《工程力學(xué)》課件第6章

第6章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算6.1外力偶矩、扭矩與扭矩圖6.2橫截面上的切應(yīng)力分析與強(qiáng)度計(jì)算6.3變形與剛度條件在工程中常遇到扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件，例如機(jī)器中的傳動(dòng)軸(圖6.1(a))、攪拌機(jī)軸(圖6.1(b))和方向盤的操縱桿(圖6.1(c))等，都屬于這類構(gòu)件。圖6.1這類構(gòu)件的共同特點(diǎn)是：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)有外力偶作用，桿件的各橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)變形的力學(xué)模型如圖6.2所示。其中實(shí)線ab為變形前的母線，虛線ab′為其變形后的位置(假設(shè)A截面不動(dòng))。端截面B相對于端截面A轉(zhuǎn)過的角度為φAB，稱為B截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角。工程中一般把主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸。實(shí)際中受扭桿件的截面形狀多為圓形或圓環(huán)形，稱此類扭桿為圓軸。本章討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問題。圖6.26.1外力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.外力偶矩的計(jì)算為了計(jì)算桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力，首先需知桿上作用的外力偶矩。作用在軸上的外力偶矩，一般可由桿件整體的平衡條件確定。但是，對于傳動(dòng)軸等轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件，通常只知道它們的轉(zhuǎn)速和所傳遞的功率，這就有必要將這些已知量換算為外力偶矩。力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，即為功率P，它等于外力偶矩Me與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的乘積，其表達(dá)式為P=Meω(6.1(a))則(6.1(b))

在工程實(shí)際中，功率的常用單位為kW(千瓦)和PS(馬力)，轉(zhuǎn)速的常用單位為r/min(轉(zhuǎn)/分)。與這些常用單位相對應(yīng)，外力偶矩有如下計(jì)算公式：(6.2(a))(6.2(b))

2.扭矩與扭矩圖前文確定了作用在軸上的外力偶矩，現(xiàn)在研究軸的內(nèi)力?？紤]圖6.3(a)所示圓軸，在其兩端垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，作用一對方向相反、力偶矩均為Me的力偶。為了分析軸的內(nèi)力，仍然采用截面法，在軸的任一截面n—n處將其假想地切成兩段(圖6.3(b)、(c))。由任一段的平衡條件均可看出，在橫截面n—n上的分布內(nèi)力系必合成一力偶，且其矢量的方向垂直于截面n—n。矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。軸受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力為扭矩。圖6.3根據(jù)左段的平衡條件，由∑mi=0，T－Me=0得截面n—n上的扭矩為

T=Me

同樣，如果以右段為研究對象(圖6.3(c))，也可以求出截面n—n上的扭矩T，其數(shù)值仍等于Me，但其轉(zhuǎn)向則與圖6.3(b)中所示相反。為了使上述兩種算法所得同一橫截面處的扭矩的正負(fù)號相同，對扭矩的正負(fù)號作如下規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，若矢量的指向離開截面，則該扭矩為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖6.3中所示扭矩為正。在一般情況下，各橫截面的扭矩不盡相同。為了形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，可仿照作軸力圖的方法，繪制扭矩圖。作圖時(shí)，沿軸線方向取坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于軸線的另一坐標(biāo)表示扭矩。例如，上述圓軸的扭矩圖如圖6.3(d)所示。

【例6.1】圖6.4(a)所示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=500r/min，B輪為主動(dòng)輪，輸入功率PB=10kW，A、C輪為從動(dòng)輪，輸出功率分別為PA=4kW，PC=6kW。試計(jì)算軸的扭矩，并作扭矩圖。圖6.4

解

(1)外力偶矩計(jì)算。由公式(6.2(a))可知，作用在A、B、C輪上的外力偶矩分別為：

(2)扭矩計(jì)算。將軸分為AB和BC兩段，逐段計(jì)算扭矩。設(shè)AB和BC段的扭矩均為正，并分別用T1和T2表示，則由圖6.4(b)可知：T1=MeA=0.076kN·mT2=－MeC=－0.115kN·m

