高中數(shù)學復習專題04 立體幾何中的由夾角求其它量問題(原卷版)

第三篇立體幾何專題04立體幾何中的由夾角求其他量問題常見考點考點一已知線線角求其他量典例1．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．變式1-1．如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.（1）求證：平面；（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.變式1-2．如圖，在四棱錐中，側面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點.（1）證明：平面；（2）點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.變式1-3．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成夾角的正切值；(3)已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長.考點二已知線面角求其他量典例2．已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體．(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.變式2-1．如圖甲，正方形邊長為12，，，，分別交，于點，，將正方形沿，折疊使得與重合，構成如圖乙所示的三棱柱，點在該三棱柱底邊上．（1）若，證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．變式2-2．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，M是棱BC的中點.（Ⅰ）求證：平面ABC;（Ⅱ）在線段B1C是否存在一點P，使直線BP與平面A1BC所成角的正弦值為?若存在，求出CP的值;若不存在，請說明理由.變式2-3．如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點?分別是?的中點，是線段上的點.（1）求證：平面平面；（2）當時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.考點三已知二面角求其他量典例3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.(1)證明：PO⊥平面ABC．(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.變式3-1．如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，?，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐（如圖2）.(1)當四棱錐的體積最大時，求點B到平面PCD的距離；(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.變式3-2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，于點D，點E在側棱PC上，且．(1)證明：平面ACD；(2)是否存在λ，使二面角的余弦值為？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．變式3-3．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．鞏固練習練習一已知線線角求其他量1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，點是線段中點．（1）求證：平面；（2）求平面和平面的銳二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得與所成的角為？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．2．如圖，在三棱錐中，底面.點D，E，N分別為棱的中點，M是線段的中點，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）已知點H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.3．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，且，，、分別、的中點.（1）證明：；（2）設，點在線段上，且異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.4．等邊的邊長為3，點，分別是，上的點，且滿足.（如圖（1）)，將沿折起到的位置，使面平面，連接，(如圖（2）).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.練習二已知線面角求其他量5．如圖，在正方體中，E為棱上一點.(1)若E為棱的中點，求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.6．如圖，四棱錐中，，，且是邊長為2的等邊三角形.(1)若，求證：；(2)若平面平面ABCD，，直線SC與平面SAB所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.7．在正四棱柱中，，E為的中點.（用向量的方法證明）(1)求證：平面.（用向量的方法證明）(2)若F為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.8．如圖，在五棱錐中，平面平面，是等邊三角形，點、分別為和的中點，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)設是線段上的動點，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.練習三已知二面角求其他量9．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點．(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中點，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．10．如圖，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中點．(1)求證：平面平面PDC；(2)若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．11．如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.(1)設面PAB面PDC=l，證明: