數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：周期現(xiàn)象角的概念的推廣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1周期現(xiàn)象2角的概念的推廣知識(shí)梳理1.周期現(xiàn)象某種動(dòng)作或現(xiàn)象每隔“一段”就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，這種現(xiàn)象被稱為周期現(xiàn)象。2。任意角(1）角的定義①靜態(tài)定義：具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。②動(dòng)態(tài)定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形,所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。（2)在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有順時(shí)針和逆時(shí)針兩個(gè)相反的方向。習(xí)慣上規(guī)定：按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，也把它看成一個(gè)角，稱為零角；旋轉(zhuǎn)生成的角又常稱為轉(zhuǎn)角.這樣就形成了任意大小的角,即任意角.（3)角的記法用一個(gè)希臘字母；用三個(gè)大寫的英文字母表示（字母前面要寫“∠”）。(4)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、零角、負(fù)角；按終邊所在位置分為象限角和軸線角。3.象限角、軸線角（1)定義：將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么就把角放在了平面直角坐標(biāo)系中。如果角的終邊（除原點(diǎn)外）在第幾象限，則就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則這個(gè)角不屬于任何象限,稱之為軸線角(或稱為象限界角）。（2）表示方法第一象限角的集合:{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z｝;第二象限角的集合:{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z｝;第三象限角的集合:{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z};第四象限角的集合:｛α｜k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z｝；終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合:｛α｜α=k·360°，k∈Z｝;終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合:｛α｜α=k·360°+180°,k∈Z｝;終邊落在x軸上的角的集合:{α|α=k·180°，k∈Z}；終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合：{α|α=k·360°+90°，k∈Z｝；終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合：｛α｜α=k·360°+270°，k∈Z｝；終邊落在y軸上的角的集合:｛α｜α=k·180°+90°,k∈Z}；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：{α｜α=k·90°,k∈Z｝；象限角與軸線角的表示形式并不唯一，還有其他的表示形式，如：終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合也可表示為｛x｜x=k·360°-90°，k∈Z}。4。終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.（2）所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z｝,即任一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。知識(shí)導(dǎo)學(xué)1。結(jié)合課本實(shí)例,理解生活中的“周而復(fù)始”“來回反復(fù)”等周期現(xiàn)象.2.復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的角的定義、特點(diǎn)、范圍。3.在學(xué)習(xí)過程中一定要用任意角的觀點(diǎn)看待問題,防止“穿新鞋走老路”，雖然學(xué)了任意角，還是以銳角、直角、鈍角來考慮問題。疑難突破1。當(dāng)角α與角β的終邊相同時(shí)，α與β相等嗎？為什么與角α終邊相同的角的集合可以寫成S={β|β=α+k·360°，k∈Z}？剖析:角的定義有兩種:靜態(tài)定義和動(dòng)態(tài)定義。受思維定勢(shì)的影響,往往會(huì)先想到用角的靜態(tài)定義來考慮這個(gè)問題，那樣就會(huì)陷入迷茫。其突破的途徑是用角的動(dòng)態(tài)定義來分析。若α、β的終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角α終邊旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針或順時(shí)針）k(k∈Z）周即得β，所以α、β的數(shù)量關(guān)系為β=k·360°+α(k∈Z),即α、β的大小相差360°的整數(shù)k倍.所以α與β不一定相等.例如：β與30°角的終邊相同，但是β不一定等于30°.將30°的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1周即得角β＝1·360°+30°=390°，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2周即得角β＝2·360°+30°=750°，…,所以390°，750°，…都與30°的終邊相同.將30°的終邊按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1周即得角β＝(—1)·360°+30°=-330°，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2周即得角β＝（—2)·360°+30°=-690°,…，所以—330°，-690°，…都與30°角的終邊相同。由以上可看出β與30°角的終邊相同，但是β不一定等于30°，它們的數(shù)量關(guān)系是β=k·360°+30°（k∈Z)。因此所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。理解集合S=｛β｜β=α+k·360°，k∈Z｝要注意以下幾點(diǎn)：（1）式中角α為任意角，它說明終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差3６0°的整數(shù)倍;（2）k∈Z這一條件必不可少；(3）k·360°與α之間是“+”,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+（-30°），即與—30°終邊相同的角;（4）終邊相同的角不一定相等,但是相等的角,終邊一定相同；（5）終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。在求終邊相同的角的問題中關(guān)鍵是找到一個(gè)與其終邊相同的某一角（一般找0°—360°的角），然后用集合和符號(hào)語言表示出來.2。第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、銳角這四類角有什么區(qū)別？剖析:受初中所學(xué)角的影響,看到這四種角，往往就說它們相同.其原因是雖然已經(jīng)將角擴(kuò)充到了任意角,但是解決問題時(shí)，考慮的角還是僅僅停留在銳角、直角、鈍角，即初中所學(xué)角的范圍上，沒有按任意角來看待.其突破方法是把握住各自的取值范圍.這四種角的范圍用集合表示，分別是：銳角：｛α｜0°＜α＜90°｝,0°—90°的角：｛α｜0°≤α＜90°｝，小于