2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】?jī)山呛团c差的正弦,余弦和正切公式(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題兩角和與差的正弦，余弦和正切公式（2）教科書(shū)教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，用邏輯推理的方法得到兩角和與差的正弦，余弦及正切公式，熟記公式，掌握公式的功能及其結(jié)構(gòu)；初步應(yīng)用這些公式，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，比較確定差異，尋找聯(lián)系及聯(lián)系的途徑的過(guò)程中，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換的特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；提升學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)整體觀．教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及其功能、結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)單應(yīng)用．利用已知的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的三角函數(shù)與圓旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性間的聯(lián)系及對(duì)公式的全面理解．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)１分鐘８分鐘９分鐘３分鐘１分鐘新課引入新課講解例題講解課堂小結(jié)作業(yè)一新課引入上節(jié)課我們利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诨仡櫷茖?dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上寫(xiě)出差角的余弦公式此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系．二新課講解問(wèn)題１由兩角差的余弦出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？追問(wèn)1：比較與，它們的異同點(diǎn)是什么？它們都是角的余弦，只是角的形式不同．追問(wèn)２：與之間有何種聯(lián)系呢？一方面從運(yùn)算的角度看，將加法轉(zhuǎn)化為減法：；另一方面可以從換元角度考慮，將兩角差的余弦公式中的換為．追問(wèn)３：基于上述差異與聯(lián)系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？．問(wèn)題２你能根據(jù)兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)出用任意角，的正弦、余弦表示的及公式嗎？追問(wèn)1：比較與，它們的異同點(diǎn)是什么？它們包含的角相同，但是函數(shù)種類不同．追問(wèn)2：角的正弦與余弦是否可以建立聯(lián)系呢？通過(guò)誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦與余弦的互化．追問(wèn)3：誘導(dǎo)公式五及誘導(dǎo)公式六是什么呢？，，，．追問(wèn)４：基于上述差異與聯(lián)系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角差的正弦公式？追問(wèn)５：依照上述解決問(wèn)題的思路，你能直接寫(xiě)出兩角和的正弦公式嗎？問(wèn)題３你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從兩角和與差的正弦，余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角，的正切表示，的公式嗎？追問(wèn)１：如何用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)表示正切函數(shù)？．追問(wèn)２：:兩角和的正切公式是否可以利用兩角和的正弦公式與余弦公式求得？．追問(wèn)３：如何進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為用任意角，的正切表示？通過(guò)對(duì)分子、分母同時(shí)除以轉(zhuǎn)化，即追問(wèn)4：如何用任意角，的正切表示？教師小結(jié)： 用邏輯推理的方法我們以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，將兩角差的余弦公式中的換為或者利用得到兩角和的余弦公式．利用誘導(dǎo)公式五（或六）建立余弦與正弦的關(guān)系，得到；進(jìn)而類似的得到．利用正切函數(shù)與正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的聯(lián)系得到；同學(xué)們要逐步掌握公式的功能及其結(jié)構(gòu)，熟記公式．公式，，給出了任意角，的三角函數(shù)值與其和角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．為方便起見(jiàn)，我們把這三個(gè)公式都叫做和角公式．類似地，，，都叫做差角公式．問(wèn)題４如何利用利用兩角和與差的正弦公式求的值呢？問(wèn)題５和（差）角公式中，，都是任意角．如果令為某些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式？請(qǐng)同學(xué)們課下思考．三例題講解例３已知，是第四象限角，求，，的值．問(wèn)題６根據(jù)題目已知條件，求解的值會(huì)聯(lián)系到什么公式？聯(lián)系到兩角差的正弦公式．追問(wèn)１：本題利用兩角差的正弦公式求解時(shí)兩角分別是什么？及．追問(wèn)２：在求解過(guò)程中需要用到及哪些三角函數(shù)值？哪些值需要根據(jù)已知進(jìn)一步求解？需要用到，，，四個(gè)值，需要根據(jù)已知條件進(jìn)一步求解．解：由，是第四象限角，得所以．于是有追問(wèn)３：如果去掉已知條件中給出的“是第四象限角”這一限制條件，對(duì)求解過(guò)程和結(jié)果會(huì)有什么影響？由于，是第三象限或第四象限角，去掉這一限制條件后要分類討論，當(dāng)是第三象限的角時(shí)，．結(jié)果為．追問(wèn)４：能否借鑒第（1）問(wèn)經(jīng)驗(yàn)求解第（2），（3）問(wèn)？追問(wèn)5：由以上解答可以看到，在本題條件下有．那么對(duì)于任意角，此等式成立嗎？若成立，你能予以證明嗎？這一計(jì)算結(jié)果具有一般性，對(duì)于任意角，成立．例４利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）問(wèn)題７和、差角公式把的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了的三角函數(shù)式．本題呈現(xiàn)的為的三角函數(shù)式，如何求解呢？我們可以嘗試從右到左使用公式，就可以將上述三角函數(shù)式化簡(jiǎn)．（1）追問(wèn)1：在（1）中涉及了哪些角？涉及了兩個(gè)角：及．追問(wèn)２：（１）式的形式能聯(lián)系到哪個(gè)公式？能夠聯(lián)系到兩角差的正弦公式．解：由上述分析有追問(wèn)３：根據(jù)第（1）問(wèn)的經(jīng)驗(yàn)，能否獨(dú)立解決第（2）問(wèn)？（2）中涉及了兩個(gè)角：及，能夠聯(lián)系到兩角和的余弦公式，于是有追問(wèn)４：能夠聯(lián)系到哪個(gè)公式？形式與兩角和的正切公式相似，但是只涉及了一個(gè)角．追問(wèn)５：回顧例3求解過(guò)程能否有啟發(fā)？可以考慮把轉(zhuǎn)化為，利用兩角和的正切公式求解．解：四課堂小結(jié)本節(jié)課我們以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，用邏輯推理的方法得到兩角和與差的正弦，余弦及正切公式．問(wèn)題８你能準(zhǔn)確寫(xiě)出這些公式嗎？；；；；；同學(xué)們要熟記公式，掌握公式的功能及其結(jié)構(gòu)．在應(yīng)用這些公式時(shí)要注意進(jìn)行觀察，比較確定差異，在尋找聯(lián)系及聯(lián)系的途徑的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換的特點(diǎn)，提升思維的有序性，逐步培養(yǎng)