數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式知識(shí)梳理在三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其他公式的基礎(chǔ)，由它出發(fā)，用-β代替β、±β代替β、α代替β等換元法可以推導(dǎo)出其他公式。你能根據(jù)下表回顧推導(dǎo)過程嗎？知識(shí)導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，可復(fù)習(xí)已學(xué)過的其他知識(shí)，充分利用單位圓,分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運(yùn)用做好準(zhǔn)備。有意識(shí)地聯(lián)想向量知識(shí).向量的數(shù)量積是解決距離與夾角問題的工具，在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中應(yīng)如何能夠體現(xiàn)它的作用？探索過程的安排,應(yīng)當(dāng)先把握整體，然后逐步追求細(xì)節(jié),在補(bǔ)充完善細(xì)節(jié)的過程中，需要運(yùn)用分類討論思想，突破兩角差的余弦公式的推導(dǎo)這一難點(diǎn)后，其他所有公式都可以通過自己的獨(dú)立探索而得出.疑難突破1。兩角和與差的正弦公式是怎樣推導(dǎo)的？兩角和與差正切公式是怎樣推導(dǎo)的？剖析：用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化：sin（α+β）=cos［-（α+β）］=cos［（—α）-β]=cos(—α）cosβ+sin(—α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α—β）=sin［α+(-β)］=sinαcos（—β）+cosαsin（—β)=sinαcosβ—cosαsinβ;tan（α+β）=，分式分子、分母同時(shí)除以cosαcosβ，得到tan（α+β）=.注意：α+β≠+kπ,α≠+kπ，β≠+kπ(k∈Z）.tan(α-β）=tan［α+（-β)］=。注意：α-β≠+kπ,α≠+kπ,β≠+kπ（k∈Z）。對(duì)于兩角和與差的公式的異同要進(jìn)行對(duì)比與分析，便于理解記憶和應(yīng)用。（1)明確角、函數(shù)名和排列順序以及公式中每一項(xiàng)的符號(hào)；（2)要牢記公式，并能熟練地進(jìn)行左右互相轉(zhuǎn)化;(3）和、差角公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式可以看成和、差角公式的特例。2.三個(gè)基本的三角恒等變換.剖析：（1）代換這是一種常用的數(shù)學(xué)思想，特別是解三角題尤為突出，本部分主要代換是角的代換,常用的有：α=(α+β)—β=β—（β—α）=［（α+β）+(α-β）]=［(α+β)-(β—α)］，2α=(α+β)+（α-β)=(α+β)—（β-α)，4α=2·2α,α=2·等.這幾種代換形式要靈活掌握，解題中經(jīng)常用到.如α、β為銳角,cosα=，cos(α+β)=，則cosβ=_____________.若展開cos(α+β）進(jìn)行運(yùn)算，則煩瑣難解，但若利用β=（α+β）-α代換，則解法簡便，大大降低了解題難度。(2）公式的逆向、多向變換使用任何一個(gè)公式都要注意它的逆向、多向變換，這是靈活使用公式所必需的,特別是三角函數(shù)公式.如：計(jì)算sin20°cos50°—sin70°cos40°，能逆用兩角差的正弦化為：sin(20°-50°）=sin（-30°)=—.計(jì)算。以下幾種變換要熟練掌握:tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）,1tanαtanβ=，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α—1=1-2sin2α，cos2α=，sin2α=。（3)引入輔助角的變換對(duì)于形如asinα+bcosα(a，b不同時(shí)為0)的式子引入輔助角變?yōu)锳sin（α+φ）的形式，可進(jìn)行三角函數(shù)的化簡，求周期最值等。要熟記以下常用變換:s