專題07軸對(duì)稱中的最值模型問題(將軍飲馬)專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題07軸對(duì)稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓(xùn)【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）題型四最值問題的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。化折為直；兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問題問題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以先行學(xué)習(xí)第3章后再完成該專題訓(xùn)練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點(diǎn)D，是的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，在上確定一點(diǎn)P，使最小，則這個(gè)最小值為()

A． B．4 C． D．52．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，在MN上有一點(diǎn)P，使PB+PD最小，則這個(gè)最小值=________．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）唐朝詩(shī)人李顧的詩(shī)古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩(shī)中大意是將軍從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊點(diǎn)飲水后，再回到點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問將軍怎樣走才能使總路程最短？請(qǐng)你通過畫圖，在圖中找出點(diǎn)，使的值最小，不說明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用，如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€、上分別找到兩點(diǎn)、，使的周長(zhǎng)最小，不說明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一動(dòng)點(diǎn)Q，OB上有一動(dòng)點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且．在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R．若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是________．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小．作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點(diǎn)B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長(zhǎng)．【經(jīng)典例題四最值問題的實(shí)際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；(3)在直線上畫出點(diǎn)，使得的值最?。咀兪接?xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點(diǎn)，使；(2)在（圖②）直線上找出一點(diǎn)，使的值最小；(3)在（圖③）直線上找出一點(diǎn)，使的值最大．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長(zhǎng)是，①求的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出周長(zhǎng)的最小值．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A，B，C，D是不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點(diǎn)P，使得的和最短．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級(jí)交大附中分校?？计谀﹫D，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點(diǎn)在C點(diǎn)處，B村莊的土地灌溉點(diǎn)在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點(diǎn)建一水站E，使得水站E分別到灌溉點(diǎn)C與灌溉點(diǎn)D的距離之和最短，最短距離是（

）

A．10 B．17 C．14 D．132．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等腰中，，垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是，，則的周長(zhǎng)最小值是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）A．8 B．10 C． D．4．（2023秋·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的中線，M是上的動(dòng)點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動(dòng)點(diǎn)，記，的面積分別記為，．若，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·湖北黃岡·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．10．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)在等邊的邊上，，射線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三角形中，，三角形的面積是，的垂直平分線分別交，邊于點(diǎn)，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形周長(zhǎng)的最小值是______．

12．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為______．

13．（2022秋·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，．點(diǎn)M、N分別在上．當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，下列結(jié)論：①等于；②等于；③等于；④周長(zhǎng)最小值是5：⑤周長(zhǎng)最小值是10；⑥周長(zhǎng)最小值是15．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．14．（2023秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．15．（2023秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為貫徹國(guó)家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測(cè)量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為，，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長(zhǎng)要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D間距離C______m處．（河岸邊上的點(diǎn)到河對(duì)岸的距離都相等）16．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為__________．17．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的最小值等于_____．

的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，若點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為_____．19．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的度數(shù)．

20．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？21．（2022秋·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在和中，，，與相交于點(diǎn)O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段的垂直平分線；(2)在圖2中，在線段上找到一點(diǎn)N,使的值最小．22．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，．(1)作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡）．(2)連接，若，的周長(zhǎng)是．①求的長(zhǎng)；②在直線上是否存在點(diǎn)，使的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．23．（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)校考期中）已知，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最?。?1)請(qǐng)畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計(jì)雜料，所用水管之和為米，且比長(zhǎng)米，兩村莊購(gòu)買水管花費(fèi)元，約定按長(zhǎng)度分?jǐn)傎M(fèi)用，請(qǐng)計(jì)算兩村莊各需付水管購(gòu)買費(fèi)多少元？24．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是；(2)探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說明理由；(3)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)；②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最?。咳舸嬖?，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．

專題07軸對(duì)稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓(xùn)【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）題型四最值問題的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求?；蹫橹?；兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問題問題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，于是得到AD的長(zhǎng)為PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴S△ABC==60，∴AD=12，設(shè)AD與EF的交點(diǎn)為P，∵EF垂直平分AB，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴PA=PB，此時(shí)AD的長(zhǎng)為PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點(diǎn)D，是的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，在上確定一點(diǎn)P，使最小，則這個(gè)最小值為()

A． B．4 C． D．5【答案】B【分析】在上取一點(diǎn)P，連接，，，由垂直平分線的性質(zhì)可知，從而得到，點(diǎn)D是定點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，最小值為的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求即可．【詳解】解：在上取一點(diǎn)P，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，

