高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17空間幾何體含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17空間幾何體[考情分析]高考?？贾R，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大．【練前疑難講解】一、空間幾何體的截面問題1．用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．2．確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個基本事實及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．二、表面積與體積1．柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：(1)圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；(2)圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；(3)圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；(4)球的表面積S＝4πR2.2．柱體、錐體和球的體積公式：(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V球＝eq\f(4,3)πR3.三、多面體與球多面體的外接球模型：(1)長方體的外接球直徑為體對角線，則R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)；正方體的外接球半徑為R＝eq\f(\r(3)a,2)；正方體的內(nèi)切球半徑為r＝eq\f(a,2).(2)柱體模型如圖①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，設(shè)外接球半徑為R，球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，則R＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A為△ABC外接圓半徑．(3)錐體模型如圖②，在正三棱錐P－ABC中，先求出高線長h＝PO1＝eq\r(PA2－r2)，在Rt△OO1A中，R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R為外接球半徑，r＝O1A為△ABC外接圓半徑，O1為△ABC的外接圓圓心．(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對棱相等的三棱錐(構(gòu)造長方體)如圖③：正四面體D－A′BC′可構(gòu)造正方體(所有面對角線相等)；如圖④：對棱相等的三棱錐A－BCD可構(gòu)造長方體(對面的對角線相等)．一、單選題1．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3，高為2.用一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面ABCD的面積為B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為4．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為三、填空題5．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米2．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇南京·二模）在圓臺中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·天津北辰·三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．68．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點為棱的中點，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．9．（2024·河北邢臺·一模）如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．10．（2024·天津濱海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當時并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題11．（2024·山西朔州·一模）已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長為，則（

）A．圓錐的母線長為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為12．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點的曲率為B．在四面體中，點的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，分別為棱，，的中點，為側(cè)面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積14．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．四棱錐的體積為C．兩條異面直線和所成的角為D．二面角的平面角的余弦值為三、填空題15．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為.16．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．17．（2024·全國·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則.18．（2023·上海徐匯·二模）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺的體積之比為，則球與圓臺的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·一模）已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為和，且，則該棱臺的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西九江·二模）已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南常德·三模）如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（

）

A． B．C． D．6．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結(jié)構(gòu)等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武漢·二模）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（取）（

）

A．cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm38．（2024·北京豐臺·一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀的花燈（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2．關(guān)于該半正多面體的四個結(jié)論：①棱長為；②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．11．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2022·山東·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使四點共面B．存在點，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點的球的表面積為14．（2024·山東濟寧·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱BC的中點，是棱上的動點（含端點），則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點，則過A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長為C．若是棱的中點，則四面體的外接球的表面積為D．若CN與平面所成的角為，則15．（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為B．側(cè)面積為C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為D．底面積為三、填空題16．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是，圓錐的表面積與球的表面積的比值是．17．（2024·浙江溫州·一模）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為.18．（22-23高一下·湖北武漢·期末）甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則.

