高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其表示訓(xùn)練 理 新人教A版

【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)及其表示訓(xùn)練理新人

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第一節(jié)函數(shù)及其表示

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射1.考查方式多為選擇題或填空題.

的概念.2.函數(shù)的表示方法是高考的常考內(nèi)容，特別是圖象法與

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需解析式更是高考的常客，如年新課標(biāo)全國口0等.

要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列3.分段函數(shù)是高考的重點也是熱點，常以求解函數(shù)值，

表法、解析法）表示函數(shù).由函數(shù)值求自變量以及與不等式相關(guān)的問題為主，如年

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單江西T3等.

應(yīng)用.

留股材浙娓延閻知閘百斑淀羽團I置新版礎(chǔ)

［歸納-知識整合］

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合A,BA,3是兩個非空數(shù)集A,8是兩個非空集合

按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系￡對于集合按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,對于集合

對應(yīng)關(guān)系

力中的任意一個數(shù)必在集合8中有唯力中的任意一個元素x在集合6中都有

f：Ai

一確定的數(shù)&*）和它對應(yīng)唯一確定的元素y與之對應(yīng)

f：月一〃為從集合力到集合/，的一個函對應(yīng)為從集合A到集合"的一

名稱

數(shù)個映射

記法y=f(x),x^A對應(yīng)f：力一8是一個映射

［探究］1.函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

提示：二者的區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非交集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的

兩個集合必須是非空數(shù)集，二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射.

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=F(x),*￡月中，x叫做自變量，x的取值范圍力叫做函數(shù)的定義域;與［的值

相對應(yīng)的尸值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合

8的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

3.相等函數(shù)

如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

［探究］2.若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個函數(shù)？

提示：不一定.如函數(shù)y=x與y=x+l,其定義域與值域完全相同，但不是同一個函數(shù);

再如尸sin*與了=(：05x,其定義域都為R,值域都為［—1,1］,顯然不是同一個函數(shù).因

為定義域和對■應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同，所以定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的

兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).

4.函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法.

5.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這

種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的左集，其值域等于各段函

數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

L自測?牛刀小試」

1.(教材習(xí)題改編)給出下列五個命題，正確的有()

①函數(shù)是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系；

②函數(shù)f\x)="_4+.］—＞；

③f(x)=5,因這個函數(shù)的值不隨x的變化而變化，所以/'(「+1)也等于5：

④y=2x(xWN)的圖象是一條直線；

⑤/V)=1與2(*)=/表示同一個函數(shù).

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［彳-420,

解析：選B由函數(shù)的定義知①正確；②錯誤；由、八得定義域為。，所以不

［1一40,

是函數(shù)；因為函數(shù)人力=5為常數(shù)函數(shù)，所以/'*2+］)=5,故③正確；因為*￡N,所以函

數(shù)y=2x(x￡N)的圖象是一些離散的點，故④錯誤；由于函數(shù)f(x)=l的定義域為R,函數(shù)

/x)=f的定義域為相|學(xué)0),故⑤錯誤.粽上分析，可知正確的個數(shù)是2.

2.(教材習(xí)題改編)以下給出的對應(yīng)是從集合A到2的映射的有()

①集合力=｛網(wǎng)尸是數(shù)軸上的點｝,集合QR,對應(yīng)關(guān)系￡數(shù)軸上的點與它所代表的實

數(shù)對應(yīng).

②集合4=防防是平面直角坐標(biāo)系中的點｝,集合修｛(*,y)|xGR,y￡R｝,對應(yīng)關(guān)系

6平面直角坐標(biāo)系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng)：

③集合力=Wx是三曲形｝,集合8=｛x|x是圓｝,對應(yīng)關(guān)系￡每一個三角形都對應(yīng)它

的內(nèi)切圓；

④集合/1=｛才|才是新華中學(xué)的班級｝,集合4｛x|x是新華中學(xué)的學(xué)生｝,對應(yīng)關(guān)系f：

每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C由于新華中學(xué)的每一個班級里的學(xué)生都不止一個，即一個班級對應(yīng)的學(xué)生

不止一個，所以④不是從集合A到集合8的映射.

Y+1,xWl,

3.(?江西高考)若函數(shù)Ax)=L、則/.(〃】()))=()

1gX,x>\,

A.1g101B.2

C.1D.0

解析:選BA10)=lg10=1,故F(f(10))=/、(l)=l'+l=2.

