專題13等腰三角形中的分類討論模型(原卷版+解析)

專題13等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無(wú)圖需分類討論①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）例1．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)校考期中）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)例2．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為，則其腰長(zhǎng)為（

）A． B．或 C． D．以上都不對(duì)例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個(gè)角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．例4．（2023·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．例5．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)校考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)例6．（2023·北京·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)___．例7．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)?？计谥校囊粋€(gè)等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的頂角為．例8．（2023·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)坐標(biāo)為，若是以為腰的等腰三角形，且點(diǎn)在軸上，則滿足條件的的坐標(biāo)是．例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（用含的代數(shù)式表示）(2)若點(diǎn)在的角平分線上，求的值；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，求出是等腰三角形時(shí)的值．例10．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，直線：與直線交于軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與射線交于點(diǎn)，若面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)是以為底邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）等腰三角形的一邊為4，一邊為3，則此三角形的周長(zhǎng)是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或112．（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出()

A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)3．（2022·北京九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是，則底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或6．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形中一個(gè)角為，則它的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．7．（2023春·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在折線段中，可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，將線段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或48．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為．9．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是，則底角的度數(shù)是．19．（2023·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．11．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線或直線上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有_______個(gè)．12.（2022·湖南·長(zhǎng)沙八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有__________個(gè).13．（2022·河南·鄭州八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)是___________．14．（2023春·上海嘉定·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．15．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的三角形紙片中，，，，將沿某一條直線剪開(kāi)（該直線需經(jīng)過(guò)點(diǎn)A），使其變成兩個(gè)三角形，且要求其中的一個(gè)三角形是等腰三角形，則剪出的等腰三角形的面積是．16．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．17．（2023春·安徽亳州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，分別是和的高．若，

（1）的長(zhǎng)為()；（2）在的腰上取一點(diǎn)M，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，長(zhǎng)為()18．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在中，．過(guò)三角形頂點(diǎn)的一條直線將分割為兩個(gè)等腰三角形．求的度數(shù)．

19．（2022春·陜西銅川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．

20．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，垂足為，，，．(1)求證：；(2)點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，求的長(zhǎng)．21．（2023秋·河南商丘·八年級(jí)校考期中）如圖，中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．(4)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)______________________后，可得到直角三角形．

專題13等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無(wú)圖需分類討論①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）例1．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，的值，利用分類討論的思想思考問(wèn)題即可．【詳解】解：，又，，，，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)為4，4，8時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時(shí)，周長(zhǎng)為20，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．例2．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚闹荛L(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為，則其腰長(zhǎng)為（

）A． B．或 C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】分為腰和底兩種情況求解,注意三角形的存在性：通過(guò)兩個(gè)短邊和大于最長(zhǎng)邊可判斷三角形存在，反之則無(wú)法構(gòu)成三角形．【詳解】解：因?yàn)榈妊切蔚闹荛L(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為，當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，其余兩邊的長(zhǎng)分別為，,三角形不存在；當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，其余兩邊的長(zhǎng)都為，三角形存在；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個(gè)角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，進(jìn)行分類討論即可【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)，頂角，②當(dāng)頂角為時(shí)，頂角度數(shù)，綜上：頂角度數(shù)為或；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書(shū)熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．例4．（2023·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時(shí)，，頂角；如圖，三角形是鈍角時(shí)，，頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．例5．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)校考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】利用格點(diǎn)分別作出等腰三角形，即可得到答案.【詳解】如圖所示．網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)C有，共4個(gè),故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的判定，正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.例6．（2023·北京·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長(zhǎng)為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例7．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)?？计谥校囊粋€(gè)等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的頂角為．【答案】或【分析】畫(huà)出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖，，

∴，∴；②如圖，，∴，∵，，∴，∴；綜述：等腰三角形的頂角的度數(shù)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，恰當(dāng)分類并畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.例8．（2023·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)坐標(biāo)為，若是以為腰的等腰三角形，且點(diǎn)在軸上，則滿足條件的的坐標(biāo)是．【答案】或或【分析】分，，，三種情況，利用等腰三角形的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為C，∴，∴的坐標(biāo)為；綜上：點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是注意分情況討論．例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（用含的代數(shù)式表示）(2)若點(diǎn)在的角平分線上，求的值；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，求出是等腰三角形時(shí)的值．【答案】(1)(2)t的值為(3)t的值為或或4【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式可求得答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可；（3）分作為底和腰兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵已知點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：；故答案為：；（2）解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，如圖所示：