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17空間幾何體[考情分析]高考?？贾R，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大．【練前疑難講解】一、空間幾何體的截面問題1．用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．2．確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個基本事實及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．二、表面積與體積1．柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：(1)圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；(2)圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；(3)圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；(4)球的表面積S＝4πR2.2．柱體、錐體和球的體積公式：(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V球＝eq\f(4,3)πR3.三、多面體與球多面體的外接球模型：(1)長方體的外接球直徑為體對角線，則R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)；正方體的外接球半徑為R＝eq\f(\r(3)a,2)；正方體的內(nèi)切球半徑為r＝eq\f(a,2).(2)柱體模型如圖①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，設(shè)外接球半徑為R，球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，則R＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A為△ABC外接圓半徑．(3)錐體模型如圖②，在正三棱錐P－ABC中，先求出高線長h＝PO1＝eq\r(PA2－r2)，在Rt△OO1A中，R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R為外接球半徑，r＝O1A為△ABC外接圓半徑，O1為△ABC的外接圓圓心．(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對棱相等的三棱錐(構(gòu)造長方體)如圖③：正四面體D－A′BC′可構(gòu)造正方體(所有面對角線相等)；如圖④：對棱相等的三棱錐A－BCD可構(gòu)造長方體(對面的對角線相等)．一、單選題1．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3，高為2.用一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面ABCD的面積為B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為4．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為三、填空題5．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為.參考答案：題號1234答案DBABBD1．D【分析】延長正四棱臺的棱交于一點，由三角形相似，求出，再由棱臺的體積公式求出截面截得棱臺的上部分幾何體的體積，設(shè)截面與上底面的距離為，正方形的邊長為，由三角形相似，得到，結(jié)合即可求出.【詳解】延長正四棱臺的棱交于點，如圖所示，截面平行于底面設(shè)上底面的面積為，下底面的面積為，截面的面積為，正四棱臺的體積為，平行于底面的截面截棱臺，截得的上部分幾何體體積為，則，上底面的中心為，下底面的中心為，連結(jié)，則上底面，下底面，正四棱臺的高為，設(shè)截面與上底面的距離為，正方形的邊長為，，，由得，，由得，，又，所以，同理可得，得，所以，①又因為，②由①②得，，，所以截面與上底面的距離為.故選：D.

2．B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.3．AB【分析】求出圓臺的高可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B，C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓可判斷D.【詳解】對于A，由，可得高，則圓臺軸截面ABCD的面積為，故A正確；對于B，圓臺的側(cè)面積為，又，，所以，故B正確；對于C，圓臺的體積為，故C錯誤；對于D，若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABCD存在內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯誤，故選：AB.4．BD【分析】證明平面，再根據(jù)即可判斷A；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷C；利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.【詳解】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯誤；對于B，在中，，cos=2所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對于C，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯誤；由B選項知，，則，所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，又因為平面，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選：BD.5．【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.6．2【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則無論球心在圓錐內(nèi)還是圓錐外，都有，則，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，.故答案為：2.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米2．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇南京·二模）在圓臺中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·天津北辰·三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．68．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點為棱的中點，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．9．（2024·河北邢臺·一模）如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．10．（2024·天津濱海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當時并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題11．（2024·山西朔州·一模）已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長為，則（

）A．圓錐的母線長為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為12．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點的曲率為B．在四面體中，點的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，分別為棱，，的中點，為側(cè)面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積14．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．四棱錐的體積為C．兩條異面直線和所成的角為D．二面角的平面角的余弦值為三、填空題15．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為.16．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．17．（2024·全國·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則.18．（2023·上海徐匯·二模）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為.參考答案：題號12345678910答案AABCCAABAC題號11121314答案ACDABDBCDABC1．A【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，設(shè)底面圓的半徑為r，則，則圓錐的母線長為（米），故該蒙古包（含底面）的表面積為（平方米），故選：A2．A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

3．B【分析】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，長方體的外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.4．C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計算可得.【詳解】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，解得l=2r=23，可知，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：C.5．C【分析】令外接球的半徑為，作出圖象，求出圓臺的母線，即可求出圓臺的側(cè)面積，再求出球的表面積，即可得解.【詳解】令外接球的半徑為，依題意，，，過點作，則，所以，又，所以，所以圓臺的側(cè)面積，球的表面積，所以圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為.故選：C6．A【分析】在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，結(jié)合正方體的性質(zhì)和求得表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則該球的表面積為．故選：A．7．A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球為所求正四面體的外接球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可求得棱長．【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設(shè)正四面體的棱長為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A8．B【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計算正方體棱長，再根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可.【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對角線，所以，所以.故選：B9．A【分析】先計算水的體積，再計算放入球后水和球的總體積，可得鐵球的體積，利用體積公式可得答案.【詳解】正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A10．C【分析】設(shè)球的半徑為，利用球和圓柱的表面積、體積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面圓半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的表面積，體積，球的表面積，體積，所以圓柱的表面積與球的表面積之比，圓柱體積與球體積之比，故選：C11．ACD【分析】先求出圓錐的母線和底面半徑的長，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】

