2025年高考數(shù)學二輪復習 專題五 概率與統(tǒng)計 第1講　計數(shù)原理與概率原卷版

第1講計數(shù)原理與概率（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】排列與組合問題 3【考點二】二項式定理 4【考點三】概率 5【專題精練】 7考情分析：1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應用，時常與概率相結合，以選擇題、填空題為主.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應用．真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．202．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種3．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種二、填空題6．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．7．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為．8．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．9．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．11．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為．12．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．考點突破考點突破【考點一】排列與組合問題核心梳理：解決排列、組合問題的一般過程：(1)認真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．一、單選題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．162．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結束.亞運會結束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預測）某中學的3名男生和2名女生參加數(shù)學競賽，比賽結束后，這5名同學排成一排合影留念，則下列說法正確的是（

）A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學共有48種不同的排法B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學共有24種排法C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學共有72種排法D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學共有72種排法4．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）正方體的8個頂點中的4個不共面頂點可以確定一個四面體，所有這些四面體構成集合，則（

）A．中元素的個數(shù)為58B．中每個四面體的體積值構成集合，則中的元素個數(shù)為2C．中每個四面體的外接球構成集合，則中只有1個元素D．中不存在四個表面都是直角三角形的四面體三、填空題5．（2024·河北滄州·一模）有位大學生要分配到三個單位實習，每位學生只能到一個單位實習，每個單位至少要接收一位學生實習，已知這位學生中的甲同學分配在單位實習，則這位學生實習的不同分配方案有種．（用數(shù)字作答）6．（2024·江蘇南通·模擬預測）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種．規(guī)律方法：排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．【考點二】二項式定理核心梳理：1．求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路：(1)利用通項公式將Tk＋1項寫出并化簡．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項公式即得所求．2．對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討論求解．一、單選題1．（2024·浙江·二模）展開式的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（

）A．6 B．8 C．27 D．33二、多選題3．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B．二項式系數(shù)最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數(shù)的和為4．（2024·廣西來賓·一模）的展開式中，下列結論正確的是（

）A．二項式系數(shù)最大項為第五項 B．各項系數(shù)和為0C．含項的系數(shù)為4 D．所有項二項式系數(shù)和為16三、填空題5．（23-24高三上·山東濱州·期末）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）6．（2024·云南楚雄·一模）除以的余數(shù)是．規(guī)律方法：二項式(a＋b)n的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項式的展開式的第k＋1項，而不是第k項；其中Ceq\o\al(k,n)是二項式展開式的第k＋1項的二項式系數(shù)，而二項式的展開式的第k＋1項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)．【考點三】概率核心梳理：1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點數(shù),試驗的樣本點總數(shù)).2．條件概率公式設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．全概率公式設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）袋子中裝有5個形狀和大小相同的球，其中3個標有字母個標有字母.甲先從袋中隨機摸一個球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機摸一個球，若甲?乙兩人摸到標有字母的球的概率分別為，則（

）A． B．C． D．2．（2024·山西·二模）一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現(xiàn)依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（21-22高三上·江蘇南通·階段練習）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（

）A． B．C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則4．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．

C． D．三、填空題5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺車床加工的概率為.6．（2024·湖南衡陽·二模）已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中．按上述方法重復操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是．規(guī)律方法：求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．(3)根據(jù)事件間關系，利用概率的加法、乘法公式及對應事件的概率公式求解．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·福建·模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．88 D．1002．（2023·廣東·模擬預測）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種3．（2023·遼寧沈陽·一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種4．（2024·甘肅隴南·一模）已知3名男同學、2名女同學和1名老師站成一排，女同學不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（

）A．336種 B．284種 C．264種 D．186種5．（2023·廣東深圳·一模）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東德州·三模）若，則（

）A． B．C． D．7．（2023·四川南充·二模）在二項式的展開式中，二項式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（

）A．60 B．80 C．84 D．120二、多選題9．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是110．（2023·山東·二模）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件11．（2023·山東威海·一模）已知事件A，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B相互獨立三、填空題12．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．13．（