2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 三角函數(shù)與解三角形 第2講　三角恒等變換與解三角形解析版

第2講三角恒等變換與解三角形（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)一】三角恒等變換 13【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用 16【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用 25【專(zhuān)題精練】 31考情分析：1.三角恒等變換主要考查化簡(jiǎn)、求值，解三角形主要考查求邊長(zhǎng)、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問(wèn)題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A．3-58 B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．三、解答題9．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．10．（2023·全國(guó)·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．11．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．12．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.參考答案：題號(hào)1234567答案BCBBDCC1．B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選：B.2．C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.3．B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類(lèi)型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．4．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍遥瑒t，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

5．D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)閏osα=1-2sin2解得：3-58故選：D．6．C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.7．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)?，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.8．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．9．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開(kāi)區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬(wàn)能公式求解設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為10．(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.11．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．12．(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】三角恒等變換一、單選題1．（2023·江蘇·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·二模）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到4．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則（

）A．y=fx的最大值為B．y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．y=fx在上單調(diào)遞增D．直線是y=fx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸三、填空題5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角.6．（2024·吉林白山·一模）化簡(jiǎn)．參考答案：題號(hào)1234答案AAACDAC1．A【分析】利用和差角公式展開(kāi)，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A．2．A【分析】由倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式求目標(biāo)式的值.【詳解】，.故選：A3．ACD【分析】A由降冪公式，輔助角公式可得答案；B由周期計(jì)算公式可得答案；C將代入由A選項(xiàng)所得化簡(jiǎn)式中可得答案；D由函數(shù)圖象平移知識(shí)可得答案．【詳解】Ａ選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)結(jié)合周期計(jì)算公式可知最小正周期為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將代入，在此時(shí)得最大值，故是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；D選項(xiàng)，的圖象向右平移個(gè)單位得，故D正確．故選：ACD4．AC【分析】化簡(jiǎn)得，分析y=fx的最大值，對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)軸，單調(diào)性判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】,對(duì)A：y=fx的最大值為2，故A對(duì)B：因?yàn)?，所以不是y=fx的對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，而在上為增函數(shù)，故y=fx在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)D：，所以直線不是y=fx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故D錯(cuò)誤；故選：AC5．【分析】利用正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理及二倍角公式得：，因?yàn)樵谥校?，，即，即，因?yàn)樵谥校?所以，所以.故答案為：.6．2【分析】運(yùn)用降冪公式將化成，整理后再用誘導(dǎo)公式將化成，化簡(jiǎn)即得.【詳解】．故答案為：2.核心梳理：1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·廣東江門(mén)·一模）在中，，，則角A的大小為（

）A． B．或 C． D．或2．（2023·廣東茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為m，軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．是銳角三角形D．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍4．（23-24高一下·江蘇南京·期中）對(duì)于有如下命題，其中正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．若，則的面積為C．在銳角中，不等式恒成立D．若且有兩解，則的取值范圍是三、填空題5．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分．過(guò)點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是．6．（23-24高二上·廣東汕頭·期中）如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為，其中下坡路段長(zhǎng)為．

四、解答題7．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．8．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知.(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長(zhǎng).9．（2024·北京東城·一模）在中，.(1)求；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的值.參考答案：題號(hào)1234答案DCACACD1．D【分析】利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.【詳解】由題意知中，，，故，即，由于，故，則或，故A的大小為或，故選：D2．C【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為，因?yàn)槠漭S截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長(zhǎng)為，面積為的等腰三角形，所以，解得，則或（舍去），由得，，則上半部分的體積為，下半部分體積為，故蒙古包的體積為.故選：C.3．AC【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷BC選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，A對(duì)；對(duì)于B，由余弦定理可得，，，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)?，則為最大角，又因?yàn)?，則為銳角，故為銳角三角形，C對(duì)；對(duì)于D，由題意知，為最小角，則，因?yàn)?，則，則，D錯(cuò).故選：AC.4．ACD【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理邊角互化判斷AB，利用銳角三角形角的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷C，結(jié)合圖象，根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，為鈍角三角形，A說(shuō)法正確；選項(xiàng)B：中，若，則由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面積或，B說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，又，所以，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，C說(shuō)法正確；選項(xiàng)D：如圖所示，若有兩解，則，解得，D說(shuō)法正確；故選：ACD5．/0.1875【分析】利用三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合橢圓的定義得，再利用均值不等式求解作答.【詳解】設(shè)，依題意，，，由，得，即，，橢圓中，，在中，由余弦定理得，即有，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.故答案為：6．【分析】將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形，過(guò)P作AB的垂線，垂足為M，最短路線即為扇形中的直線段AB，利用余弦定理求出即可；當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，求出即可.【詳解】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形，易知該扇形半徑為2，弧長(zhǎng)為，故圓心角∠APB＝，最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；過(guò)P作AB的垂線，垂足為M，當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越小，故AM為上坡路段，當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，下坡路段長(zhǎng)MB＝PB?cos∠PBA＝．故答案為：，.