對于A，設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，則，故，故A正確.對于B，圓錐的高為，則，故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為，故B錯誤.對于C，圓錐的體積為，故C正確.對于D，沿著圓錐母線的中點截圓錐所得小圓錐的體積為，故所得圓臺的體積為，故D正確.故選：ACD.12．ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計算各選項.【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，在四面體中，點的曲率為，A選項正確；在正方體中，，，，在四面體中，點的曲率為，B選項正確；四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，四面體外接球的表面積為，C選項錯誤；四面體的體積，四面體的表面積，四面體內(nèi)切球的半徑，即，D選項正確；故選：ABD.13．BCD【分析】建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應(yīng)三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，P，E，F(xiàn)分別為棱，，BC的中點，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標系如下圖所示，

則,,A項，

，設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當時，，∵，∴直線與面不平行，A錯誤；B項，

設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當時，，∵，∴直線與平面平行，B正確；C項，

，C正確；D項，

如圖，三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，

∴為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識得，∴三棱錐的外接球表面積為，D正確；故選：BCD.14．ABC【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由平面即可求出四棱錐的體積判斷B；由異面直線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D．【詳解】如圖，取的中點，連接，則，而平面，平面，得，平面則平面，所以是直線與平面所成的角為，故A正確；點到平面的距離為的長度為，則，故B正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補角，因為為等邊三角形，所以兩條異面直線和所成的角為，故C正確；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D錯誤．故選：ABC．15．/【分析】依題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱臺的體積公式計算即得.【詳解】如圖，作出正四棱臺的軸截面,設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，則，,故,在中，,則由射影定理，得，解得，于是棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，故該正四棱臺的體積為：.故答案為：.16．【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，則該球的體積為.故答案為：.17．1【分析】設(shè)正的邊長為2，求出圓錐底面圓半徑、高、母線及球的半徑，再利用體積、表面積公式計算即得.【詳解】依題意，設(shè)正的邊長為2，則圓錐的底面圓半徑為1，高為，母線長為2，因此，，球半徑即為正的邊心距，因此，，所以.故答案為：118．/【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以，所以圓錐的高.故圓錐的體積為：.故答案為：.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺的體積之比為，則球與圓臺的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·一模）已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為和，且，則該棱臺的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西九江·二模）已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南常德·三模）如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（

）

A． B．C． D．6．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結(jié)構(gòu)等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武漢·二模）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（取）（

）

A．cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm38．（2024·北京豐臺·一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀的花燈（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2．關(guān)于該半正多面體的四個結(jié)論：①棱長為；②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．11．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2022·山東·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使四點共面B．存在點，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點的球的表面積為14．（2024·山東濟寧·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱BC的中點，是棱上的動點（含端點），則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點，則過A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長為C．若是棱的中點，則四面體的外接球的表面積為D．若CN與平面所成的角為，則15．（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為B．側(cè)面積為C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為D．底面積為三、填空題16．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是，圓錐的表面積與球的表面積的比值是．17．（2024·浙江溫州·一模）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為.18．（22-23高一下·湖北武漢·期末）甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則.參考答案：題號12345678910答案DBBCBDBBCB題號1112131415答案ACABCADABD1．D【分析】由球與圓臺的體積之比為，得到圓臺的上、下底面半徑分別為，球的半徑之間的關(guān)系，代入表面積公式化簡，即可得到答案.【詳解】