在中，，，，由勾股定理得：，點(diǎn)P在的角平分線上，，，，又，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，即若點(diǎn)P在的角平分線上，則t的值為；（3）解：當(dāng)作為底邊時(shí)，如圖所示：

則，設(shè)，則，在中，，，解得：此時(shí)；當(dāng)作為腰時(shí)，如圖所示：，此時(shí)；時(shí)，，，此時(shí)，綜上分析可知，t的值為或或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．例10．（2023春·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖1，直線：與直線交于軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與射線交于點(diǎn)，若面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)是以為底邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法可求出答案；（2）據(jù)三角形的面積可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線的解析式可得出答案；（3）分四種情況畫(huà)出圖形，由等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）解：直線：分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：直線：分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，解得，，，，，，，由題意知，點(diǎn)在軸下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若點(diǎn)在軸的正半軸，如圖，

，

，是以為底邊的等腰直角三角形，，，直線的解析式為，時(shí)，，，，，；若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖，同理可得，，；若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖，，

，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，，；若點(diǎn)在軸的正半軸，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同理可得，，，，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）等腰三角形的一邊為4，一邊為3，則此三角形的周長(zhǎng)是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或11【答案】D【分析】分邊4是底邊和腰長(zhǎng)兩種情況討論，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷是否能組成三角形，然后求解即可．【詳解】解：若4是底邊，則三角形的三邊分別為4、3、3，能組成三角形，周長(zhǎng)，若4是腰，則三角形的三邊分別為4、4、3，能組成三角形，周長(zhǎng)，綜上所述，此三角形的周長(zhǎng)是10或11．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于分情況討論并判斷是否能組成三角形．2．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出()

A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)即為第三個(gè)頂點(diǎn)的位置，作AB的垂直平分線，如果經(jīng)過(guò)格點(diǎn)，則這樣的點(diǎn)也滿足條件，由上述作法即可求得答案.【詳解】如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即為第三個(gè)頂點(diǎn)的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線未經(jīng)過(guò)格點(diǎn)，故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出7個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的等腰三角形．3．（2022·北京九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論．【詳解】解：以點(diǎn)A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線BC于兩個(gè)點(diǎn)，然后作AB的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)，如圖所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等邊三角形，∴點(diǎn)重合，∴符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)．【詳解】解：分二種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OA為等腰三角形的腰時(shí)，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)OA為等腰三角形的底時(shí)，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)．∴符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對(duì)線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫(huà)圓弧的方式，找與y軸的交點(diǎn)，比較形象易懂．5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是，則底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于此高不能確定是在三角形的內(nèi)部，還是在三角形的外部，所以要分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況求解．【詳解】解：分兩種情況：①高在三角形的內(nèi)部時(shí)，如圖：

