理論力學(xué)課件 第三章 分析力學(xué)4

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024第三章分析力學(xué)哈密頓量：時間對稱性與能量守恒3.5動力方程：基于哈密頓的力學(xué)體系3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化3.7洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢3.833.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化力學(xué)問題解決方案物體運動變化歐拉-拉格朗日方程哈密頓方程牛頓方程三維空間廣義坐標(biāo)相空間哈密頓方程3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化

物理量對時間的全導(dǎo)數(shù)物理量的變化時間的影響空間的影響把系統(tǒng)的空間變化與某些具體的操作給聯(lián)系起來3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化空間變化對物理量的影響，就是物理量在相應(yīng)的無限小操作下的變分，。這個變分的具體值當(dāng)然應(yīng)該與物體受承受的具體操作相關(guān)。操作的英文單詞是Operate，用大寫的O來表示這個操作。

3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化做個小結(jié)

利用哈密頓方程，將坐標(biāo)和動量的時間導(dǎo)數(shù)，替換成哈密頓對坐標(biāo)和動量的偏導(dǎo)數(shù)。3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化它表示單位時間內(nèi)，物理量Q的變化與坐標(biāo)和動量的關(guān)系。泊松式子太長、太麻煩！

即3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化系統(tǒng)的時間演化行為是由能量決定的。在泊松括號中，括號的左邊是研究的對象，括號的右邊是對象變化的原因，也就是系統(tǒng)的哈密頓H。對象的時間變化率={對象，對象變化的原因}

同理3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化

空間變化率

3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化

時間的流逝，可以看作是通過時間平移操作實現(xiàn)的，對應(yīng)這個時間平移操作的就是系統(tǒng)的哈密頓：

3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化

3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化考察無限小操作對能量的影響，就是哈密頓和它的泊松括號：

3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化泊松括號還有一個巨大的優(yōu)勢，就是它可以被公理化，可以通過簡單幾條規(guī)則和少量規(guī)定，來完成任何復(fù)雜函數(shù)之間的泊松括號計算：最基本單元是坐標(biāo)和動量之間的泊松括號:3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化用簡單的泊松括號，統(tǒng)一處理了任意復(fù)雜物理量的時空變化研究對象是什么造成它的原因是什么用大括號把他們括起來按泊松括號的規(guī)則去計算總結(jié)33.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢有了泊松括號和哈密頓，原則上就能搞定任何物理量的時間演化問題

常見的基本力，比如萬有引力、庫侖力都是保守力磁場對應(yīng)的洛倫茲力，它是一個與速度有關(guān)的力，方向還始終與運動方向垂直，洛倫茲力不是保守力。怎么寫出非保守力的哈密頓呢？3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢

3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢通過梯度運算，可以由標(biāo)量場定義出一個矢量場：

勢場的負(fù)梯度就是力場：

注意:能寫成梯度的矢量場都有一個特殊性質(zhì)：

矢量叉乘的定義:3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢?與矢量場的點乘是散度，它描述的是粒子們在空間區(qū)域的擴(kuò)散和凝聚行為徑向切向一個矢量場的散度為0，那么這個矢量場一定是某個其它矢量場的旋度。磁場的散度為0那磁場一定是某個矢量場A的旋度3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢類似的可以把與磁場對應(yīng)的矢量場A叫做磁勢。數(shù)學(xué)上證明，如果一個矢量場的散度為0，那么這個矢量場一定是某個其它矢量場的旋度電場、電勢與Del之間有梯度關(guān)系：通常規(guī)定地球的電勢為0。只有做這樣一個規(guī)范后，電勢的絕對值才有明確的物理意義。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢磁勢加上一個任意標(biāo)量場的梯度，磁場的計算結(jié)果不會發(fā)生改變：我們把物理量或運動方程，在不同規(guī)范下，保持不變的性質(zhì)叫做規(guī)范不變性。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢哈密頓最初的定義：求哈密頓求拉格朗日量求系統(tǒng)的能量L是坐標(biāo)、速度和時間的函數(shù)。決定物體運動的歐拉拉格朗日方程：

代入歐拉拉格朗日方程保守力作用的下的牛頓第二定律3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢已知洛倫茲力與磁場和速度的關(guān)系：啟發(fā)：1、拉格朗日量可能跟速度和磁場有關(guān)。2、拉格朗日量中與電場相關(guān)的部分是電勢，與磁場有關(guān)的勢，可能就是磁勢。拉格朗日量是標(biāo)量，速度和磁勢都是矢量，即把兩個矢量變成標(biāo)量：3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢

根據(jù)定義，梯度項的作用量是這樣的:dt約掉磁勢的規(guī)范并不會影響哈密頓原理對路徑的選擇。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢包含洛倫茲力的拉格朗日量:動量:帶入拉格朗日量:動量變化率:3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢直接對動量求導(dǎo)數(shù)，得到與力相關(guān)的動量變化率