用矩形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：連接80,

四邊形ABCD是矩形,

:.AC=BD,

M,N分別為2C,。的中點(diǎn)，

MN是△CDB是中位線，

.MN1

,,—―,

BD2

.MN_1

,?=—，

AC2

故答案為：■

7.OE=OF（答案不唯一）

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4）〃3C,確定/DE0=/BF0,再由全等三角形的判定即可證明.

【詳解】解：添加條件為：OE=OF,

證明：?.?矩形ABCD,

AD//BC,

：2DEO=4BFO,

ZDOE=ZBOF,OE=OF,

ABOF合△DOE（ASA）,

故答案為：OE=OF（答案不唯一）.

8.180°-a/-6Z+180°

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)G作

GH_LAD于點(diǎn)X,證明RtG/7F（HL）,得出NZME=NHGF,求出NEO尸=90。，根據(jù)

ZDE4+Z2+Z￡>+Z.EOF=360°,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)G作GHLAD于點(diǎn)H,如圖所示：

BG

.四邊形A5CD為正方形，

AB=BC=CD=AD,ZC=ZD=90°,AB//CD,

"：ZGHD=ZD=ZC=90°,

四邊形CD”G為矩形，

GH=CD,

：.GH=AD,

FG=AE,

：.RtADE^RtGHF(HL),

ZDAE=ZHGF,

'：ZHGF+ZHFG=90°,

ZDAE+ZHFG=90°,

：.NAO尸=90。，

ZEOF=90°,

'：AB//CD,

：.ZDEA=Z1,

,?ZDEA+Z2+ZD+ZEOF=360°,

Z2=360°-Z1-90°-90°=180°-a.

故答案為：180。-a.

9.(1)見解析

(2)見解析

BE2+HC2=DF2,見解析

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

(2)通過ASA證明EDG絲HDG,得至"DE=DH,根據(jù)題意易得/3=45。，由DE工A3,可得

為等腰直角三角形，于是BE=DE=DH；

(3)過點(diǎn)/作LCD于點(diǎn)N,得DE為ABC的中位線，則如=CD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得

ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,進(jìn)而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出

CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖所示.

:.ZEDG=ZHDG,

EH1.DF,

??./EGD=/HGD=90。,

在ZXEDG和/\HDG中，

/EGD=ZHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,

二磯)G四二印)G(ASA),

在,ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

二.ABC為等腰直角三角形，

/.ZB=45°,

又即NDE5=90。，

??..BZ汨為等腰直角三角形，

:.BE=DE=DH.

(3)解：HC2+BE2=FD\證明如下:

如圖，過點(diǎn)尸作RVLC。于點(diǎn)N,

則,CRV為等腰直角三角形，

NDEB=NCAB=90。,

DE//AC,

又E為的中點(diǎn)，

:.DE為ABC的中位線，

:.BD=CD,

ZBDE=45°,

.\ZCDE=135°,

DF平分/EDC,

:./EDF=/CDF=675°,

ZC=45°,

ZCFD=180。一/CDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,

:.CD=CF=BD,

,\CN=FN=BE=DE=DH,

:.CD—DH=CD—CN,即CH=DN,

在RtDFN中,由勾股定理得ON'尸解=。尸2,

HC2+BE2=FD2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定于性質(zhì)、三角形中位線定理、角平分

線的定義、勾股定理，解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)將目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再根據(jù)勾

股定理解決問題.

10.(1)見解析

(2)273

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是掌握

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方.

(1)先證明.OEF四二CEB(AAS),則=得出四邊形8CKD是平行四邊形，結(jié)合血=3。即可求

證四邊形BCTO是菱形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出應(yīng)＞=。尸=。尸=2,進(jìn)而得出AF=AD+b=3,AB=JQ-AZ)'=5最后

根據(jù)勾股定理即可得出BF=VAB2+AF2=2A/3-

【詳解】(1)證明：：AD〃BC,

DF//BC,

：.ZDFE=ZCBE,NFDE=NBCE,

:點(diǎn)E為8中點(diǎn)，

CE=DE,

在，DEF和CEB中，

ZDFE=NCBE

-NFDE=NBCE,

CE=DE

.DEF-CEB(AAS),

：.DF=BC,

：.四邊形BCFD是平行四邊形，

BD=BC,

四邊形BCTO是菱形；

(2)解：：四邊形8CFD是菱形，CF=2,

：.BD=DF=CF=2,

'：AD=1,ZA=90°,

AF=AD+CF=3,AB=^BD2-AD2=A/3-

?*-BF=y]AB2+AF2=2A/3.

