2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】指數(shù)冪運(yùn)算-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題指數(shù)冪運(yùn)算教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.熟練完成有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，了解指數(shù)冪的拓展過程與原理，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2.類比用有理數(shù)逼近無理數(shù)體會(huì)從“數(shù)”與“形”的兩個(gè)角度，理解由有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的原理，滲透逼近思想和極限思想；3.在信息技術(shù)的幫助下加深對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及其性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪以及對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪的理解.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)25152引入指數(shù)運(yùn)算例題無理數(shù)指數(shù)冪總結(jié)同學(xué)們，大家好，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了根式，并且將根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，即：amna?m這樣，我們就把冪ax的形式中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)，所以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也叫作有理數(shù)指數(shù)冪！在推廣的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)指數(shù)冪并沒有改變冪的運(yùn)算性質(zhì)，即對(duì)于任意的正數(shù)a,b，都有（1）ar?as=ar+s（2）ars=ars，r,s∈Q冪ar的s次方等于底數(shù)a（3）abr=ar?br，r∈Qa,b乘積的拓展一下，常用的變形形式有aras=a學(xué)生活動(dòng)一：今天，我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)這一節(jié).首先我們來看幾道例題.例1.求值：（1）2536解：提示，將2536化為冪ax形式，將?1.5化為分?jǐn)?shù)形式公式：ar2536（2）23解：提示，將各因子化為冪ax形式.2回憶冪的運(yùn)算性質(zhì)，我們應(yīng)該尋找相同的底數(shù)！312，3公式：amn=na所以，2=2總結(jié)：盡量用指數(shù)冪的形式來表示根式，這樣往往會(huì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算.指數(shù)冪的運(yùn)算盡量化為同底數(shù)，即便不能化為同底，也要盡可能地減少不同底數(shù)的數(shù)量，同底才能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì).例如：2=2×學(xué)生活動(dòng)二：進(jìn)一步引深，同學(xué)們有沒有想過一個(gè)大膽的問題，指數(shù)有沒有可能是無理數(shù)？也就是無理數(shù)指數(shù)冪！首先我們復(fù)習(xí)一下無理數(shù)的知識(shí).整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，分?jǐn)?shù)又可寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)又叫做無限不循環(huán)小數(shù)，例如2，3，π都是無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).通過初中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，每一個(gè)無理數(shù)都是一個(gè)定值，能夠用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示.那么，如果不用計(jì)算器，我們?nèi)绾蝸砉浪?的值呢？同學(xué)們可能會(huì)想到下面這種方式：因?yàn)?2=1<2因?yàn)?.12=1.21<2因?yàn)?.112=1.2321<2?因?yàn)?.1?12<2，所以從而產(chǎn)生了一串逐漸向2靠近的數(shù)：1<1.1<1.11<1.1但需要指出，這串?dāng)?shù)無論延續(xù)到第幾個(gè)數(shù)，與2都不夠接近，因?yàn)椋?<1.1<1.11<1.1?1<1.4<2同學(xué)們可能又會(huì)想到下面這種方式：因?yàn)?.12=1.21<2因?yàn)?.22=1.44<2因?yàn)?.32=1.69<2因?yàn)?.42=1.96<2看上去很完美，但是：因?yàn)?.52=2.25>2用通俗的話來講，第一種靠近方式步子邁得太小，靠得不夠近，第二種靠近方式步子邁得太大，到第五個(gè)數(shù)時(shí)已經(jīng)邁過2了！那么，我們?cè)撊绾卧O(shè)計(jì)靠近2的方式呢？