數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)梳理1.正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1）圖象:如圖1—圖1(2)性質(zhì)定義域：R.值域：[-1，1].當(dāng)x=2kπ+(k∈Z）時(shí)，y取最大值1；當(dāng)x=2kπ-(k∈Z)時(shí),y取最小值-1.周期性：周期函數(shù)，周期為2π。奇偶性:奇函數(shù).單調(diào)性:單調(diào)遞增區(qū)間是［2kπ—,2kπ+]；單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+,2kπ+］（k∈Z)。2。周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，總有f(x+T)=f(x）,那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就稱(chēng)它為最小正周期。規(guī)定：在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下,三角函數(shù)的周期均是指它的最小正周期.3。四種變換畫(huà)圖方法(1）振幅變換：對(duì)于函數(shù)y=Asinx(A＞0,A≠1)的圖象,可以看作是把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的。(2）周期變換：對(duì)于函數(shù)y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的圖象，可以看作是把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)(當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變)而得到的。(3)相位變換:對(duì)于函數(shù)y=sin（x+φ)，（φ≠0）的圖象,可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí))或向右（當(dāng)φ＜0時(shí))平行移動(dòng)|φ｜個(gè)單位得到的.（4）平移變換：對(duì)于函數(shù)y=sinx+b的圖象，可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0時(shí)）或向下(當(dāng)b＜0時(shí)）平行移動(dòng)|b｜個(gè)單位得到的.4。正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0，ω＞0)的圖象和性質(zhì)(1)有關(guān)概念:在正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中，A叫振幅，T=叫周期,f=叫頻率，ωx+φ叫相位,φ叫初相.(2）正弦型函數(shù)的圖象常見(jiàn)畫(huà)法：五點(diǎn)法和變換法。五點(diǎn)法步驟：①列表(ωx+φ通常取0，,π，，2π這五個(gè)值)；②描點(diǎn)；③連線。變換法：（常用的變換步驟)①(相位變換)先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右(當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位,得函數(shù)y=sin(x+φ）的圖象；②（周期變換)再把函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時(shí))或伸長(zhǎng)（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y=sin(ωx+φ）的圖象；③(振幅變換）再把函數(shù)y=sin(ωx+φ）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變），得函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象；④(上下平移變換)再把函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象上所有點(diǎn)向上(當(dāng)b＞0時(shí)）或向下（當(dāng)b＜0時(shí)）平行移動(dòng)｜b|個(gè)單位，得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象.(3)性質(zhì)：定義域:R。值域：［—A，A]。當(dāng)x=(k∈Z)時(shí),y取最大值A(chǔ)+b；當(dāng)x=(k∈Z）時(shí)，y取最小值—A+b。周期性：周期函數(shù)，周期為.奇偶性:當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ（k∈Z）且b=0時(shí)，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b是奇函數(shù)，否則不是奇函數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ+（k∈Z）時(shí),函數(shù)y=sin（ωx+φ)+b是偶函數(shù).單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間是［，］(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是［,](k∈Z）5。余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)y=cosxy=tanx圖象定義域R{x|x≠kπ+，k∈Z}值域［-1，1］當(dāng)x=2kπ(k∈Z）時(shí)，y最大值為1R(無(wú)最大值，無(wú)最小值)當(dāng)x=2kπ+π（k∈Z)時(shí)，y最小值為—1周期性2ππ奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在[（2k—1)π,2kπ］上是增函數(shù);在［2kπ,(2k+1)π］上是減函數(shù)（k∈Z)在（—+kπ,+kπ)上是增函數(shù)(k∈Z)6。用arccsinx,arccosx,arctanx表示角當(dāng)sinα=x，x∈[-1,1],α∈[-,］時(shí)，α=arcsinx;當(dāng)cosα=x，x∈［-1，1],α∈［0,π]時(shí),α=arccosx；當(dāng)tanα=x，x∈R,α∈（-,)時(shí)，α=arctanx。