天津市河北區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

河北區(qū)2024-2025學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第卷1至3頁，第Ⅱ卷4至8頁.第I卷（選擇題共45分）注意本項(xiàng)：1.答第I卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考號?科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答在試卷上的無效.3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么圓柱的側(cè)面積公式圓錐的側(cè)面積公式其中表示底面圓的半徑表示母線的長一?選擇題：在每年小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式求得集合，再求，最后求即可.【詳解】由，可得，即，則或，故.故選：C.2.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：若直線與直線平行，則且，解得，所以推得出直線與直線平行，即充分性成立；由直線與直線平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)奇偶性排除CD,再代入特值驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?且,所以函數(shù)是偶函數(shù),其函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,排除CD.又,排除B.故選:A.4.某校調(diào)查了400名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），發(fā)現(xiàn)他們的自習(xí)時(shí)間都在區(qū)間[17.5，30]內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成5組：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則自習(xí)時(shí)間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】【分析】算出所求區(qū)間的頻率乘以總?cè)藬?shù)即可估計(jì).【詳解】由頻率分布直方圖可知，自習(xí)時(shí)間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的頻率為，所以自習(xí)時(shí)間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為．故選：A．5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，所?故選：B.6.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過圓錐的底面半徑和高，可求出圓柱的高和底面半徑，再結(jié)合圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積可求得剩下幾何體的表面積.【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.7.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線段的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)Fc,0，求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式計(jì)算得關(guān)系，進(jìn)而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)Fc,0，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，又，因?yàn)镸是線段的中點(diǎn)，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式將的表達(dá)式化簡，根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求出的值，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【詳解】，∵圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，將函數(shù)分類討論，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)和圖象趨勢，作出函數(shù)的簡圖，將函數(shù)分解因式，根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合圖象，確定有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，由圖即得參數(shù)范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若時(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于將函數(shù)按照定義域分類討論，通過求導(dǎo)作出函數(shù)的圖象；第二個(gè)關(guān)鍵是，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決.第Ⅱ卷（非選擇題）二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡計(jì)算求得復(fù)數(shù)，即得其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).詳解】因，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.11.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】【分析】依題意，寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，由求得值代入即得.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，由可得，即得二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：12.若直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是___________.【答案】.【解析】【分析】結(jié)合已知條件分別求出A、B的坐標(biāo)，然后分別求出圓心和半徑即可求解.【詳解】不妨設(shè)直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為A，B，令，得，即；再令，得，即，從而線段AB的中點(diǎn)為，且為所求圓的圓心，又因?yàn)?，所以所求圓的半徑為，從而以線段AB為直徑的圓的方程是.故答案為：.13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的值域______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平移變換的原則求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?故答案為：.14.為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】①.②.##【解析】【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由條件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及對應(yīng)概率得出期望.【詳解】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則故答案為：；15.已知中，點(diǎn)分別是的重心和外心，且，則邊的長為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)重心和外心性質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化法利用數(shù)量積可得，再由三角形法則計(jì)算可求出的長為.【詳解】延長交于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于要充分利用重心和外心的性質(zhì)，將數(shù)量積通過轉(zhuǎn)化得出三角形邊長之間的關(guān)系，再由即可得出結(jié)果.三?解答題：本大題共5小題，共5分?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化簡已知式，再由余弦值求角即得；（2）由的面積為推出，利用求得，最后利用余弦定理求得邊；（3）由余弦定理求得，繼而求得，再利用差角的余弦公式計(jì)算即得.【小問1詳解】因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；【小問2詳解】因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；【小問3詳解】由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π，故,所以17.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，得出與平面的法向量垂直，又因?yàn)槠矫妫勺C平面（2）求出平面的法向量，利用向量夾角公式，求出平面與平面的夾角的余弦值.（3）求出的坐標(biāo)與平面的法向量，利用向量點(diǎn)乘求出點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系則.設(shè)平面的法向量為，則取所以所以又因?yàn)槠矫?，所以平面【小?詳解】設(shè)平面的法向量為則取設(shè)平面與平面的夾角為則所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．【答案】（1）（2）或．（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，即可求解；（2）由題意設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，結(jié)合的面積建立方程，計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，進(jìn)而，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．【小問2詳解】易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．【小問3詳解】由（2）可知，因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為．19.已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求值；（2）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由，求解驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切點(diǎn)坐標(biāo)與切線斜率，即可得切線方程；（3）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值求解．【小問1詳解】由，可得，由，解得，此時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，x∈0,+∞時(shí)，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，所以.小問2詳解】由題可得：，在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即【小問3詳解】由恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．20.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【答案】（1）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及其零點(diǎn)，分區(qū)間分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間；（2）方程可化為，結(jié)合（1）確定函數(shù)的性質(zhì)，由條件確定的取值范圍；（3）設(shè)，由（i），由已知，法一：先證明時(shí)結(jié)論成立，構(gòu)造函數(shù)，，并證明，由此可得，結(jié)合的單調(diào)性證明，再結(jié)合基本不等式證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；法二：構(gòu)造函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，hx<0，由此可證，結(jié)合的單調(diào)性證明，再結(jié)合基本不等式證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，x∈0,+∞，則，由，解得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由，得，設(shè)，由（1）得在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，gx>0，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，故的取值范圍是0,1．