2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】三角函數(shù)的圖象與性質應用(1)-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題三角函數(shù)的圖象與性質應用（1）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.運用三角函數(shù)的圖象與性質研究較為復雜的函數(shù)，進一步認識圖象與性質的作用;2.在運用圖象與性質解決問題的過程中，體會數(shù)形結合的思想方法;3.發(fā)展學生直觀想象，邏輯推理，數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng).教學重點：研究圖象變換下函數(shù)的性質.教學難點：由圖象觀察性質.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動一、復習回顧二、例題分析三、鞏固練習四、拓展應用五、課堂小結六、布置作業(yè)我們在前幾次課學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象和性質，大家還記得有哪些內容嗎？讓我們結合三角函數(shù)的圖象一起來回顧一下：①對于正弦函數(shù)，定義域是R，最小正周期是2π，我們可以先通過五點法畫出一個周期內的簡圖，五點分別是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))，(2π，0).由圖象可以看出最大值是1，最小值是-1，值域是[-1,1].然后將這段圖象“復制-粘貼”，從而得到整個函數(shù)的圖象.我們發(fā)現(xiàn)，圖象關于原點對稱，該函數(shù)是奇函數(shù).在研究單調性的時候我們選取的區(qū)間不是[0，2π]，而是[-eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]，結合周期性得出，單調遞增區(qū)間是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z).②對于余弦函數(shù)，其圖象可以由正弦函數(shù)的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度得到，由圖象可以看出，該函數(shù)的定義域是R，值域是[-1,1]，最小正周期是2π，圖象關于y軸對稱，該函數(shù)是偶函數(shù).在研究單調性的時候我們選取的區(qū)間是[-π，π]，結合周期性得出，單調遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；③對于正切函數(shù)，與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)比較，圖象和性質發(fā)生了較大的變化，自變量x不再取任意實數(shù)，而是x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，值域由[-1,1]變?yōu)镽，最小正周期由2π減小為π.圖象關于原點對稱，該函數(shù)是奇函數(shù).在研究單調性的時候我們選取的區(qū)間是(-eq\f(π,2)，eq\f(π,2)），結合周期性得出，單調遞增區(qū)間是(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)，無單調遞減區(qū)間.以上我們結合圖象復習了三角函數(shù)的五個性質：定義域，值域，周期性，奇偶性和單調性，接下來我們根據(jù)這些圖象和性質，研究幾個稍微復雜一些的函數(shù).例1求下列函數(shù)的圖象的對稱中心：(1)；【分析】我們知道，函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象平移得到，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象與y＝sinx的圖象形狀完全一樣，如圖所示，圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心，求對稱中心只需求出函數(shù)的零點即可.解(1)令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))=0，由正弦函數(shù)定義可知x-eq\f(π,4)=kπ(k∈Z)，x=kπ+eq\f(π,4)，所以該函數(shù)圖象的對稱中心為(kπ+eq\f(π,4)，0)(k∈Z).(2).【分析】函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的圖象可由函數(shù)y＝tanx的圖象平移得到，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的圖象與y＝tanx的圖象形狀完全一樣，如圖所示，求對稱中心只需求出使得正切值為零或無意義的x值，即x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z).解令x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z)，x=eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，所以該函數(shù)圖象的對稱中心為(eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z).下面請同學們看一組練習：練習已知函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)(0≤θ≤π)，(1)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求θ的值；(2)若函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,8)，求θ的值.【分析】我們知道，函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)的圖象可由函數(shù)y＝cosx的圖象平移得到，兩者形狀完全一樣，余弦曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，如圖所示，對稱中心就是圖象與x軸的交點，對稱軸就是經(jīng)過圖象的最高點或最低點且與x軸垂直的直線.解(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，則有f(0)=0，即cosθ=0，由余弦函數(shù)定義可知，θ=kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又因為0≤θ≤π，所以θ=eq\f(π,2).另法：因為0≤θ≤π，所以函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)的圖象可以看成是y＝cosx的圖象向左移動得到的，如圖所示，y＝cosx的圖象向左移eq\f(π,2)個單位長度所得的曲線關于原點對稱，所以θ=eq\f(π,2).注意：解題涉及正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性時，一般不用奇偶性的定義，即不必通過計算考察f(-x)與f(x)的關系，而是根據(jù)三角函數(shù)圖象的特點來解答.(2)因為直線x＝eq\f(π,8)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸，所以當x＝eq\f(π,8)時，函數(shù)取得最大值或最小值，即f(eq\f(π,8))=±1，cos(eq\f(π,8)＋θ)=±1，由余弦函數(shù)定義可知，eq\f(π,8)＋θ=kπ(k∈Z)，θ=kπ－eq\f(π,8)，又因為0≤θ≤π，所以θ=eq\f(7π,8).小結：在以上例題和練習的解答過程中，我們根據(jù)平移變換下三角函數(shù)圖象的特點，得到了求圖象對稱中心或對稱軸的方法.(1)點(a,0)是正弦曲線f(x)=sin(x+θ)的對稱中心f(a)=0；(2)直線x=a是正弦曲線f(x)=sin(x+θ)的對稱軸f(a)=±1；(3)點(a,0)是正切曲線f(x)=tan(x+θ)的對稱中心a+θ=eq\f(kπ,2)(k∈Z).接下來我們研究翻折變換下三角函數(shù)的圖象和性質：例2求下列函數(shù)的周期與單調區(qū)間：(1)y＝|cosx|;(2)y＝|tanx|.【分析】我們看到，兩個小題中的三角函數(shù)都加了絕對值符號，由前面的章節(jié)可知，將函數(shù)y=f(x)在x軸下方的部分圖象翻折上去，就得到了函數(shù)y=|f(x)|的圖象.(1)函數(shù)y＝|cosx|的圖象如下：由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期是π，我們先觀察一個周期內的圖象，選定的區(qū)間是[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，函數(shù)在[－eq\f(π,2)，0]上單調遞增，在[0，eq\f(π,2)]上單調遞減，所以該函數(shù)的單調遞增區(qū)間是[kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[kπ，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z).(2)函數(shù)y＝|tanx|的圖象如下：由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期是π，我們先觀察一個周期內的圖象，選定的區(qū)間是(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，函數(shù)在(－eq\f(π,2)，0]上單調遞減，在[0，eq\f(π,2))上單調遞增，所以該函數(shù)的單調遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z).小結：求含絕對值的三角函數(shù)的單調區(qū)間，先畫出大致圖象確定函數(shù)的周期，再選定一個周期內的圖象寫出單調區(qū)間，最后拓展到整個定義域.思考(1)函數(shù)y＝|cosx|和y＝|tanx|的圖象具有怎樣的對稱性呢？觀察函數(shù)y＝|cosx|的圖象可知，該圖象是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，對稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z).觀察函數(shù)y＝|tanx|的圖象可知，該圖象是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，對稱軸方程也是x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z).(2)與函數(shù)y＝|cosx|相比，函數(shù)y＝|cosx|+1的性質有變化嗎？y＝|cosx|y＝|cosx|+1----定義域，周期性，單調性，奇偶性，對稱軸方程不變，值域由[0,1]變?yōu)閇1，2].本節(jié)課研究了平移變換與翻折變換下三角函數(shù)圖象的對稱性、三角函數(shù)的周期性和單調性，進一步認識了圖象與性質的作用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.需要掌握的具體內容如下：(1)點(a