*+2

4.(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)==，則〃〃4))=_______；若￡3)=2,則&=

AU

解析：VAx)=-,-.A4)=—=-3.

x—64—6

—Q4-91

???/W))=F(-3)=-^—T=T.

-3-69

H+2

Vf(a)=2,即--=2,

a-6

解得a=14.

小心1

答案：014

5.(教材習(xí)題改編)/1=｛x|x是銳角｝,8=(0,1),從/I到8的映射是“求余弦”，與力

中元素60°相對應(yīng)的〃中的元素是；與《中元素半相對應(yīng)的/中的元素是.

解析：?.?cos60°=〈，???與/中元素60°相對應(yīng)的8中的元素是

又〈cos30。=乎，.??與8中元素噂相對應(yīng)的力中的元素是30°.

乙乙

答案：|30°

乙

函數(shù)與映射的概念

［例1］有以下判斷：

1x11，X)。

(DfU)=—與g(x)=,小表示同一個函數(shù).

(2)函數(shù)尸/,(%)的圖象與直線％=1的交點最多有1個.

(3)Mx)=f—2x+l與g{t}=e-2t^r［是同一困數(shù).

(4)若〃才)=|才一1|一|川，貝lJ/(O=0.

其中正確判斷的序號是.

［自主解答］對于(1),函數(shù)人*)=一日的定義域為{x|x￡R且xWO},而函數(shù)#x)=

X

140,

〃的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2),若x=l不是y=f(x)定

—1K0

義域內(nèi)的值，則直線x=l與尸f(x)的圖象沒有交點，若x=l是y=f(x)定義域內(nèi)的值，由

函數(shù)的定義可知，直線x=l與y=f(x)的圖象只有一個交點，即y=F(x)的圖象與直線x=l

最多有一個交點；對于(3),r(x)與以。的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以/’(*)與以。

表示同一函數(shù)；對于(4),由于G)THY"

所以《/(3)=f(0)=L

綜上可知，正確的判斷是(2)(3).

［答案］⑵⑶

------------［方法?視律］------------------------------------

1.判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法

要檢驗兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，只需檢驗：(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)

根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每?個值，是否都能找到唯?的函數(shù)值y與

之對應(yīng).

2.判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法

判斷兩個函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域一致，再看對應(yīng)法則是否一

致，由此即可判斷.

H磔式訓(xùn)練

1.(1)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？

1,El,

①f：y=-；工：y=1.?f\zy=*2,KK2,

X

.3,眾2；

XxWl\<x<2*22

y123

③力：y=2x；玄：如圖所示.

解：①不同函數(shù).乙⑺的定義域為{x￡R|xKO},￡5)的定義域為

R.

②同一函數(shù).x與y的對應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同一函數(shù)的不同表示方

式.

③同一函數(shù).理由同②.

(2)已知映射人力一笈其中4=后R,對應(yīng)關(guān)系￡Ly=-y+2x,對于實數(shù)在

集合力中不存在元素與之對應(yīng)，則〃的取值范圍是()

A.k>lB.A21

C.KII).kWl

解析?：選A由題意知，方程-f+2x=A無實數(shù)根，即2*+4=0無實數(shù)根.

所以4=4(1—Q<0,解得時滿足題意.

求函數(shù)的解析式

［例2］(1)已知/'(x+1)=f+4x+l,求/Xx)的解析式.

⑵已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)—F(x)=2x+9.求Ax).

［自主解答］⑴法一：(換元法)設(shè)*+1=￡,則X=，一1,

.\r(f)=(t-l)2+4(f-l)+l,

即即力=1+2￡—2.

，所求函數(shù)為/X*)=￥+2*—2.

法二：(配湊法):入4+1)=f+4x+l=(x+l)"+

2(x+1)—2,

，所求函數(shù)為fix)=x+2x—2.

(2)(待定系數(shù)法)由題意,設(shè)函數(shù)為/'(x)=fX+6(a￥0),

V3/(^4-l)-f{x)=2^+9,

.?.3a(x+1)+36—ax—b=2x+9,

即2av+3a+2b=2x+9.

2a=2,

由恒等式性質(zhì)，得〉

3*+2。=9,

解得a=l，。=3.

???所求函數(shù)解析式為f(x)=x+3.

若將本例(1)中'"(彳+1)=/+4>+1”改為“《+l)=lgx"，如何求解？

解：^1+1=心Vx)0,

2

:.f>l且x=~~

t~1

99

:.f(t)=1g-—BPf\x)=1g^27j-(x>l).