7．(1)(2)【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.8．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，最后由正弦定理將角化邊；（2）由余弦定理得到，利用面積公式求出，即可得到、，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，即，所以，由正弦定理得，即；?）由題意得，，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)檫吷系母邽?，所以，則，所以，，故的周長(zhǎng)．9．(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合三角和為及誘導(dǎo)公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，從而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，，又因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)?，所以；?）解：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以,設(shè),在中，由正弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，所以?/p>

在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.核心梳理：1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：解三角形中常見(jiàn)的求最值與范圍問(wèn)題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用一、單選題1．（22-23高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的三邊一定構(gòu)成等差數(shù)列B．的三邊一定構(gòu)成等比數(shù)列C．面積的最大值為D．周長(zhǎng)的最大值為4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）將銳角三角形置于平面直角坐標(biāo)系中，，為軸上方一點(diǎn)，設(shè)中的對(duì)邊分別為且，則的外心縱坐標(biāo)可能落在以下（

）區(qū)間內(nèi).A． B． C． D．三、填空題5．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過(guò)路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個(gè)半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為．6．（2021·寧夏石嘴山·三模）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)校外一座山的高度h(單位：)進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，社團(tuán)同學(xué)朝山沿直線行進(jìn)，在前后相距a米兩處分別觀測(cè)山頂?shù)难鼋呛?)，多次測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)取平均值后代入數(shù)學(xué)模型求解山高，這個(gè)社團(tuán)利用到的數(shù)學(xué)模型；多次測(cè)量取平均值是中學(xué)物理測(cè)量中常用的減小誤差的方法之一，對(duì)物理量進(jìn)行n次測(cè)量，其誤差近似滿(mǎn)足，為使誤差在的概率不小于0.9973，至少要測(cè)量次.參考數(shù)據(jù)：若占，則.參考答案：題號(hào)1234答案DABCBD1．D【分析】利用余弦定理將化簡(jiǎn)為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，即，則為直角三角形；當(dāng)時(shí)，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.2．A【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)值域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，，由解得.，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A3．BC【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可結(jié)合中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB，結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解CD.【詳解】在中，由，得．所以，所以，所以．又，所以，所以．由正弦定理得，即成等比數(shù)列．取適合題意，但此時(shí)三邊不構(gòu)成等差數(shù)列，A錯(cuò)誤，正確．由及余弦定理得（時(shí)取等號(hào)）．因?yàn)椋裕裕郑?，所以的面積，C正確．由及，可得，即，所以．因?yàn)?，所以，所以，D錯(cuò)誤．故選:BC．4．BD【分析】利用余弦定理求得，然后可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，結(jié)合已知可得，結(jié)合平方關(guān)系和正弦定理求出半徑范圍，即可求縱坐標(biāo)范圍.【詳解】由題知，，，由余弦定理得，又，解得，同理：，所以，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，即，又，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，即外接圓半徑為，則，即，由外心定義可知，的外心在軸上，記的外心縱坐標(biāo)為，則，因?yàn)榕c和交集非空，與和交集為空間，所以BD正確，AC錯(cuò)誤.故選：BD5．【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，利用正弦定理可得，利用三角函數(shù)的有界性建立不等式，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)切點(diǎn)為，連接．由題意得，設(shè)，在中，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．設(shè)，則，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，解得，所以的最小值為．故答案為：.6．(也可以寫(xiě)成)72【分析】再中由正弦定理可得，在中求解即可；由正態(tài)分布的3原則建立不等式求解即可.【詳解】（1）在中，，，在中，.(結(jié)果還可以是)（2）由于，因此，所以，故至少要測(cè)量72次.故答案為：(也可以寫(xiě)成)；72【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決正態(tài)分布問(wèn)題中，需要理解原則，學(xué)會(huì)利用原則求解相關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題.核心梳理：解三角形應(yīng)用題的?？碱?lèi)型(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：解三角形實(shí)際問(wèn)題的步驟專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（2023·江蘇南通·一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武漢·二模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．366．（2023·青海·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．7．（22-23高三·湖南婁底·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．8．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）某校學(xué)生參加課外實(shí)踐活動(dòng)“測(cè)量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測(cè)得，沿土坡向坡頂前進(jìn)后到達(dá)D處，測(cè)得．已知旗桿，土坡對(duì)于地平面的坡角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．若，則的最小值為D．若，則10．（2023·湖南·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．的所有零點(diǎn)為D．是以為周期的函數(shù)11．（2021·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．在上有兩個(gè)零點(diǎn)B．在上單調(diào)遞增C．在的最大值是1D．的圖像可由向右移動(dòng)得到三、填空題12．（22-23高三下·福建南平·階段練習(xí)）已知為銳角，，則．13．（2023·江蘇·三模）如圖，在△ABC所在平面內(nèi)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，則FH＝．14．（2024·廣東·一模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且，D為邊AB上一點(diǎn)，CD平分，，則．四、解答題15．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．(1)求角C的大?。?2)若，，求的面積．17．（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)求的取值范圍.18．（2023·廣東廣州·二模）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.19．（2023·江蘇南通·一模）在中，的對(duì)邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.參考答案：題號(hào)12345678910答案BCADAABDABDAC題號(hào)11答案AB1．B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式求解.【詳解】所以，所以故選:B.2．C【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.3．A【分析】利用二倍角公式和兩角差的公式得到，利用平移變換得到，再根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值求解.【詳解】由，化簡(jiǎn)得，所以．又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，所以，解得．因?yàn)椋裕蔬x：A．4．D【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D5．A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.6．A【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A7．B【分析】根據(jù)二倍角公式將化簡(jiǎn)得到，利用余弦定理和正弦定理將化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，所以，所?因?yàn)?，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所?設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，所以的外接圓的面積為.故選：B.8．D【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函數(shù)同角關(guān)系表示出，化簡(jiǎn)可得.【詳解】在中，由正弦定理可得在中，易知，則整理可得故選：D9．ABD【分析】利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求出，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，即，而，則，，對(duì)于A，因?yàn)椋谑呛瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，又，因此中一個(gè)為函數(shù)的最大值點(diǎn)，另一個(gè)為其最小值點(diǎn)，又函數(shù)的周期為，所以的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，則，因此，D正確.故選：ABD10．AC【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義分析證明；對(duì)于B：舉例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤.對(duì)于C：因?yàn)椋⒁獾?，令，得，即，故的所有零點(diǎn)為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋圆皇堑闹芷冢?/p>