4.3對數(shù)【四大必考點+十一秒殺招+五大題型+分層訓練】高一數(shù)學題型歸類（解析版）

4.3對數(shù)【四大必考點+十一秒殺招+五大題型+分層訓練】知識精講知識精講知識點01對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)兩種特殊的對數(shù)①常用對數(shù)：通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN；②自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN(其中e＝2.71828…)．知識點02對數(shù)與指數(shù)的關系(1)對數(shù)的基本性質①負數(shù)和0沒有對數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對數(shù)為0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(2)兩個重要的對數(shù)恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．在對數(shù)的概念中規(guī)定a>0且a≠1的原因(1)若a<0，則當N為某些值時，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①當N≠0時，x的值不存在．如：log03(可理解為0的多少次冪是3)不存在；②當N＝0時，x可以是任意正實數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個值．(3)若a＝1，①當N≠1時，x的值不存在．如：log13不存在；②當N＝1時，x可以為任意實數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)個值．因此規(guī)定a>0，且a≠1.知識點03對數(shù)運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識點04換底公式(1)對數(shù)的換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).(2)三個較為常用的推論①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不為1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不為1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不為1，m≠0)．(1)推廣：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)對數(shù)運算性質推導的基本方法：利用對數(shù)的定義將對數(shù)問題轉化為指數(shù)問題，再利用冪的運算性質，進行轉化變形，然后把它還原為對數(shù)問題．(3)對數(shù)運算性質的實質就是把積、商、冪的對數(shù)運算分別轉化為對數(shù)的加、減、乘運算，使用時要注意公式的適用條件．(4)只有當式子中所有的對數(shù)都有意義時，對數(shù)的運算性質才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向運用對數(shù)的運算性質，可以將幾個對數(shù)式化為一個對數(shù)式，有利于化簡，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.解題大招解題大招大招01對數(shù)有意義的兩個條件：①底數(shù)大于零且不等于1；②對數(shù)的真數(shù)必須大于零．大招02指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法(1)將指數(shù)式化為對數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當成對數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式；(2)將對數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．大招03指數(shù)式與對數(shù)式的關系求值的基本方法①將對數(shù)式化為指數(shù)式，構建方程轉化為指數(shù)問題．②利用冪的運算性質和指數(shù)的性質計算．③指數(shù)式與對數(shù)式的關系求值基本思想在一定條件下求對數(shù)的值，或求對數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解．大招04利用對數(shù)性質求解的兩類問題的解法(1)求多重對數(shù)式的值的解題方法是由內到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重對數(shù)式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．大招05性質alogaN＝N與logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一個正實數(shù)轉化為以a為底的指數(shù)形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉化為一個實數(shù)．大招06對數(shù)運算基本原則對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行．大招07對數(shù)的運算兩種常用的方法①“收”：將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．大招08利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧大招09利用換底公式求值的思想與注意點大招10應用對數(shù)的運算性質解對數(shù)方程的三種方法(1)定義法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程時，常借助對數(shù)的定義等價轉化為f(x)＝ab求解．(2)轉化法：適用于同底型，即通過對數(shù)的運算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等價轉化為f(x)＝g(x)，且求解．(3)換元法：適用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解問題，這類方程一般可通過設中間變量的方法(換元法)來解．大招11解決對數(shù)應用題的一般步驟題型分類題型分類題型01對數(shù)的概念【例1】對數(shù)loga+35?a中實數(shù)a的取值范圍是（A．?∞,5 B．?3,5 C．?3,?2∪【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】因為對數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實數(shù)，真數(shù)為正實數(shù)，所以有5?a>0a+3>0故選：C【變式1-1】函數(shù)y=a2+a?5logaA．3 B．?3 C．2 D．?2【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得出a2+a?5=1，求解出【詳解】解：a2所以a2a+3a?2所以a=2，故選：C．【變式1-2】若對數(shù)log3a(?2a+1)有意義，則a的取值范圍是【答案】(0,【分析】利用對數(shù)的定義，列出不等式組并求解即得.【詳解】依題意，3a>03a≠1?2a+1>0，解得0<a<1所以a的取值范圍是(0,1故答案為：(0,題型02指數(shù)對數(shù)的互化【例2】已知2m=9n=6A．log618 B．log65【答案】D【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式后，利用對數(shù)的運算性質進行計算即可.【詳解】由2m=9n=6所以2m故選：D.【變式2-1】已知2a=5，log83=b，則A．25 B．5 C．259 D．【答案】C【分析】由對數(shù)式化為指數(shù)式，再由指數(shù)的運算化簡得解.【詳解】由log83=b可得所以4a?3b故選：C【變式2-2】已知log32x=1【答案】12【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算法則計算．【詳解】由log32x=1得所以2x故答案為：12.題型03對數(shù)的求值【例3】設fx定義在R上且fx=log【答案】0【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式一一計算可得.【詳解】因為fx所以f13f10同理可得f13故答案為：0【變式3-1】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=log2x，則fA．?1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質及所給函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=log所以f?2故選：A【變式3-2】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fx=log2【答案】2【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結合周期性，代入求值.【詳解】因為fx=fx?5，x>0所以f2023故答案為：2題型04對數(shù)的運算【例4】求值：(1)0.027?(2)lg25+【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質計算可得.【詳解】（1）0.027=0.3（2）lg==2lg【變式4-1】計算下列各式的值：(1)481(2)27(3)log【答案】(1)8(2)4(3)7【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪以及根式運算性質求出結果；（2）利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質求出結果；（3）利用對數(shù)的運算性質求解出結果.【詳解】（1）原式=3（2）原式=3（3）原式=log22【變式4-2】計算下列各式的值.(1)27(2)log2【答案】(1)22(2)7【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算法則計算即可得解；（2）利用對數(shù)的運算法則計算即可得解.【詳解】（1）2===5（2）log=log=4+log題型05換底公式【例5】計算下列各式的值：(1)log4(2)lg5【答案】(1)?3(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，利用對數(shù)的運算法則和對數(shù)的換底公式，準確計算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用對數(shù)的運算法則和性質，準確計算，即可求解.【詳解】（1）解：由對數(shù)的運算法則和對數(shù)的換底公式，可得：log=(=(=(1（2）解：由對數(shù)的運算法則，可得lg==3【變式5-1】（1）求值：lg5+（2）設log0.63=m，log63=n，用m，【答案】（1）7；（2）m+mnm?n【分析】（1）由對數(shù)的運算性質化簡求解即可；（2）利用對數(shù)的換底公式進行化簡求解即可.【詳解】（1）原式=lg5+=1+1+5=7.（2）lg18=因為log0.63=m，所以log6所以nlog6610=m故lg18=【變式5-2】計算：log4【答案】5【分析】運用換底公式換底，后結合對數(shù)運算性質可解.【詳解】原式===5分層分層訓練【基礎過關】1．已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡，，結合指數(shù)函數(shù)的單調性比較，進而比較大小即可.【詳解】因為，，所以.故選：B.2．對數(shù)中實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】因為對數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實數(shù)，真數(shù)為正實數(shù)，所以有，故選：C3．化簡等于（