------------［方法?稅件］------------------------------------

求函數(shù)解析式的常用方法

(1)配湊法：由已知條件Ag(x))=尸J),可將Xx)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以X

替代g(x)，便得f(x)的表達式；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)八g(?)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；

(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與或/'(一.0的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另

外一個等式組成方程組，通過解方程求出f(x).

H啜式訓(xùn)練

2.給出下列兩個條件:

⑴f3+l)=x+2\G；

(2)，(力為二次函數(shù)且r(0)=3,r(*+2)—f(*)=4*+2.

試分別求出/?(?的解析式.

解：(1)令t=W+1,

,X=(f—I)2.

則Az)=(^-l)2+2(z-1)=?-1,

f(x)=x—1(x21).

(2)設(shè)f(x)=af+bx+。，又V/(O)=c=3.

:.fix)=aV+bx-\-3.

/(^+2)—f[x)=a(x+2)'+6(x+2)+3—(?^2+/；%+3)=4ax+4a+26=4x+2.

4/1=4,a=l,

解得:.f(x)=f—什3.

4a+2b=2,b=-l.

分段函數(shù)求值

??-1

—x*24

［例3］已知函數(shù)'1'則/(2+10@3)的值為()

_f*+1,x<4,

卜二B，

2412

C.7D.J

b3

［解析］V2+log23<4,/.f(2+log23)=/(3+log23).

lo83

V3+log>3>4,/./1(2+log23)=F(3+log?3)='2=|X=|X|=^.

［答案］A

----------［方法?規(guī)律］------------------------------

解決分段函數(shù)求值問題的方法

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時.，應(yīng)根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解，有時每

段交替使用求值.

(2)若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍.應(yīng)根據(jù)每一段的解析

式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，做到分段函

數(shù)分段解決.

式訓(xùn)練

2'+1,XI,

3.已知函數(shù)八/)二若f"(0))=4&則實數(shù)a等于()

f+ax,x21,

C.2D.9

解析：選CVK.l,f(x)=2*+l,???f(0)=2.

由F(F(O))=4a,得F(2)=4a,V1,f(x)=f+ax,

.,.4a=4+2a,解得a=2.

［通法——歸納領(lǐng)悟］

4種方法一一函數(shù)解析式的求法

求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)解方程組法.具

體內(nèi)容見例2［方法?規(guī)律］.

2兩個易誤點一一映射的概念及分段函數(shù)求值問題中的易誤點

(1)判斷對應(yīng)是否為映射，即看力中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”.但要注

意：①力中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；②3中元素可無原象,

即“中元素可有剩余.

(2)求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題

在求分段函數(shù)的值〃照)時，一定要首先判斷照屬于定義域的哪個子集，然后再代入相

應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上對應(yīng)的各關(guān)系式的值域的并集.

巧俏!假汨陶哂阻礙

數(shù)學(xué)思想一一分類討論思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜用統(tǒng)一的方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象的差異，按照一定的分類

方法或標(biāo)準(zhǔn)，將問題分為“全而不重，廣而不漏”的若干類，然后逐類分別討論，再把結(jié)論

匯總，得出問題答案的思想，這就是主要考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，由于分段函數(shù)在不同

定義區(qū)間上具有不同的解析式，在處理分段函數(shù)問題時應(yīng)對不同的區(qū)間進行分類求解，然后

整合，這恰好是分類討論的一種體現(xiàn).

2*+口，x<.1,

［典例］(?江蘇高考)已知實數(shù)aWO,函數(shù)八%)=、若八1一4=

一x—2a,收1,

f(l+a),則a的值為.

［解析］①當(dāng)1—aVl,即a>0時，此時a+l>l,由F(l—a)=F(1+a),得2(1—a)

+a=—(1+a)—2a,計算得a=—］(舍去)；②當(dāng)1-a>l,即aVO時，此時a+lVl,由

3

f(l—a)=f(l+a),得2C+a)+a=—(1—a)—2a,計算得&=一7，符合題意，所以線上所

3

述,

3

［答案］4

［題后悟道］

1.在解決本題時，由于a的取值不同限制了1-3及1+a的取值，從而應(yīng)對a進行分類

討論.

2.運用分類討論的思想解題的基本步驟

(1)確定討論對象和確定研究的區(qū)域：

(2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重不漏，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級)；

(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；

(4)歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論.