由題意，作出圓臺的軸截面，設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，球的半徑，則，過A作于點，由，得，化簡得，由球的體積公式，圓臺的體積公式，已知球與圓臺的體積之比為，則，化簡得，則，得，又球的表面積，圓臺的表面積，所以，故選：D.2．B【分析】根據(jù)正棱臺的幾何特點，結(jié)合已知條件，求得棱臺的高，再求棱臺體積即可.【詳解】對正四棱臺，連接，取中點分別為，連接，如下所示：因為為正四棱臺，則四邊形均為正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四邊形為平行四邊形，則//，且，因為，則，又，且，由，即，解得；由面，面，則；則，又正方形的面積為，正方形的面積為，故正四棱臺的體積.故選：B.3．B【分析】求出圓錐內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，求出，再換元利用基本不等式求出函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，軸截面如下圖示，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，所以，所以.（當且僅當時等號成立）所以該圓錐的表面積的最小值為.故選：B

4．C【分析】利用圓臺表面積得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計算體積.【詳解】設(shè)圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為和，

則圓臺側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺表面積為，得，所以圓臺高，設(shè)球半徑為，圓臺軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點，設(shè)，由，則球心在圓臺外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.5．B【分析】利用等體積法求出點到平面的距離，說明所以所求球形體積最大時即為棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，再根據(jù)求得體積公式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)點到平面的距離為，而，由，得，解得，棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為，棱長為6的正方體體對角線的長度為，因為，所以所求球形體積最大時即為棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，則該球形飾品的體積的最大值為.故選：B.6．D【分析】根據(jù)正八面體的幾何特點求得該幾何體的球心，再由球的體積計算公式求得球半徑，結(jié)合球半徑和棱的關(guān)系，以及三角形面積計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接，設(shè)，根據(jù)其對稱性可知，過點，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設(shè)其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.7．B【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為cm，則cm，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，即，可得，則，.故選：B.8．B【分析】注意到棱長總是一個等腰直角三角形的斜邊，即可通過直角邊的長度判斷①正確；可以找到一對位于正方形相對的面上的兩條垂直且異面的棱，得到②錯誤；根據(jù)該幾何體每種面（正三角形和正方形）各自的數(shù)量和面積，可以計算出該幾何體的表面積，從而判斷出③正確；直接證明正方形的中心到該幾何體每個頂點的距離都相等，并計算出距離，即可求出外接球的體積，得到④錯誤.這就得到全部正確的結(jié)論是①③，從而選B.【詳解】如圖所示：該幾何體的每條棱都是的一個等腰直角三角形的斜邊，且該等腰直角三角形的直角邊長度為正方體邊長的一半，故該等腰直角三角形的直角邊長度為1，從而該幾何體的每條棱的長度都是，①正確；若為該幾何體位于正方體的一組相對的面上的兩個平行的棱，為該幾何體位于正方體的同一個面的兩條棱，則，平行于，異面，所以異面，，這意味著存在一對異面的棱所成角是直角，②錯誤；該幾何體一共有14個面，其中6個是正方形，8個是正三角形，邊長均為，故每個正方形的面積都是，每個正三角形的面積都是，故表面積為，③正確；設(shè)正方體的中心為，由于對該幾何體的任意一個頂點都是正方體的某條邊的中點，故到該幾何體的任意一個頂點的距離都是正方體邊長的倍，即.這意味著以為球心，半徑為的球是該幾何體的外接球，從而外接球的體積，④錯誤.從而全部正確的結(jié)論是①③.故選：B.9．C【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺的高,進而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點處，設(shè)中點為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C10．B【分析】設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正、余弦定理求得，再設(shè)外接球的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，利用求得表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，在中，，且，由余弦定理得，設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正弦定理得，即再設(shè)直三棱柱外接球的球心為，外接球的半徑為，在直角中，可得，所以球的表面積為.故選：B.

11．A【分析】求出棱錐的高，進而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進而得到表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點為，則⊥平面，因為四棱錐的底面是邊長為2的正方形，所以，因為，由勾股定理得，故棱錐的體積為，棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，

則由等體積法可得，解得，所以．故選：A12．C【分析】根據(jù)題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計算得到半徑，進一步計算即可.【詳解】過三角形的中心作平面的垂線，過三角形的中心作平面的垂線，兩垂線交于點，連接，依據(jù)題中條件可知，為四面體