）A．14 B．0 C．1 D．6【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算結合對數(shù)的定義運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.4．已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，當時，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)周期性把轉化成計算即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，對任意都有，所以，故選：C.5．已知，，，且，則（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【分析】將對數(shù)式轉化為指數(shù)式，結合指數(shù)運算，求解即可.【詳解】，故可得，又，則.故選：D.6．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)及運算性質可得，，再由基本不等式即可求解.【詳解】，所以，且，所以，即，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為.故選：.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，把和用表示出來，根據(jù)等量關系求出的值，而，可得結果.【詳解】設，則有，，，可得，即，解得，所以.故選：D.8．若，則的值是（

）A．零 B．正數(shù) C．負數(shù) D．以上皆有可能【答案】A【分析】，則，代入已知利用指數(shù)、對數(shù)運算化簡求解即可.【詳解】令，則，由得，所以.故選：A.9．若定義在上的偶函數(shù)在上單調遞增，則的大小關系為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用偶函數(shù)性質以及函數(shù)在上單調遞增即可判斷得出結論.【詳解】易知，顯然，又因為在上單調遞增，所以可得；由偶函數(shù)性質可得，即.故選：B10．已知，且，則（

）A． B． C． D．15【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】由于，所以，則，所以，所以，而且，所以.故選：B11．（多選）以下運算中正確的有（