［變式訓(xùn)練］

flogs%,x>0.

若〉一力，則實數(shù)的取值范圍是

1.設(shè)函數(shù)Ax)=|lcg|_才,KO,FQ)f(a

()

A.(-1,0)U(0,1)B.(—8,—1)U(1,4-00)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(一8,-1)U(0,1)

解析：選C①當(dāng)a>0時，CF(a)>F(—a),

Iogz?>1nga=1ng—.

2—2a

2

得a>l.

a

②當(dāng)水0時，??"(a))r(-a),

Alog1(—a)>log2(—a)=log]——.

——3

22

，一水」一得一1<叢0,故C項為正確選項.

a

2r,-°°,1

2.設(shè)函數(shù)f(x)=12若f(x)>4,則x的取值范圍是

x,xG[l,4-QO,

解析：當(dāng)XI時，由f\x)>4得2r>4,即X-2；

當(dāng)>21時，由f(x)>4得">4,所以*>2或內(nèi)一2,但由于*21,所以x>2.

綜上，x的取值范圍是求-2或x>2.

答案：(-8,—2)U(2,+°°)

嫌?E建團首0知丟?練天題就處雨期1陷闞

ZHINCNGJIANCE

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

1.下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是()

A.y=p與y=p

B.y=ln/與y=e,nx

x—1x+3

C.y=---------j---------與尸>+3

D.產(chǎn)=9與y=\

X

解析：選D尸斗，=x,y=y/~?=|x\,故尸與不表示相等函數(shù)；B、C選

項中的兩函數(shù)定義域不同；D選項中的兩函數(shù)是同一個函數(shù).

(1

2.設(shè)力={0,1,2,4},0,1,2,6,8,則下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成4到8的映射的

是()

A.f：x-^x~1B.f：x-*5—1)2

C.f：XT-I),f：xTx

解析：選C對于A,由于集合力中x=0時，父一1=—1至員即力中元素0在集合8中

沒有元素與之時應(yīng)，所以選項力不符合；同理可知B、D兩選項均不能構(gòu)成1到8的映射，C

符合.

2廠2,介0,

3.已知函數(shù)f(x)=?/八則/V(T0))=()

lg—x,KO,

A-2

C.1D.—7

4

解析：選A依撅意可知F(—10)=lg10=1,

/(1)=2'-2=1.

4.(?杭州模擬)設(shè)函數(shù)以才)=[匕*°若八4+/、(-1)=2,則a=()

[yj—x,XO,

A.-3B.±3

C.-1I).±1

解析：選DV/(a)+/(-l)=2,且匹-1)=1=1,

r{ci)—1,當(dāng)a20時，f[a)—y[a=1,/.a=1；

當(dāng)尿0時，f(a)=yj—a=1,/.a=—1.

5.已知函數(shù)F(x)滿足f(x)+2F(3-x)=V,則/V)的解析式為()

A.A^)=x-12%+13B.F(x)=；f—4x+6

C.F(x)=6x+9D.f(x)=2x+3

解析：選B由F(x)+2F(3—x)=f可得f(3—x)+2f(x)=(3—x):由以上兩式解得

f(x)=。—4>+6.

J

6.(?泰安模擬)具有性質(zhì)：《1=一/(才)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”交換的函數(shù)，

下列函數(shù)：

”,(XK1,

①/Xx)=x—I：②，(x)=x+=③f(x)=4°'"=1滿足“倒負”變換的函數(shù)

XX1

—,X>1.

1X

是()

A.??B.①③

C.??1).只有①

解析：選B①1(；)=：—：

=—f(x)滿足.

②彳:卜^+尸人工/滿食1

③0〈水1時，d=-x=-

-f(X)，

x=l時，gj=O=-f(x)

9

x〉1時，(號=：=一'(X)”

為足.

二、填空題

7.已知則函數(shù)f(3)=_______.

解析：???《*-：)=/+?=(TH，

AA^)=x+2.AA3)=32+2=11.

答案：11

r2r3f2012

8.若f(a+Z?)=f(a)?f(b)且Al)=1,則尸〒

T~2f2011

f萬+1

解析：令6=1,—:------=/(I)=1?

