2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量第五節(jié)　空間向量的概念及運(yùn)算

第五節(jié)空間向量的概念及運(yùn)算1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1.空間向量及其有關(guān)概念概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于的向量共線向量定理對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b（b≠0），a∥b?存在實(shí)數(shù)λ，使共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p＝.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝2.空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算（1）兩個(gè)非零空間向量的數(shù)量積①a·b＝；②a⊥b?a·b＝0；③設(shè)a＝（x，y，z），則｜a｜2＝a2，｜a｜＝x2（2）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b?＝0夾角公式cos＜a，b＞＝a1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.（）（2）若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.（）（3）對(duì)于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0.（）（4）空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是（0，b，c），b，c∈R.（）2.已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），則a·（b＋c）＝（）A.6 B.7C.9 D.133.已知空間向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），則｜a＋b｜＝（）A.15 B.15C.17 D.174.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與BM相等的向量是（A.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－15.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），則∠ABC＝.在空間中，P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O為空間中任意一點(diǎn).O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且OP＝14OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)空間向量的線性運(yùn)算【例1】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).化簡(jiǎn)A1O－12AB－12AD＝；用AB，AD，AA1表示聽(tīng)課記錄解題技法空間向量線性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.如圖，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，則NM＝（）A.12（－a＋b＋c） B.12（a＋b－C.12（a－b＋c） D.12（－a－b＋2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，則實(shí)數(shù)x＋y＝（A.－32 B.－1C.12 D.共線、共面向量定理的應(yīng)用【例2】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝13（OA＋OB＋OC）（1）判斷MA，MB，MC三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解題技法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較1.已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若BD＝6PA－4PB＋λPC，則λ＝（）A.2 B.－2C.1 D.－12.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點(diǎn)共線，則m＋n＝.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，試采用向量法解決下列問(wèn)題：（1）求EF的模長(zhǎng)；（2）求EF與GH的夾角.解題技法空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用（1）求夾角：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜（2）求長(zhǎng)度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題；（3）解決垂直問(wèn)題：利用a⊥b?a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.1.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c(diǎn)｜＝14，若（a