，，，∴，∴；②高在三角形的外部時(shí)，如圖：

，，，∴，∴．故底角度數(shù)為或，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形中一個(gè)角為，則它的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角等于，①當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是，②當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，設(shè)該等腰三角形的底角是，則，解可得，，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過(guò)三角形內(nèi)角和，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的應(yīng)用．7．（2023春·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在折線段中，可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，將線段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，，三條線段，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)時(shí)，則，，三條線段，，不能構(gòu)成三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為．【答案】40°或100°【分析】由該等腰三角形的外角是140°，可求出相鄰的內(nèi)角為40°．分情況討論，①當(dāng)40°角為頂角時(shí)，40°即為所求；②當(dāng)40°角為底角時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出頂角大小．【詳解】解：根據(jù)題意可知該等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為：，①當(dāng)40°角為頂角時(shí)，即該等腰三角形頂角度數(shù)為40°；②當(dāng)40°角為底角時(shí)，該等腰三角形頂角度數(shù)。故答案為：40°或100°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．注意分類討論是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是，則底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】根據(jù)題意分等腰三角形的頂角是鈍角或銳角兩種情況，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1，∵，，∴，∴∴三角形的底角為；②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖2，∵，，∴，∵，∴∴∴三角形的頂角為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．19．（2023·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)【分析】根據(jù)等腰直角三角形中直角頂點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類討論，并結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC時(shí)，作CP⊥y軸于P點(diǎn)，則∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，由題意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，6)；②如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC時(shí)，作CQ⊥x軸于Q點(diǎn)，則∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可證得△BOA≌△AQC，∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2)；③如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC時(shí)，作BM⊥CN，交CN延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，則∠BMC=∠CNA=90°，同①理，可證得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，則，即：，解得：，∴ON=2+1=3，∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)；綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案為：(4，6)、(6，2)或(3，3)．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形的確定，掌握等腰直角三角形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．11．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線或直線上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有_______個(gè)．【答案】8【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：在同一三角形中，等邊對(duì)等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB=AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM=BA）．③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA=MB），交直線BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來(lái)，思考要全面，做到不重不漏．12.（2022·湖南·長(zhǎng)沙八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有__________個(gè).【答案】6【分析】分類討論：AB=AM時(shí)，AB=BM時(shí)，AM=BM時(shí)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得到符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】①當(dāng)AB=AM時(shí)，在y軸上有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)M,在x軸上有1個(gè)滿足條件的點(diǎn)M;②當(dāng)AB=BM時(shí)，在y軸上有1個(gè)滿足條件的點(diǎn)M,在x軸上有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)M,有1點(diǎn)與AB=AM時(shí)的x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)M重合；③當(dāng)AM=BM時(shí)，在x軸、y軸上各有1個(gè)滿足條件的點(diǎn)M，有一點(diǎn)與AB=AM時(shí)的x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)M重合．綜上所述，符合條件的點(diǎn)M共有6個(gè)．故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，注意有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故存在重合的情況，此為解題的關(guān)鍵.13．（2022·河南·鄭州八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)是___________．【答案】或或．【分析】分三種情況討論：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形解題．【詳解】解：由折疊可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，當(dāng)DE=DF時(shí)，如圖1，此時(shí)DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，設(shè)，則，則在直角△DHE中，，解得，當(dāng)DE=EF時(shí)，如圖2，作AH⊥BC于H，連接BD，延長(zhǎng)AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，設(shè)，則，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，設(shè)，則，在直角△AEH中，，解得，當(dāng)DF=EF時(shí)，如圖3，過(guò)A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AF交DC于M，同理∴故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·上海嘉定·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得到.然后對(duì)中的邊進(jìn)行討論，然后在中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).【詳解】∵是的中垂線,∴，∴，∵,∴，設(shè),則，

①當(dāng)時(shí),則在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：,解得:,則；②當(dāng)時(shí),,而,故此時(shí)不成立；③當(dāng)時(shí),在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到：，解得:，即的度數(shù)為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確對(duì)的邊進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.15．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的三角形紙片中，，，，將沿某一條直線剪開(kāi)（該直線需經(jīng)過(guò)點(diǎn)A），使其變成兩個(gè)三角形，且要求其中的一個(gè)三角形是等腰三角形，則剪出的等腰三角形的面積是．【答案】8或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式可求得剪出的等腰三角形的面積；②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)可求得剪出的等腰三角形的面積．【詳解】解：①如圖1：當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，則；②如圖2：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，在中，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得，則，綜上所述，剪出的等腰三角形的面積是8或，故答案為：8或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的定義，關(guān)鍵是采用分類討論的思想進(jìn)行計(jì)算．16．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．【答案】13或24或【分析】當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別求出的長(zhǎng)度，繼而可求得的值．【詳解】解：，，，．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，，，在中，，即，解得．綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，或24或．故答案為：13或24或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．17．（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，分別是和的高．若，

（1）的長(zhǎng)為()（2）在的腰上取一點(diǎn)M，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，長(zhǎng)為()【答案】6或【分析】（1）由分別是和的高得到，由得到，，，則，則，即可得到答案；（2）分點(diǎn)在邊上和點(diǎn)在邊上兩種情況分別畫(huà)圖進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵分別是和的高．∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：6（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖，

∵，∴是等腰三角形，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，①若，如圖，

∵在中，，分別是的高．平分，∵于點(diǎn)，∴，即時(shí)，為等腰三角形；②如圖3，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；

，∴，過(guò)點(diǎn)E作，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，③如圖4，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)O，

∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)P，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，綜上可知，長(zhǎng)為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在中，．過(guò)三角形頂點(diǎn)的一條直線將分割為兩個(gè)等腰三角形．求的度數(shù)．

【答案】【分析】分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，設(shè)，則，∵，即：，可得：，如圖，當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，，∵，即：，解得：，即：；如圖，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；

如圖，當(dāng)，時(shí)，

此時(shí)，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·陜西銅川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．