2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第11講　極值點(diǎn)偏移問題原卷版

第11講極值點(diǎn)偏移問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù) 2【考點(diǎn)二】比值代換 3【專題精練】 4考情分析：極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性，極值點(diǎn)偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對(duì)思維要求較高，過程較為煩瑣，計(jì)算量較大，解決極值點(diǎn)偏移問題，有對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨(dú)具特色．真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)一、單選題1．（2023·四川瀘州·二模）已知兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2022·吉林·三模）已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為0，則實(shí)數(shù)m的值為；設(shè)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題6．（2023·山東泰安·二模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論方程解的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，若，證明：（i）；（ii）.7．（22-23高二下·遼寧·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.規(guī)律方法：對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)(1)對(duì)結(jié)論x1＋x2>2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．(2)對(duì)結(jié)論x1x2>xeq\o\al(2,0)型，方法一是構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式；方法二是兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成兩變量即可．【考點(diǎn)二】比值代換一、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．5．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個(gè)根，（），求證：．規(guī)律方法：比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·一模）已知，且，則下列說法正確的有（

）①；②；③；

④.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若恒成立，則B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)只有個(gè)C．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，則有（

）A． B．C． D．6．（2021·山東德州·二模）已知函數(shù)，則（

）A．B．若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，則C．D．若，x，y均為正數(shù)，則7．（2023·河北衡水·一模）直線：與的圖象交于、兩點(diǎn)，在A?B兩點(diǎn)的切線交于，的中點(diǎn)為，則（

）A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1C． D．的斜率大于08．（22-23高三·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A．在上是增函數(shù)B．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為C．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．若，且，則的最大值為三、解答題9．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．10．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.11．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；12．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正實(shí)數(shù)、滿足，證明：．13．（2022