讓我們定下如此的標(biāo)準(zhǔn)：設(shè)一列數(shù)x都小于2，x的第一個(gè)值為1.4，之后第二個(gè)值為兩位小數(shù)，第三個(gè)值為三位小數(shù)，?，即每次增加一位小數(shù)，而且，x總是在同位數(shù)的小數(shù)中最接近2且小于2的那一個(gè)！如此設(shè)計(jì)，x的第二個(gè)值應(yīng)該在1.41,1.42,1.43,?,1.49中產(chǎn)生1.412=1.9881<2所以x的第二個(gè)值應(yīng)該是1.41x的第三個(gè)值應(yīng)該在1.411,1.41.4112=1.990921<2，1.4121.4142=1.999396<2所以x的第三個(gè)值應(yīng)該是1.414?由此，我們就能產(chǎn)生一列從小于2的方向逐漸逼近2的數(shù)x：1.4<1.41<1.414<1.4142<1.41421<1.414213<?而且2?1.96=0.04，2?可見他們與2的差是在逐漸縮小趨近于0的.我們將這一串?dāng)?shù)x叫做2的不足近似值.用同樣的方法，我們可以制定取2的過剩近似值y的標(biāo)準(zhǔn)：設(shè)一列數(shù)y都大于2，y的第一個(gè)值為1.5，之后第二個(gè)值為兩位小數(shù)，第三個(gè)值為三位小數(shù)，?，即每次增加一位小數(shù)，而且，y總是在同位數(shù)的小數(shù)中最接近2且大于2的那一個(gè)經(jīng)計(jì)算，我們可以得到一列從大于2的方向逐漸逼近2的數(shù)：1.5>1.42>1.415>1.4143>1.41422>1.414214>?這串?dāng)?shù)字y就是2的過剩近似值.我們可以看到，小數(shù)位數(shù)相同的2的過剩近似值y與不足近似值x的差是有規(guī)律的：2的不足近似值xx2的平方2的過剩近似值yy1.41.9621.52.251.411.98811.422.01641.4141.9993961.4152.0022251.41421.999961641.41432.000244491.414211.99998992411.414222.00001820841.4142131.9999984093691.4142142.0000012377961.41421351.999999823582251.41421362.000000106424961.414213561.99999999328787361.414213572.0000000215721449????1.5（幾何畫板演示1）這個(gè)差值就是我們常說的2的近似值得精確度，如果我們需要一個(gè)精確到0.001的2的近似值，就可以用1.414.我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2的不足近似值x和過剩近似值y逐漸逼近2時(shí)，我們也就得到了精度越來越高的2的近似值，這樣一直計(jì)算下去，我們就可以得到任何精確度的2的近似值.我們能否用同樣的辦法得到52的值呢？很顯然，是可以的，我們改變上面這張表中的兩列即可2的不足近似值x552的過剩近似值y51.49.5182696935793924494807364405955？1.511.1803398874989484820458683436561.419.67269972892989091571480185559951.429.82963532848334986859893919874171.4149.7351710391992906895153502209991.4159.7508518077807221653564720806511.41429.7383051742627125626804792694111.41439.73987262014970208097021514158611.414219.7384619074994743621719547358871.414229.7386186432587805948317136008351.4142139.7385089279623972192401987070031.4142149.7385246015004892497199631175561.41421359.7385167647282900361766693464461.41421369.7385183320822253669943861829631.414213569.7385177051406209639609883618601.414213579.738517861876018280880906834757????我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2的不足近似值x和過剩近似值y逐漸逼近2時(shí)，5x和5y都趨向于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是52.也就是說，52（幾何畫板動(dòng)畫演示2）這個(gè)用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的方法是可以推廣的，我們可以用這個(gè)方法來計(jì)算很多無理指數(shù)冪的值，比如23，332值.所以，我們實(shí)際上已經(jīng)將冪ax中指數(shù)x另外，因?yàn)闊o理數(shù)指數(shù)冪的值均是由有理數(shù)指數(shù)冪逼近得到的，它也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，即對(duì)于任意的a>0，b>0，r,s∈R，都有：=1\*GB3①ar?as=2\*GB3②ars=a=3\*GB3③abr=ar例2.按從小到大的順序，可將23，32，π5，解：思路一：四個(gè)數(shù)均為無理數(shù)指數(shù)冪的形式，我們不妨取無理數(shù)2,32=23所以，重新排列為23，32，2π總結(jié)：各位同學(xué)，今天我們將冪ax中指數(shù)x（1）理