江蘇省淮安市2025屆高三上學(xué)期11月第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題含答案

淮安市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題2024.11注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A. B.C D.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模（）A.1 B. C. D.3.已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，則（）A. B.1 C.2 D.34.已知冪函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，則的值為（）A B. C. D.5.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件6.已知是單位向量，滿足，則在方向上的投影為（）A. B. C. D.17.在外接圓半徑為4的中，，若符合上述條件的三角形有兩個(gè)，則邊的長可能為（）A.2 B.3 C.4 D.58.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則10.在數(shù)列和中，，，，下列說法正確的有（）A. B.C.36是與的公共項(xiàng) D.11.已知函數(shù)，（）A.函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)B.函數(shù)的對(duì)稱中心為C.若對(duì)，恒成立，則D.函數(shù)，與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.13.已知，則______.14.已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)，，，為平面內(nèi)的四點(diǎn)，已知，，.（1）若四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，，三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)的坐標(biāo).16.設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.（1）求函數(shù)，的解析式；（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，求的值.17.在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）如圖，過外一點(diǎn)作，，，，求四邊形面積.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②當(dāng)時(shí)，求證：.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②當(dāng)取最大值時(shí)，若（，，，為非負(fù)實(shí)數(shù)），求的最小值.淮安市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題2024.11注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合，再由并集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，又，可得.故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)模長的運(yùn)算公式以及性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可知：，故選：A.3.已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由，，成等比數(shù)列可得，即，解得，所以可得，故選：D.4.已知冪函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和圖象特點(diǎn)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解出的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，則，解得.故選：B.5.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性以及充要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，則，，所以，則為奇函數(shù).若為奇函數(shù)，則一定有.則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選：A.6.已知是單位向量，滿足，則在方向上的投影為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算公式，求得在方向上的投影，進(jìn)而可得投影.【詳解】，，，即，在上投影向量，所以在方向上的投影為1.故選：D.7.在外接圓半徑為4的中，，若符合上述條件的三角形有兩個(gè)，則邊的長可能為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由三角形有兩解的條件，結(jié)合正弦定理求出邊的范圍.【詳解】在中，，由有兩解，得，且，則，由外接圓半徑為4及正弦定理，得，所以邊的長可能為5.故選：D8.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)可得，再由基本不等式計(jì)算可得結(jié)果；方法二：由函數(shù)解析式可得，再由單調(diào)性可得，利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】方法一：由可得，易知在上單調(diào)遞增，因此可得，即；又要求的最大值，只需考慮即可，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故選：B.方法二：，而，所以；而在上單調(diào)遞增，所以，即，因此原式，要求其最大值，只需考察可得原式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】AB【解析】【分析】利用作差法可判斷A，利用不等式可判斷B，利用特殊值法可判斷C、D.【詳解】由，得，即，又，則，即，故A正確；因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，，所以，故B正確；假設(shè)，，滿足，，此時(shí)，，不成立，故C錯(cuò)誤；假設(shè)，，，滿足，，，此時(shí)，，不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB.10.在數(shù)列和中，，，，下列說法正確的有（）A B.C.36是與的公共項(xiàng) D.【答案】ACD【解析】【分析】A：根據(jù)等差數(shù)列定義求的通項(xiàng)公式，則可求；B：累加法求的通項(xiàng)公式；C：根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算并判斷；D：采用裂項(xiàng)相消法求和并證明.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，符合條件，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，解得(負(fù)值舍去)，所以，令，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以，即是與的公共項(xiàng)，故正確；對(duì)于D：因，所以，故正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)，（）A.函數(shù)單調(diào)減函數(shù)B.函數(shù)的對(duì)稱中心為C.若對(duì)，恒成立，則D.函數(shù)，與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20【答案】BCD【解析】【分析】去絕對(duì)值分類討論可得函數(shù)解析式，易知在0,+∞以及上是分別單調(diào)遞減的，即A錯(cuò)誤，易知滿足，可知B正確，再利用函數(shù)單調(diào)性以及不等式恒成立計(jì)算可得C正確，畫出兩函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象根據(jù)周期性計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，因此可得在0,+∞以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于0,1對(duì)稱，即B正確；對(duì)于C，由，即，即在時(shí)恒成立，易知在0,+∞上恒成立，所以可得，解得，即C正確；對(duì)于D,畫出函數(shù)以及的圖象如下圖所示：易知也關(guān)于0,1對(duì)稱，的周期為4，一個(gè)周期與有兩個(gè)交點(diǎn)，5個(gè)周期有10個(gè)交點(diǎn)，與在共20個(gè)交點(diǎn)，即，故D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)以及都關(guān)于0,1成中心對(duì)稱，再由函數(shù)周期性計(jì)算可得結(jié)果.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算律化簡求值即可.【詳解】.故答案為：-213.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用恒等變換公式以及商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡并計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，而，所以，，故答案為?14.已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得hx的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得hx的最大值【詳解】將函數(shù)y=fx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到，所以，，可得hx周期為，，所以，所以或，解得或或，當(dāng)，h'x<0，所以hx當(dāng)，h'x>0，所以hx當(dāng)，h'x<0，所以hx當(dāng)，h'x>0，所以hx，，，，因?yàn)榇嬖趚∈R使成立，所以所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)，，，為平面內(nèi)的四點(diǎn)，已知，，.（1）若四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，，三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用，可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用三點(diǎn)共線，可得，可得，利用數(shù)量積可求點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，設(shè)，所以，所以，所以【小問2詳解】因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，，所以設(shè)，又，所以，所以，又所以.16.設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.（1）求函數(shù)，的解析式；（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正、余弦函數(shù)奇偶性，得到，，聯(lián)立即可求解；（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及輔助角公式，得到，結(jié)合條件得到，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)棰?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，即②，聯(lián)立①②，解得，.【小問2詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，或，或.17.在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）如圖，過外一點(diǎn)作，，，，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式求解；（2）解法一：連接，設(shè)，由條件求得即，求出，，，由計(jì)算即可；解法二：延長，交于點(diǎn)，則，求出，，由計(jì)算即可.【小問1詳解】∵，∴根據(jù)正弦定理得，∴，∴，，，，，.【小問2詳解】解法一：連接，設(shè)，在和中，，即，，，，四邊形的面積.解法二：延長，交于點(diǎn)，，，，，，，，四邊形的面積.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）（2）①②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件賦值法列方程組計(jì)算求出,再應(yīng)用，化簡得出進(jìn)而得出即可；（2）①由得出再應(yīng)用錯(cuò)位相減法即可求解；②構(gòu)造數(shù)列再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可證明不等式.【小問1詳解】在中，分別令，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得出，，也滿足上式為常數(shù)列，【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，，，兩式相減得出②，令，在上單調(diào)遞增，注意到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得出即可得證.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②當(dāng)取最大值時(shí)，若（，，，為非負(fù)實(shí)數(shù)），求的最小值.【答案】（1）答案見解析（2）①②【解析】【分析】（1）分三種情況討論再應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）①把恒成