(3)作扭矩圖。根據(jù)上述分析，作扭矩圖如圖6.4(c)所示?？梢姡瑋T|max=0.115kN·m請讀者思考：如果將主動(dòng)輪B與從動(dòng)輪C位置對調(diào)，最大扭矩將變?yōu)槎嗌?？哪一種軸的布置合理？6.2橫截面上的切應(yīng)力分析與強(qiáng)度計(jì)算

1.純剪切

1)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力取一等厚度薄壁圓筒，平均半徑為r，壁厚為t。在其表面畫上一系列圓周線和縱向線，它們交織成一個(gè)個(gè)微小的矩形網(wǎng)格(圖6.5(a))。然后，在圓筒兩端施加扭轉(zhuǎn)力偶矩，使之發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形(圖6.5(b))。試驗(yàn)可見：各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；各縱向線偏轉(zhuǎn)過同一角度γ，且變形很小時(shí)仍近似為直線，矩形變成了平行四邊形。矩形網(wǎng)格的兩對邊發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)，使直角改變了一角度γ，這種直角的改變稱為切應(yīng)變。圖6.5以上觀察結(jié)果表明，圓筒橫截面和含軸線的縱向截面上均沒有正應(yīng)力，橫截面上只有切于截面的切應(yīng)力τ。由圓筒變形情況可知，沿圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相等，且發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。又因筒壁很薄，可近似認(rèn)為沿壁厚的各點(diǎn)處切應(yīng)變也相等。據(jù)此可推知：圓筒橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等,其方向垂直于半徑(圖6.5(c))。橫截面上的分布內(nèi)力系將合成為截面上的扭矩T，由此可得：即

2)切應(yīng)力互等定理用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)縱截面，從圓筒中取出邊長為dx、dy和t的微小六面體，稱為單元體(圖6.5(d))(一般情況下，單元體的三個(gè)邊長均為無窮小量)。單元體的左、右兩側(cè)面為圓筒橫截面的一部分，其上有切應(yīng)力。根據(jù)單元體的平衡要求，不僅左、右一對面上有大小相等、方向相反的切應(yīng)力τ，在上、下一對面上也必然有切應(yīng)力τ′，而且由力矩平衡條件有(τ·t·dy)·dx=(τ′·t·dx)dy由此得到τ=τ′(6.4)這表明，在相互垂直的兩個(gè)微面上，切應(yīng)力總是成對出現(xiàn)的，它們的數(shù)值相等，而方向均垂直于兩微面的交線，或同指向或同背離這一交線。這就是切應(yīng)力互等定理。單元體各對面上只作用有切應(yīng)力的情形，稱為純剪切狀態(tài)。

3)剪切胡克定律利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，可以得出材料在純剪切下的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于大多數(shù)工程材料，當(dāng)純剪切狀態(tài)處于彈性范圍內(nèi)，即切應(yīng)力τ不超過材料的剪切比例極限τp時(shí)，切應(yīng)力和切應(yīng)變存在下列線性關(guān)系(圖6.6)：τ=G·γ(6.5)圖6.6上述關(guān)系稱為剪切胡克定律。其中，G稱為材料的切變模量，其量綱與τ相同。鋼材的G=80~84GPa。研究表明，材料的三個(gè)彈性常數(shù)——彈性模量E、切變模量G以及泊松比μ中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。它們之間滿足如下關(guān)系：(6.6)上式只適用于各向同性材料。

2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力工程中最常見的軸是圓截面軸，它們或?yàn)閷?shí)心的，或?yàn)榭招牡?。本小?jié)研究圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力。與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的情況類似，等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上將有扭矩，且只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。但對于實(shí)心圓軸，不能再像對薄壁圓筒那樣，認(rèn)為沿半徑上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等，而應(yīng)綜合考察幾何、物理和靜力學(xué)三方面的關(guān)系來分析其應(yīng)力。