Ia

.f2,f3,,f2012

~+12T2011-=2OIL

答案：2011

x+1,*20,

9.已知函數(shù)/?(%)="則滿足不等式/U-￥)>r(2A)的的取值范圍是

11,KO,

N+l,x20,

解析：畫出f(x)=/八的圖象,

[1,K0

如圖.

由圖象可知，若/'(I-y)>r(2?,

1—z>o,

則

1-*>2x,

-KKl,

即

1—1—y[2<x<—1

得xG(―1,^2—1).

答案；(一1,^2-1)

三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)

X—1,x>0,

10.已知/'(x)=x~-1,g{x)=]

2—x,A<0.

⑴求F(g(2))和g(F⑵)的值;

⑵求f(g(x))和以力力)的解析式.

解：(1)由已知，g⑵=1,f(2)=3,

因此f(g(2))=f(l)=0,

g(f(2))=g(3)=2.

⑵當(dāng)%>0時-，g(x)=x-l,

故f(g(x))=(X—1>一1=/一2x；

當(dāng)水0時，g(x)=2—x,

故/,(以x))=(2—x)2—l=f—4X+3.

x~2x,x>0,

所以/'(g(x))=

4葉3,KO.

當(dāng)x>l或水一1時，i{x}>0,

故鼠f(x))=f(x)—l=f—2；

當(dāng)一1<X<1時，f{x)<0,

故(>))=2—/(x)=3—/

V-2,或—1,

所以g(f(x))=

3—x,—KAKI.

11.二次函數(shù)/Xx)滿足F(x+D—f(x)=2x,且f(0)=l.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式/(x)>2x+5.

解：(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=af+6x+c(aW0).

VAO)=1,???c=l.

把八>)的表達式代入r(『H)-F(x)=2x,有

a(x+l)'+b(x+l)+1—(af+bx+1)=2x.

.??2ax+a+6=2x

:.a=1,b=-1.

f(x)=V—x+1.

(2)由x—x+l〉2x+5,即x—3x—4>0?

解得x>4或x<—1.

故原不等式解集為J|x>4或水一1}.

12.規(guī)定為不超過￡的最大整數(shù)，例如[12.6]=12,[—3.5]=-4,對任意實數(shù)x,

令￡(力=[4",令力=好一[4』,進一步令[(*)=￡[以力].

7

(1)若x=77，分別求￡(x)和￡(x)；

lb

(2)若￡(x)=l,工(力=3同時滿足，求x的取值范圍.

77

解：(1)，?”=/時，4X=Q

lb4

(2)=[4x]=l,g(x)=4x—1,

?<(%)=6(4*—1)==3.

JK4K2,7i

**l3<16^-4<4,-16忘底]

■___________

I教師備選題'_供徽彈備課造用

1.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了

一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到達終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達

了終點…，用$,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，，為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合

的是()

解析：選B根據(jù)故事的描述，烏龜是先于兔子到達終點，到達終點的最后時刻烏龜?shù)?/p>

路程大于兔子的路程，并且兔子中間有一段路程為零，分析知8圖象與事實相吻合.

2.下列對應(yīng)關(guān)系是集合夕上的函數(shù)的是.

(1)P=Z，戶1,對應(yīng)關(guān)系￡對集合〃中的元素取絕對值與集合。中的元素相對應(yīng)；

-2,2},0={1,4},對應(yīng)關(guān)系：f：x-y=x,x《P,y￡Q；

(3)P=(三角形},0={x|x>O},對應(yīng)關(guān)系工對尸中三角形求面積與集合0中元素對應(yīng).

解析：對于(1),集合戶中元素0在集合。中沒有對應(yīng)元素，故(1)不是函數(shù)；對于(3)

集合產(chǎn)不是數(shù)集，故⑶不是函數(shù)；(2)正確.

答案：(2)

3.試判斷以卜各組函數(shù)是否表示同一國數(shù)：

(1)y=y[x—2?5+2,：

(2)y=x,y=^/7；

⑶y=3,y=3)：

解：???尸石三?^^的定義域為3眾2},

y-4的定義域為{*1*22或xW-2},

???它們不是同一函數(shù).

(2)???它們的定義域相同,且尸牛？=，,

.??/=才與是同一函數(shù).

(3),?)=|x|的定義域為R,y=(5)2的定義域為{削入20},

???它們不是同一函數(shù).

"+2,xW—1,

r,/、2x,—KX2,r,、zJ一

4.已知f(x)=j2且f(a)=3,求a的值.