11.(D見解析

(2)見解析

【分析】(1)由點(diǎn)。、E分別是3C、AB邊的中點(diǎn)，可得龐〃力C,且r>E=1AC,則EF=AC,進(jìn)而可證

2

四邊形ACE尸是平行四邊形；

(2)由E為中點(diǎn)，可得CE=；A3=AE,由NB=30。，可得ZBAC=60。，證明△AEC是等邊三角

形，則AC=EC,進(jìn)而可證四邊形AC所是菱形.

【詳解】(1)證明：,?,點(diǎn)。、E分別是3C、邊的中點(diǎn)，

DE//AC,^.DE=-AC,

2

,/EF=2DE,

：.EF=AC,

???四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)證明：Rt^ABC中，ZACB=90°,E為A3中點(diǎn)，

CE=-AB^AE,

2

,?ZB=30°,

ZBAC=60°,

：.△AEC是等邊三角形，

AC=EC,

；?四邊形ACE/是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，平行四邊形的判定，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí).熟練掌握中位線，平行四邊形的判定，直角三角形斜邊的中線等于斜邊

的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

12.(1)90°-1?

(2)①見解析；②CE=y[iNF，證明見解析

【分析】本題考查了根據(jù)條件畫圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和題意即可得出NC￡>E=NDCE=/ACB=90O-La；

2

(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可；

②延長"至點(diǎn)使放=AF,連接證明四邊形為平行四邊形，證明

VACE^VMDE,算出。=90。，/ECD=NEDC=45。,結(jié)合三角形中位線定理即可求解；

【詳解】(1)VZA=￡Z,

由旋轉(zhuǎn)得AB=AC,

iQAOi

ZABC=ZACB=----------=90?！猘,

22

CE=DE,

ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖:

②延長轉(zhuǎn)至點(diǎn)M,使9=AF,連接四％。

???四邊形為平行四邊形，

:.AB//DM,AB=DM,

/.ABAC+AADM=180°,

:.ZADM=18Q0-a,

AFLEF,

:.AE=ME,

又QAB=AC,￡C=￡，

:.AC=DM,

：..ACE^MDE(SSS),

ZMDE=NACE=180。-ZACB=90°+-a

2f

/./ADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a

2I2)f

..180°-a=a,

:.a=90°,

：.ZECD=ZEDC=45°f

?*-CD=V2CE，

為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為8。中點(diǎn)，

/.NF是一8DC中位線，

:.CD=2NF,

CE=yf2NF.

13.⑴見解析

⑵

【分析】(1)先證明四邊形3DEF為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得=則=D尸，然后由矩形

的判定即可得出結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得/￡>3尸=90。，BD=EF=2,再由菱形的性質(zhì)得ZADB=60。，AB=AD,進(jìn)而證明

△ABD是等邊三角形，得AB=AD=BD=2,貝UOF=2AD=4,然后由勾股定理求出加■的長即可.

【詳解】(1)證明：QAE^AB,AF^AD,

四邊形3。瓦為平行四邊形，

，四邊形ABCO為菱形，

AB=AD，

：.AE=AB=AF=AD,

:.BE=DF,

，平行四邊形BDEF是矩形；

(2)解：由(1)可知，AB=AD,四邊形是矩形，

/.ZDBF=90°,BD=EF=2,

四邊形ABC。是菱形，

:.ZADB=-ZADC=60°,AB=AD,

2

ABD是等邊三角形，

,.AB=AD=BD=2,

.?.DF=2AD=4,

BF=sjDF2-BD2=A/42-22=，

即班■的長為2道.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性

質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.⑴/AGE=90°

(2)CH=J2GB，證明見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練的

掌握它們的性質(zhì)和判定，作出合理的輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可得，AB=BC,BF=CE,ZABF=ZBCE=90°,由此可證。45尸四一3CE,得到

ZF=ZE,再根據(jù)/E+/CBE=90。，NCBE=NGBF,即可得到/AGE=90。.