1)幾何關(guān)系取一等直圓軸，在其表面畫上一系列圓周線和縱向線，在扭轉(zhuǎn)力偶矩作用下，將得到與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)相似的現(xiàn)象(圖6.7)。即：各圓周線的形狀、大小和間距保持不變，只是繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；小變形情況下，各縱向線仍近似為直線，只是偏轉(zhuǎn)了同一微小的角度；變形前軸表面上的矩形網(wǎng)格，變形后錯(cuò)動(dòng)成平行四邊形。圖6.7根據(jù)圓軸表面變形特點(diǎn)，可以作出如下假設(shè)，以推知圓軸內(nèi)部的變形情形。假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為平面，且形狀、大小及兩相鄰橫截面間的距離保持不變；半徑仍保持為直線。這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)。按照這一假設(shè)，圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，其橫截面像剛性平面一樣繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓軸上用p—p和q—q兩相鄰橫截面截取相距為dx的微段，如圖6.8所示。設(shè)截面q—q對p—p的相對扭轉(zhuǎn)角為dφ，半徑為R(表面)和半徑為ρ(任意同軸圓柱面)處的切應(yīng)變分別為γ和γρ。在小變形的條件下，圖6.8中的da′、cb′、fe′曲線均可近似地視為直線，于是有圖6.8(6.7b)即(6.7a)其中，為扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，稱為單位長度扭轉(zhuǎn)角。對于某一確定的截面，為常數(shù)。式(6.7b)表明，任意同軸圓柱面上的單元體的切應(yīng)變與該圓柱面到軸線的距離ρ成正比，最大切應(yīng)變發(fā)生在圓軸表面處，中心處的切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

2)物理關(guān)系設(shè)圓軸各點(diǎn)的應(yīng)力均處于彈性范圍內(nèi)，以τρ表示橫截面上距圓心為ρ處的切應(yīng)力，則根據(jù)剪切胡克定律，有τρ=Gγρ

將式(6.7b)代入上式，得(6.8)式(6.8)表明，橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比，即切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。因?yàn)棣忙寻l(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以τρ也與半徑垂直，并與扭矩轉(zhuǎn)向一致。再考慮到切應(yīng)力互等定理，則橫截面和縱截面上沿半徑切應(yīng)力的分布如圖6.9所示。圖6.9然而，公式(6.8)尚未確定橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力值，因?yàn)槭街械膁φ/dx未知，這就要利用切應(yīng)力與扭矩之間的靜力學(xué)關(guān)系來解決。

3)靜力關(guān)系如圖6.9(a)所示,在橫截面上距圓心ρ處取微面積dA,則作用在該微面積上的力τρdA

對圓心O之矩為τρdA·ρ，而截面上的分布內(nèi)力系合成為該截面上的扭矩T，于是有將式(6.8)代入上式，并注意到G(dφ/dx)為常量，最后得到:(6.9)式中，(6.10)稱為橫截面對圓心O的極慣性矩，它只與截面的形狀和尺寸有關(guān)。式(6.9)為圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。最后將式(6.9)代回到式(6.8)中，得此即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。(6.11)(6.12)在橫截面上外沿各點(diǎn)，ρ為最大值R，此處有最大的切應(yīng)力，為式中，(6.13)稱為抗扭截面系數(shù)，它取決于截面的形狀和尺寸。根據(jù)式(6.10)和式(6.13)的定義，可以求得圓形和圓環(huán)形截面的Ip和Wt值。如圖6.10所示，取圓環(huán)形微面積作為積分微元dA，即dA=2πρdρ圖6.10于是，對于直徑為D的圓截面有：(6.14)(6.15)對于外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面，則有:(6.16)(6.17)其中，需要指出的是，公式(6.9)、(6.11)和(6.12)是在平面假設(shè)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，因此只有當(dāng)平面假設(shè)成立時(shí)，上述結(jié)果才是正確的。實(shí)驗(yàn)研究表明，只有對于等截面直圓軸，平面假設(shè)才成立。所以，這些公式只適用于等截面直圓軸。而對于圓截面沿軸線緩慢變化的小錐度錐形桿，平面假設(shè)則近似成立，故可近似地用這些公式計(jì)算。此外，在推導(dǎo)上述公式的過程中，應(yīng)用了剪切胡克定律，所以，公式(6.9)、(6.11)和(6.12)只適用于最大切應(yīng)力τmax不超過材料的剪切比例極限τp的情況。

