2025版一輪高考總復習數(shù)學第九章重難專攻(十一)　概率中的綜合問題

重難專攻（十一）概率中的綜合問題概率中的綜合問題是考查學生應用意識的重要載體，解決此類問題的關鍵是通過閱讀理解題意，作出分析判斷，獲取關鍵信息；搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關系，建立適當?shù)臄?shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題，結合已有的數(shù)學知識，對實際問題作出合理的解釋或決策.概率與函數(shù)的交匯問題【例1】根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，若一個家庭有X個孩子，則X的概率分布列如下表所示（取一個家庭有4個及以上孩子的概率為0）.X0123Pα（1－p）2ααα（1－p）其中0＜α＜p＜1.為了調(diào)控未來人口結構，需要對參數(shù)p進行宏觀調(diào)控，研究表明p的值受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等）.（1）若希望P（X＝2）增大，如何調(diào)控p的值？（2）是否存在p，使得E（X）＝53？請說明理由解題技法概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設置變量，利用隨機變量的概率、均值與方差的計算公式構造函數(shù).求解時可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或導數(shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應注意以下兩點：（1）準確構造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的均值、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復雜，所以準確運算化簡是關鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身范圍的限制.某學校進行排球測試的規(guī)則是：每名學生最多發(fā)4次球，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則直到發(fā)完4次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為p，且p∈［16，56］，發(fā)球次數(shù)為（1）求P（X＝3）的最大值；（2）若E（X）＜158，求p的取值范圍概率與數(shù)列的交匯問題【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，解題技法概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關于概率的遞推關系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率模型的依據(jù)，也是建立遞推關系的準則；（2）準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關系，轉化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構造的方法轉化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應用相關公式.（2024·臨沂一模）從甲、乙、丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列；（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n＝1，2，3，….①直接寫出p1，p2，p3的值；②求pn＋1與pn的關系式，并求pn（n∈N*）.概率中的證明問題【例3】最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結果為成功或不成功，且每次試驗的成功概率為p（0＜p＜1）.現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復試驗，若試驗成功，則試驗結束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學期望為E（X）.（1）證明：E（X）＜1p（2）某公司意向投資該產(chǎn)品，若p＝0.2，每次試驗的成本為a（a＞0）元，若試驗成功則獲利8a元，則該公司應如何決策投資？請說明理由.解題技法解決概率中的證明問題的關鍵是理解隨機事件中互斥、對立、獨立事件的概念及相互關系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式進行邏輯推理、數(shù)學運算，進而推出要證結論成立.設X1，X2，…，Xn是