(2)依據(jù)題意補(bǔ)充圖形后，過點(diǎn)8作3/〃交■于/點(diǎn)，根據(jù)G〃=AG,BI//AH,可得到GAH、

GH為等腰直角三角形，再證AIB會(huì)BHC,即可得到線段C"與G5的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】（1）解：如圖所示,

ABCD為正方形,

AB=BC,ZABC=ZDCB=9Q°,

ZABF=ZBCE=9Q°,

AB=BC

<ZABF=ZBCE=90°,

BF=CE

ABF-BCE,

ZF=ZE,

ZE+ZCBE=90°,ZCBE=ZGBF,

ZF+ZGBF=90°,

ZFGB=90°,

??.ZAGE=1800-ZFGB=90°.

ZAGE=9Q°.

（2）解：①如圖所示，在線段EG上取點(diǎn)“，使得G"=AG,連接AH,CH,

②過點(diǎn)5作雙〃A”交”于/點(diǎn)，如圖所示,

ZAGE=90°,GH=AG,

GA"為等腰直角三角形,

/GAH=/GHA=45°,

BI//AH,

..NGIB=NGAH=45。,NG3/=NGH4=45°,

GB/為等腰直角三角形，

GB=GI,

AAG-GI=GH-GB,即4=HB,

ABF^BCE(第一問已證)，

NFAB=NEBC,

又AB=BC,

AIB^BHC,

：.CH=BI,

G3/為等腰直角三角形，

Bl=42GB，

CH=41GB-

15.(1)證明見解析；

(2)2A/5.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確

掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先得出/AFO=/CEO,NFAO=NECO.結(jié)合線段中點(diǎn)，得出AO=CO,得證，AOF絲1coE,根

據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可作答.

(2)先得出OA《AC=2,結(jié)合菱形性質(zhì)，在RtZXAOE中，由勾股定理得0E=5^2—32,代入數(shù)值進(jìn)

行計(jì)算，即可作答.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，

:.AD//BC.

:.ZAFO=ZCEO,ZFAO=ZECO.

。為AC的中點(diǎn)，

/.AO=CO.

.二AOF-COE.

AF=EC.

AFEC,

二?四邊形AEC廠為平行四邊形.

AE=AFf

二?四邊形AEC方為菱形.

(2)解：O為AC的中點(diǎn)，AC=4,

:.OA=-AC=2.

2

四邊形AECV為菱形,

.-.AC±EF.

ZAOE=90.

???在RtAAOE中，由勾股定理得OE=ylAE2-OA?=莊萬=書.

E為3c的中點(diǎn)，

AB=2OE=2百.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確

掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

16.⑴見解析

(2)ZDPC=45°+cr

(3)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，DEnBE+AF；點(diǎn)E在線段A2延長線上時(shí)，酢=?！?9；點(diǎn)E在線段54延

長線上時(shí)，BE=DE+AF,見解析

【分析】本題考查四邊形綜合題，熟知軸對稱作圖及性質(zhì)，根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線DM的對稱點(diǎn)P,連接CP、DP即可；

(2)連接AP,根據(jù)軸對稱性質(zhì)可得AD=PD,ZADM=NPDM=a,可求出NCDP=90。-2a,根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和可求出NDPC=1(180°-90°+2a)=45°+a；

(3)分三種情況，當(dāng)DP交線段AB、線段AB延長線上、線段及1延長線上于點(diǎn)E時(shí)，分別可證

△CDFdDAK,進(jìn)而可得￡/=取，即可求證.

【詳解】(1)解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線D必的對稱點(diǎn)P,連接CP、DP；

(2)連接AP,

(3)①當(dāng)0P交線段A5于點(diǎn)E時(shí),

延長AB至K,使BK=AF,連接OK,

AD=AB,BK=AF,

:.DF=AK,

又，CD=AD,ZCDA=ZDAK=90°,

在.CD方和-DAK中

DC=AD

/CDF=ADAK

DF=AK

:.△CDFHDAK,

.\ZF=ZK,

.??由（2）可知，/DCP=/DPC