3.強(qiáng)度計(jì)算為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)具有足夠的強(qiáng)度，必須限制軸內(nèi)橫截面上的最大切應(yīng)力不超過軸的許用切應(yīng)力，即滿足下列強(qiáng)度條件：(6.18)等截面直圓軸的強(qiáng)度條件為(6.19)式中，[τ]為軸的許用切應(yīng)力。在靜載作用下,許用切應(yīng)力[τ]與許用拉應(yīng)力[σ]之間存在下列關(guān)系：對于塑性材料，[τ]=(0.5~0.6)[σ]；對于脆性材料，[τ]=(0.8~1.0)[σ]。利用強(qiáng)度條件式(6.18)、(6.19)，可解決強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可載荷等三類扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度問題。在進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí),應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)扭矩圖、截面尺寸以及材料性能判斷出可能的危險(xiǎn)截面，再確定危險(xiǎn)點(diǎn)。若能保證危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)滿足強(qiáng)度條件,則整個(gè)桿件便是安全的。

【例6.2】汽車發(fā)動(dòng)機(jī)將動(dòng)力通過主傳動(dòng)軸AB傳給后橋,驅(qū)動(dòng)車輪行駛，如圖6.11所示。設(shè)主傳動(dòng)軸所承受的最大外力偶矩為1.5kN·m，軸由45號鋼無縫鋼管制成，外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，[τ]=60MPa。試校核其強(qiáng)度。若改用實(shí)心軸，在τmax具有同樣數(shù)值的條件下，試確定實(shí)心圓軸的直徑D，并確定空心軸與實(shí)心軸的重量比。圖6.11

解(1)校核空心軸強(qiáng)度。根據(jù)所給數(shù)據(jù)可知,傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩T=1.5×103N·m，軸的內(nèi)、外徑之比

。由于該軸各橫截面的危險(xiǎn)程度相同，因而最大切應(yīng)力為所以空心軸強(qiáng)度安全。

(2)計(jì)算實(shí)心軸直徑。根據(jù)空心軸與實(shí)心軸最大切應(yīng)力相等的要求，有據(jù)此，可得實(shí)心軸的直徑為

(3)確定空心軸與實(shí)心軸的重量比。由于二者長度相等、材料相同，因此重量比即為橫截面的面積比：這一結(jié)果表明，空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕，即采用空心軸比采用實(shí)心軸合理。這是由于圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力沿半徑呈線性分布，截面中心附近區(qū)域的切應(yīng)力比截面邊緣諸點(diǎn)的切應(yīng)力小得多。當(dāng)τmax達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中心附近的切應(yīng)力遠(yuǎn)小于該值。將受扭桿件做成空心圓軸，可使得截面上的所有材料基本都得到充分利用。當(dāng)然，在工藝上，制造空心軸要比制造實(shí)心軸困難些。

【例6.3】一鋼制階梯狀圓軸如圖6.12(a)所示。若材料的許用切應(yīng)力［τ］=60MPa，試校核軸的強(qiáng)度。圖6.12

解

(1)作扭矩圖。由截面法可求得AB和BC段軸橫截面上的扭矩分別為：TAB=－10kN·mTBC=－3kN·m由此可作出軸的扭矩圖(圖6.12(b))。

(2)求最大切應(yīng)力。該軸為階梯狀，且AB和BC段橫截面上的扭矩不相等，故先分別求出兩段軸橫截面上的最大切應(yīng)力，進(jìn)而確定整個(gè)軸橫截面上的最大切應(yīng)力。對AB段：直徑DAB=100mm，則于是得AB段橫截面上的最大切應(yīng)力為對BC段：直徑DBC=60mm，則于是得BC段橫截面上的最大切應(yīng)力為由此可知，整個(gè)軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在BC段的橫截面上，其值為τmax=70.7MPa。因此，BC段橫截面為危險(xiǎn)截面，BC段橫截面上外沿各點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)。