點(diǎn)D是定點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：點(diǎn)P在上時(shí)，最小值為的長(zhǎng)，∵，，∴，∴，∴最小值為4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式，兩點(diǎn)之間線段最短，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出最小值即為的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，在MN上有一點(diǎn)P，使PB+PD最小，則這個(gè)最小值=________．【答案】12【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AP=BP，從而得到PB+PD的最小值為AD的長(zhǎng)，再由，求出AD，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AP，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AP=BP，∴PB+PD=AP+PD≥AD，即PB+PD的最小值為AD的長(zhǎng)，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴，∵AB=AC=13，BC=10，BE=，∴，解得：AD=12，即PB+PD的最小值為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）唐朝詩(shī)人李顧的詩(shī)古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩(shī)中大意是將軍從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊點(diǎn)飲水后，再回到點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問將軍怎樣走才能使總路程最短？請(qǐng)你通過畫圖，在圖中找出點(diǎn)，使的值最小，不說明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用，如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€、上分別找到兩點(diǎn)、，使的周長(zhǎng)最小，不說明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的最小值為【分析】（1）作點(diǎn)關(guān)于直線小河的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，則最??；（2）分別作點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)和，連接交于，于，連接，，，則的周長(zhǎng)最??；（3）過點(diǎn)C作，交于，于，連接ME，則最小，證明≌，可得，，可證得△COM≌△EOM，從而得到當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，再根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線小河的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，則最?。焕碛桑焊鶕?jù)作法得：，∴，∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最??；（2）如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)和，連接交于，于，連接，，，則的周長(zhǎng)最??；理由：根據(jù)作法得：，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最??；（3）如圖，過點(diǎn)C作，交于，于，連接ME，則最小，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵，，，，∴，即，解得：，∵，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，此時(shí)，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)最大，過點(diǎn)B作由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是的最大值，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，∵，，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，過點(diǎn)B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一動(dòng)點(diǎn)Q，OB上有一動(dòng)點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F，連接EF分別交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)R，連接OE、OF，∵P、E關(guān)于OA對(duì)稱，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，同理可證OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，∴△OEF是等邊三角形，∴EF=12，∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．故選B．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC∴點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)∴BD=CD==3∵的面積為21∵EF是線段AB的垂直平分線∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A∴AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值∴△PBD的周長(zhǎng)最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且．在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R．若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是________．【答案】8【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR的周長(zhǎng)=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【詳解】解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN，連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長(zhǎng)=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為8．故答案為：8．．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即把求三角形周長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)解答．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最?。鼽c(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點(diǎn)B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；（2）10【詳解】試題分析：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,與相交于兩點(diǎn)，連接,即為所求．試題解析：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,與相交于兩點(diǎn)，連接,即為所求．此時(shí)線段的長(zhǎng)度即為周長(zhǎng)的最小值連接由對(duì)稱性知：為等邊三角形所以三角形的最小周長(zhǎng)為10.點(diǎn)睛：屬于將軍飲馬問題，依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短.【經(jīng)典例題四最值問題的實(shí)際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；(3)在直線上畫出點(diǎn)，使得的值最?。敬鸢浮?1)2(2)作圖見解析(3)作圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格，間接表示出的面積即可得到答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱，先作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接頂點(diǎn)即可畫出；（3）由動(dòng)點(diǎn)最值問題-“將軍飲馬”模型，作出點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)即為所求（連接與直線相交于點(diǎn)也可）．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示：

即為所求；（3）解：如圖所示：

連接，與直線的交點(diǎn)即為所求（連接與直線相交于點(diǎn)也可）．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中求三角形面積、復(fù)雜作圖-對(duì)稱及動(dòng)點(diǎn)最值問題-“將軍飲馬”，熟練掌握相關(guān)題型解法及對(duì)稱作圖是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點(diǎn)，使；(2)在（圖②）直線上找出一點(diǎn)，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點(diǎn)，使的值最大．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，線段與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．（也可作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)）（3）過點(diǎn)，作直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）如圖①，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)；（2）如圖②，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)的值最?。唬?）如圖③，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)最大．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長(zhǎng)是，①求的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長(zhǎng)是．，即可求的長(zhǎng)度；②依據(jù)，，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，，此時(shí)最小，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)最小值．【詳解】（1）解：，，，，∵是的垂直平分線，，，，，．（2）①，的周長(zhǎng)是，即，，，．∴的長(zhǎng)度為．②當(dāng)P與M重合時(shí)，的周長(zhǎng)最?。碛桑骸撸?，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，，此時(shí)最小值等于的長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A，B，C，D是不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點(diǎn)P，使得的和最短．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點(diǎn)P即為所求．兩點(diǎn)之間線段最短，要使得的和最短，則點(diǎn)應(yīng)為線段和線段的交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級(jí)交大附中分校校考期末）圖，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點(diǎn)在C點(diǎn)處，B村莊的土地灌溉點(diǎn)在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點(diǎn)建一水站E，使得水站E分別到灌溉點(diǎn)C與灌溉點(diǎn)D的距離之和最短，最短距離是（

）

A．10 B．17 C．14 D．13【答案】D【分析】作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，交于E，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于F，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，交于E，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于F，

∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，能夠根據(jù)題意找出點(diǎn)E是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等腰中，，垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是，，則的周長(zhǎng)最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值為3，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為3，∴的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，兩點(diǎn)間線段最短，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）A．8 B．10 C． D．【答案】B【分析】設(shè)中邊上的高是h，即可得出，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離，再根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】設(shè)中邊上的高是h，∵，∴，∴，動(dòng)點(diǎn)P在與平行且與的距離是4的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離，在中，∵，，∴，即的最小值為10．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱-最短線路問題，三角形面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，得出動(dòng)點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的中線，M是上的動(dòng)點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)F，連接，與交于點(diǎn)M，推出最小時(shí)即為，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)F，連接，與交于點(diǎn)M，∵是等邊三角形，是邊上的中線，∴，∵點(diǎn)E、點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱，∴F在上，∴，∴，即最小，且為，∵，∴，即點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，找到取得最小值時(shí)點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由，得出動(dòng)點(diǎn)在與平行且與的距離是2的直線上，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離．

設(shè)中邊上的高是．，，，，動(dòng)點(diǎn)在與平行且與的距離是2的直線上，在中，，，，即的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動(dòng)點(diǎn)，記，的面積分別記為，．若，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由圖可知，根據(jù)面積關(guān)系求出長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．是等腰直角三角形，且，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，，解得，，的最小值為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短距離問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，根據(jù)題意添加相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023春·湖北黃岡·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，證明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在和中，，，，欲求的最小值，只要求出的最小值，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長(zhǎng)．在中，，，，，的最小值是7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、軸對(duì)稱中的最短路線問題、垂線段最短等知識(shí)，找出點(diǎn)、的位置是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，即可得出，即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，∴，，∴，，則即為的周長(zhǎng)最小值，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)在等邊的邊上，，射線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，利用所對(duì)直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，∴，,∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在三角形中，，三角形的面積是，的垂直平分線分別交，邊于點(diǎn)，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形周長(zhǎng)的最小值是______．

【答案】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱—最短路徑得到是的最小值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積即可解答．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴有最小值為，∵在三角形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，∵三角形的面積是，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，∴三角形周長(zhǎng)的最小值是，故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路徑，三角形的面積公式，根據(jù)題意找到有最小值是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為______．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，的面積最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，

，且，，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．13．（2022秋·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，．點(diǎn)M、N分別在上．當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，下列結(jié)論：①等于；②等于；③等于；④周長(zhǎng)最小值是5：⑤周長(zhǎng)最小值是10；⑥周長(zhǎng)最小值是15．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①⑤/⑤①【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M，交于N，可得的周長(zhǎng)的最小值，然后證明是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M，交于N，則，，∴即的周長(zhǎng)的最小值，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，即的周長(zhǎng)的最小值為10，∴①⑤正確，故答案為：①⑤．【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱——最短路線問題，正確正確作出輔助線，證明是等邊三角形是關(guān)鍵．14．（2023秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．【答案】【分析】作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．15．（2023秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為貫徹國(guó)家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測(cè)量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為，，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長(zhǎng)要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D間距離C______m處．（河岸邊上的點(diǎn)到河對(duì)岸的距離都相等）【答案】【分析】作B點(diǎn)關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線b于點(diǎn)P，則，則，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最小，過作，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)M，則，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線b于點(diǎn)P，∴，∴，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最小，過作，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)M，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)P與C點(diǎn)的距離是，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，還考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，按照要求正確作圖是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為__________．【答案】8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，∴的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的最小值等于_____．

【答案】3【分析】根據(jù)是的平分線確定出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)作于交于，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，利用三角形的面積求出，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得，從而得解．【詳解】解：如圖，過作于交于，

則，是的平分線，，，，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，過點(diǎn)作于交于，由軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，，，，解得，是的平分線，與關(guān)于對(duì)稱，，是等腰三角形，，即的最小值是3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形兩腰上的高相等的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，面積是，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，若點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為_____．【答案】【分析】連接交與點(diǎn)，連結(jié)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，則，故此當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明為底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：連接交與點(diǎn)，連結(jié)．是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，．．當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，有最小值，最小值．的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．能結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一得出BM+MD的最短值即為AD是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的度數(shù)．

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)、、、共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，先求，則．【詳解】解：如答圖①，分別作點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)，，

則，．的周長(zhǎng)，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線（如答圖②）時(shí)，的周長(zhǎng)取到最小值．，，．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，．又由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可得，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短的方法，靈活應(yīng)用三角形、四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，在上取點(diǎn)，使得，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)推出，確定三點(diǎn)共線且垂直于時(shí)，取得最小值，結(jié)合面積進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)，如圖所示，

由對(duì)稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時(shí)，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當(dāng)時(shí)，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．21．（2022秋·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)校考期中）如圖，在和中，，，與相交于點(diǎn)O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段的垂直平分線；(2)在圖2中，在線段上找到一點(diǎn)N,使的值最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析【分析】（1