管在2,

解：①當(dāng)a〈一l時，f(a)=a+2,

由a+2=3,得a=l,與a<一1相矛盾，應(yīng)舍去.

②當(dāng)一1<展2時，f(a)=2a,

由2a=3,得a=*滿足一1〈叢2.

③當(dāng)心2時，f［a}=■，

乙

2

由5=3，得&=±m(xù)，

又心2,故a=#.

綜上可知…的值為1或褥

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.函數(shù)的定義域經(jīng)常作為基本條件或工具出現(xiàn)在高考試題的客觀題

會求簡單函數(shù)的定中，且多與集合問題相交匯，考查與對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、根式函

義域和值域.

數(shù)有關(guān)的定義域問題.如年江西T2,江蘇T5等.

2.函數(shù)的值域或最值問題很少單獨考查，通常與不等式恒成立等問

題相結(jié)合作為函數(shù)綜合問題中的某一問出現(xiàn)在試卷中.

:識:的戒材i抓師魂陶知也■印半淀;打俘謫國基湎

:HUGANZXI，X?

［歸納-知識整合］

1.常見基本初等函數(shù)的定義域

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)一次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)y=a"(a>0且aKl),y=sinx,y=cosx,定義域均為R.

(5)y=log.,x(<?>0且aWl)的定義域為(0,+8).

(6)y=tanx的定義域為根方4“十9，Aez<.

(7)實際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實際問題對函數(shù)

自變量的制約.

2.基本初等函數(shù)的值域

(1)曠="+。(女"0)的值域是R.

(2)y=af+bx+cg"。)的值域是：

當(dāng)a>0時，值域為"卜口布?

當(dāng)叢0時，值域為卜——1.

k

(3)y=-(AW0)的值域是=|_后0}.

X

(4)尸4(a0且aW1)的值域是廿y>0}.

(5)y=log.,x(a>0且aH1)的值域是R.

(G)y=sinx、y=cosx的值域是［―1,1］.

(7)y=tanx的值域是R.

［探究］1.若函數(shù)尸f(x)的定義域和值域相同，則稱函數(shù)y=F(x)是圓滿函數(shù)，財函數(shù)

①/二'②y=2x；③/二G；④中是圓滿函數(shù)的有哪幾個？

X

提示：①的定義域和值域都是(-8,o)U(0,+8),故函數(shù)y='是圓滿函數(shù)：②

XA*

j=2x的定義域和值域都是R,故函數(shù)v=2x是圓滿函數(shù)：③尸6的定義域和倩域都是「0,

+8),故了=5是圓滿函數(shù)；④的定義域為R,值域為[0,4-00),故函數(shù)y=v不是

圓滿函數(shù).

2.分段函數(shù)的定義域、值域與各段上的定義域、值域之間有什么關(guān)系？

提示：分段函數(shù)的定義域、值域為各段上的定義域、值域的并集.

[自測?牛刀小試]

1.(教材習(xí)題改編)函數(shù)/?(?="耳的定義域為()

X—1

A.[—8,4]B.[4,+?>)

C.(-8,4)1).(一8,Du(1,4]

\l4-x(4—X20,fxW4,

解析：選D要使函數(shù)F(x)=X—「有意義，只需一八即一所以函數(shù)

x—l(j-1^0,[xWl.

的定義域為(一8,1)U(1,4].

2.下表表示y是>的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()

X0<*<55<X1010CX1515CA<20

y2345

A.[2,5]B.N

C.(0,20]D.{2,3,4,5}

解析：選D函數(shù)值只有四個數(shù)2,3,4,5,故值域為⑵3,4,5}.

3.若f("=—/,則f(x)的定義域為()

、log12x十1

A-(~?°)B-°_

c.?,+8)D.(0,+8)

解析?：選A根據(jù)題意得logI(2x+l)>0,

即OV2>+1V1,解得一"1〈水0，即不￡(一：，0)

2

4.(教材改編題)函數(shù)y=fCr)的圖象如圖所示，則函數(shù)尸=八力的定義域為—

值域為________.,..

y6/;

解析：由圖象可知，函數(shù)r=f(x)的定義域為[-6,0]U[3,7),值1/]八

域為[0,+8).4―o37>

I

答案：[-6,0]U[3,7)[0,+8)

5.(教材改編題)若7X—4有怠義,則函數(shù)尸爐一6.丫十7的值域是______.

解析：^有意義,4N0,即>24.