知識(shí)導(dǎo)學(xué)學(xué)好本節(jié)有必要復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)線，這是討論三角函數(shù)性質(zhì)、畫(huà)三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)中，重視應(yīng)用化歸的數(shù)學(xué)思想，自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決三角問(wèn)題。疑難突破1。如何理解arcsinx、arccosx、arctanx?剖析：疑點(diǎn)是這三個(gè)符號(hào)到底是表達(dá)了什么，arcsinx=(arc)×（sinx)嗎?其突破方法是明確這三個(gè)符號(hào)是如何規(guī)定的.（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，為了使符合條件sinx=a（-1≤a≤1)的角x有且只有一個(gè)，選擇區(qū)間［-,］作為基本范圍，在這個(gè)閉區(qū)間上符合條件sinx=a（—1≤a≤1）的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正弦,記作x=arcsina.因此arcsina,x∈［-1，1］表示在[—,］上正弦值為a的角,即arcsina∈[—,]，且sin(arcsina)=a,a∈［—1，1］。例如：arcsin表示在[—，］上正弦值為的一個(gè)角，由于在［-,］上正弦值為的角僅有，則arcsin=.（2）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，為了使符合條件cosx=a（-1≤a≤1)的角x有且只有一個(gè)，選擇區(qū)間［0,π]作為基本范圍，在這個(gè)閉區(qū)間上符合條件cosx=a（-1≤a≤1)的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反余弦，記作x=arccosa，即arccosa=x,a∈[—1,1]，表示在[0，π]上余弦值為a的角，即arccosa∈［0，π］,且cos(arccosa)=a,a∈［—1,1］。例如：arccos(-）表示在［0，π］上余弦值為-的一個(gè)角，由于在［0,π］上余弦值為—的角僅有，則有arccos(-)=。(3）根據(jù)正切函數(shù)圖象及性質(zhì),為了使符合條件tanx=a(a∈R)的角x有且只有一個(gè)，選擇區(qū)間（—,）作為基本范圍，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，符合條件tanx=a（a∈R)的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正切,記作x=arctana,即arctana∈R，表示在（—，)上,正切值為a的唯一角,即arctana∈（-，）,且tan（arctana）=a，a∈R.例如：arctan（—1）表示在(—,）上正切值為—1的一個(gè)角,由于在(—,）上正切值為-1的角僅有-，則有arctan（-1）=-。由此可見(jiàn):arcsinx、arccosx、arctanx都是角；并且這些角都分別在特定范圍內(nèi)；它們的同名三角函數(shù)值等于x。arcsinx不能寫(xiě)成（arc)×（sinx）,arccosx不能寫(xiě)成(arc)×（cosx）,arctanx不能寫(xiě)成(arc）×(tanx)，也就是這三個(gè)符號(hào)是一個(gè)整體，如果拆開(kāi),就沒(méi)有什么意義了。2.由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到函數(shù)y=sin（ωx+φ）(ω＞0）的圖象?剖析:由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+φ)的圖象一般有兩個(gè)途徑.途徑一：先相位變換，再周期變換先將y=sinx的圖象向左(φ＞0）或向右（φ＜0)平移｜φ|個(gè)單位;再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得y=sin(ωx+φ)的圖象.途徑二：先周期變換，再相位變換先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變)；再將得到的圖象沿x軸向左（φ＞0）或向右(φ＜0）平移個(gè)單位，便得y=sin(ωx+φ)的圖象。疑點(diǎn)是這兩種途徑在平移變換中，為什么沿x軸平移的單位長(zhǎng)度不同。其突破口是化歸到由函數(shù)y=f(x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到函數(shù)y=f（ωx+φ)的圖象。只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。若按途徑一有:先將y=f（x）的圖象向左（φ＞0）或向右(φ＜0)平移｜φ|個(gè)單位，得函數(shù)y=f(x+φ）的圖象；再將函數(shù)y=f(x+φ)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得y=f（ωx+φ）的圖象.若按途徑二有:先將y=f（x)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得函數(shù)y=f(ωx)的圖象；再將函數(shù)y=f(x+φ)的圖象上各點(diǎn)沿x軸向左（φ＞0)或向右(φ＜0）平移個(gè)單位，得y=f(ωx+φ)的圖象。若將y=f（x)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(ω＞0)，得函數(shù)y=f(ωx)的圖象；再將函數(shù)y=f（ωx）的圖象上各點(diǎn)沿x軸向左（φ＞0）或向右（φ＜0)平移|φ|個(gè)單位，得到y(tǒng)=f[ω(x+φ)]的圖象，即函數(shù)y=f(ωx+ωφ)的圖象，而不是函數(shù)y=f(ωx+φ）的圖象。例如：由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到函數(shù)y=sin(2x+）的圖象?方法一:(先相位變換,再周期變換）先將y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位得函數(shù)y=sin（x+)；再將函數(shù)y=sin（x+）圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得y=sin（2x+)的圖象.方法二:(先周期變換,再相位變換）先將f（x)=sinx的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得函數(shù)f（2x）=sin2x的圖象；再將函數(shù)f(2x）=sin2x的圖象上各點(diǎn)沿x軸向左平移個(gè)單位，得f［2（x+）]=sin2（x+)的圖象,即函數(shù)y=si