）A．若，，則B．C．D．【答案】AC【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算性質和換底公式逐一判定即可．【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：AC．12．（多選）若，則下列各式中，成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則、換底公式判斷．【詳解】，A錯；，B正確；由換底公式知C正確；，D錯，故選：BC．13．（多選）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．若,則【答案】ACD【分析】關于A,B將根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,再根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪計算法則進行化簡,即可得選項正誤,關于C用對數(shù)的運算法則將冪轉化為分式,化簡即可,關于D,先判斷出,然后兩邊取對數(shù),再展開即可判斷正誤.【詳解】解:由題知關于選項A:,故選項A正確;關于選項B:,故選項B錯誤;關于選項C:,故選項C正確;關于選項D:,,對等式兩邊取對數(shù)有,,即故選項D正確.故選:ACD14．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化.【詳解】（1），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.（2），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.（3），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.（4），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.（5），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.（6），運用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉化為.15．（1）化簡求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）11；（2）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運算性質即可求解，（2）根據(jù)指數(shù)冪的性質可得，即可利用立方差公式求解.【詳解】（1）原式=.（2）因為，兩邊平方得，所以.

【能力提升】1．已知是定義在上的奇函數(shù).，且當時，，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)對稱性與奇偶性得到的周期為，再求出及，最后根據(jù)周期性計算可得.【詳解】由滿足，可得的對稱中心為，則，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為，又，令，則，是定義在上的奇函數(shù)，則，又當時，，則，，所以．故選：C．2．使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的意義建立不等式組求解即可.【詳解】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D3．已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式后，利用對數(shù)的運算性質進行計算即可.【詳解】由，可得，，所以.故選：D.4．已知是奇函數(shù)，，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當成立，判斷是否成立，再由成立時，判斷是否成立，即可知是成立何種條件.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，解得，所以，當時，，，，所以是奇函數(shù)，所以，所以是的充要條件.故選：A.5．若，則的最小值為（

）A．2 B．C．1 D．【答案】B【分析】利用換元法可得，即可利用不等式求解.【詳解】令，則，故，因此，故，故，最小值為，當且僅當時等號成立，即時取到等號，故選：B【點睛】關鍵點點睛：得，由基本不等式求解.6．已知若正實數(shù)滿足則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡即可得解.【詳解】因為所以，由可得，所以，兩邊取以3為底的對數(shù)可得，即，所以，所以，故選：A7．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，得，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質即可得解.【詳解】由，得，則.故選：A.8．已知函數(shù)滿足對任意x恒成立，且時，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，利用周期性結合指對數(shù)運算求解.【詳解】因為，則，可得，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，則，，所以.故選：A.9．當時，函數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用，結合題中條件即可求解.【詳解】令，解得，或，又，則，故，解得，或，即的取值范圍是.故選：D.10．若函數(shù)是奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由奇函數(shù)的性質結合對數(shù)的運算解出，再由復合函數(shù)的單調性得到在上為增函數(shù)解出即可；【詳解】由題意可得，即，即，解得，即，，即函數(shù)的定義域為，設，則在上為增函數(shù)，而在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，若，則，可解得，則，又，則有，不等式的解集為.故選：A.11．（多選）下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．函數(shù)fx=C．若，則D．若冪函數(shù)fx=2m【答案】BC【分析】選項A，根據(jù)條件，利用抽象函數(shù)定義域的求法，即可求解；選項B，分離常量得到fx=1?5x2【詳解】對于選項A，因為函數(shù)的定義域為0,1，由0≤4x≤1，得到0≤x≤14得到函數(shù)f4x的定義域為0,對于選項B，因為fx=x2+3?5得到?23≤1?5t對于選項C，因為，得到1a=log32，所以31對于選項D，因為fx=2所以2m2?6m+5=1故選：BC.12．（多選）下列選項錯誤的是（

）A．若，則B．已知，，則C．已知x，y為正實數(shù)，則D．若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【分析】由不等式的性質判斷A（舉特例），由指數(shù)與根式的運算性質判斷B，由對數(shù)的運算性質判斷C，由題設命題的否定為真命題，再轉化為求函數(shù)最小值（使用勾形函數(shù)定義域求最小值）判斷D．【詳解】A選項，當時，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，一般，如，而，C錯誤；D選項，若命題“”是假命題，則命題“”是真命題