(3)強(qiáng)度校核。由于τmax=70.7MPa>［τ］，故軸AC不能滿足強(qiáng)度條件。6.3變形與剛度條件軸在扭轉(zhuǎn)力偶作用下，即使具有足夠的強(qiáng)度，如果其變形過大，則也可能影響軸的正常工作。例如：車床絲杠的扭轉(zhuǎn)變形過大，會(huì)降低加工精度；磨床傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形過大，會(huì)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，等等。因此，對軸的扭轉(zhuǎn)變形有時(shí)需要加以限制，使它滿足剛度要求。為了解決這個(gè)問題，就需要研究軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形。此外，在求解扭轉(zhuǎn)超靜定問題時(shí)，也必須考慮變形方面的問題。由單位長度扭轉(zhuǎn)角公式(6.9)可以求出相距為L的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角φ為(6.20)對于扭矩沿桿長不變的等直圓軸，從上式可得：(6.21)此即等直圓軸扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。其中，GIp稱為圓軸的抗扭剛度，它反映軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。φ的單位為弧度，用rad表示。在工程中設(shè)計(jì)圓軸時(shí)，往往是通過單位長度扭轉(zhuǎn)角來分析其剛度的。若用φ′表示此扭轉(zhuǎn)角，則可將式(6.9)改寫成常用的形式：(6.22)這里φ′的單位是弧度每米或弧度每毫米,用rad/m或rad/mm表示。需要指出的是，以上三個(gè)公式只有當(dāng)軸內(nèi)最大切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)才適用，因?yàn)樗鼈兯罁?jù)的公式(6.9)是在此條件下導(dǎo)出的。前面指出，為了保證軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)能正常工作，除了應(yīng)使其滿足強(qiáng)度要求外，有時(shí)還必須使它滿足剛度要求。這就要求對軸的扭轉(zhuǎn)變形加以限制。通常是限制軸的最大單位長度扭轉(zhuǎn)角φmax′，使其不超過規(guī)定的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角[φ′]，即(6.23)此即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件。對于等直圓軸，其最大單位長度扭轉(zhuǎn)角發(fā)生在扭矩為最大處，可由公式(6.22)來計(jì)算。但由于工程中[φ′]的常用單位是度每米(°/m)，故必須考慮單位的統(tǒng)一，于是,由公式(6.23)可建立等直圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度條件為(6.24)式中，Tmax、G和Ip的單位可分別用N·m、N/m2和m4表示。常用的[φ′]值一般可從有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范中查到。在要求精密、傳動(dòng)穩(wěn)定的情況下，[φ′]常規(guī)定在0.25～0.5°/m范圍內(nèi)；對于一般的傳動(dòng)軸，則可放寬到2°/m左右。剛度條件可用于軸的剛度校核、截面設(shè)計(jì)及許可載荷的確定。對于要求精密的軸，其［φ′］值較小，故其截面尺寸常由剛度條件決定。

【例6.4】一等直鋼制傳動(dòng)軸如圖6.13(a)所示，材料的切變模量G＝80GPa。試計(jì)算扭轉(zhuǎn)角φBC、φBA和φAC，并將其相對轉(zhuǎn)向用圖表示。圖6.13

解在計(jì)算φBC和φBA時(shí)，可直接應(yīng)用公式(6.21)，因?yàn)樵贐C段和BA段分別有常量的扭矩。但計(jì)算φAC時(shí)，就必須利用φBC和φBA來求得。為了應(yīng)用公式計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，必須先求出軸各橫截面上的扭矩。

(1)作扭矩圖。由已知的外力偶矩，用截面法并按扭矩正、負(fù)號的規(guī)定，可算得AB段和BC段任一橫截面上的扭矩分別為：TAB＝＋1000N·mTBC＝－500N·m由此可作軸的扭矩圖(圖6.13(b))。

(2)計(jì)算C輪相對于B輪的扭轉(zhuǎn)角φBC。由公式(6.21)及下列各量：TBC＝－500N·m，LBC＝800×10－3m，G=80GPa=8×1010Pa可得φBC為(a)其相對轉(zhuǎn)向如圖6.13(c)所示。

(3)計(jì)算A輪相對于B輪的扭轉(zhuǎn)角φBA。由公式(6.21)和有關(guān)數(shù)據(jù)可得(b)其相對轉(zhuǎn)向如圖6.13(d)所示。

(4)計(jì)算C