又??)=/—6*+7=(*—3)2—2,

?**Jnin=(4-3)--2=1-2=-1.

???其值域為[-1，+8).

答案：[—1，+°°)

熟;第題:型研鑒版網(wǎng)碉畫匍型■探誠雁宣闞婪闔逋送

假REDIANTIXING

求函數(shù)的定義域

[例1](1)(-山東高考)函數(shù)fix)="二I+亞=7的定義域為()

A.[-2,0)U(0,2]B.(一1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2：

(2)已知函數(shù)〃》一1)的定義域為[0,3]，則函數(shù)尸f(x)的定義域為

x+1>0,x>—1,

即卜HO,

[自主解答](l)x滿足?x+lNl，

.4—f20,.一2—

解得一l<x<0或0〈xW2.

(2)??，0WA<3,

???0WxW9,—1W1W8.

：?函數(shù)y=f[x)的定義域為[-1,8].

[答案](1)B(2)[-1,8]

本例(2)改為本x)的定義域為[0,3],求y=f(f—1：的定義域.

解：???y=f(x)的定義域為[0,3],

解得一2WxW—l或

所以函數(shù)定義域為[-2,-1]U[1,2].

------------[方法?視律]------------------------------------

簡單函數(shù)定義域的類型及求法

⑴已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

(3)對抽象函數(shù):

①若已知函數(shù)f(x)的定義域為,則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式aWg(x)

求出.

②若已知函數(shù)F(g(x))的定義域為［a,b］,則/'(x)的定義域為g(x)在［a,3時的值

域.

II酸式訓(xùn)練

1.(1)(?江蘇高考)函數(shù)f(x)=210g5的定義域為_________.

(2)已知f(x)的定義域是求F(--3x)的定義域.

解析：(D由1—21ogf,x20解得logGxw/=0VxW3，故所求定義域為(0，季〕?

答案：(()，乖］

(2)???/U)的定義域是［-2,4］,

.?.一24/一3片4,由二次函數(shù)的圖象可得，一KW1或29-4.

???定義域為［-1,1］U⑵4］.

求函數(shù)的值域

1

［例2］求下列函數(shù)的值域：

：

(l)y=-XFIT1(2)y=z-(3)y=Xx+-.

qy—1—AAA

［自主解答］(1)法一：(分離常數(shù)法)y=F=yn=l—因為fWO,所以

x-\-11X十1X十1

4

1——?1R1，

X十1

即函數(shù)的值域是域是ER,kM}.

x—3

法二：由得/+/=矛―

y=XFI713.

解得尸=匕，所以產(chǎn)勺，

即函數(shù)值域是域是￡R,-1}.

____I—fI_y2I

(2)法一：(換元法)令71—2x=t,則匕20且*=^-,于是---1=-5(?+1尸

+1,由于《20,所以考,故函數(shù)的值域是，yj.

法二(單調(diào)性法)容易判斷函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿足1—2G0,即AW*

所以即函數(shù)的值域是3..

⑶法一：(基本不等式法)當(dāng)入〉0時，

4/~4

葉一22AxX~=4,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時“=”成立；

44

當(dāng)x<0時、*+；=—(-*—~)W—4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時"=”成立.

即函數(shù)的值域為(-8,-4]U[4,+8).

4x—4

法二：(導(dǎo)數(shù)法)F(力=1一1=-^.

XX

x￡(—8,—2)或x￡(2,+8)時，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)才￡(一2,0)或x￡(0,2)時，f(x)單調(diào)遞減.

故*=一2時，f(*)極人值=〃-2)=—4；

x=2時，f(x)極小值=f(2)=4.

即函數(shù)的值域為(-8,—4]U[4,4-oo).

4

若將本例(3)改為“尸x—二'，如何求解？

解：易知函數(shù)尸十一]在(-8,0)和(0,+8)上都是增函數(shù)，故函數(shù)y=x一[的值域為

-----------[方法?視律]---------------------------------

求函數(shù)值域的基本方法

(1)觀察法：一些簡單函數(shù)，通過觀察法求值域.

(2)配方法：”二次函數(shù)類”用配方法求值域.

(3)換元法：形如尸一”十〃土而不置a,b,c,4均為常數(shù)，且a/0)的函數(shù)常用換元

法求值域，形如曠=切+\2=石？的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域.

「丫+d

4分離常數(shù)法：形如尸一na#0的函數(shù)可用此法求值域.

QX\u

5單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