《電路與電子技術(shù)》課件第4章

第4章正弦交流電的基本概念4.1引言4.2正弦交流電的三要素4.3正弦量的相量表示法4.4正弦交流電路中的元件習(xí)題4

電路中的電量有周期性變化和非周期性變化兩類。我們把波形的大小和方向隨時(shí)間作正弦周期性變化的電量稱為正弦交流電，如圖4.1所示。

正弦交流電的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

i＝Imsin(ωt＋

) (4.1)

式中，i表示正弦交流電的瞬時(shí)值；ω表示正弦交流電變化的快慢，稱為角速度；Im表示正弦交流電的最大值，稱為幅值；

表示正弦交流電的起始位置，稱為初相位。4.1引言

圖4.1正弦交流電

正弦交流電比恒定直流電更容易產(chǎn)生、傳輸和分配，使用正弦交流電的電機(jī)、電器等用電設(shè)備可獲得較好的性能，并且正弦交流電的信號(hào)經(jīng)過各種數(shù)學(xué)運(yùn)算(如四則運(yùn)算、微積分)后仍是正弦函數(shù)，這些特性使得正弦交流電成為最基本、最重要的電量形式，其應(yīng)用非常廣泛。正弦交流電也可簡(jiǎn)稱交流電。

本章將討論正弦交流電的基本概念、表示方法和組成交流電路的基本元件(電阻、電感和電容)。

正弦交流電的特性可用變化的快慢、相位和大小來表示。這三個(gè)量是確定正弦交流電的三要素。

4.2.1變化的快慢

正弦交流電變化的快慢可用三種方式表示。

1.周期T

交流電量往復(fù)變化一周所需的時(shí)間叫一個(gè)周期，用字母T表示，單位是秒(s)，如圖4.1所示。4.2正弦交流電的三要素

2.頻率f

每秒內(nèi)波形重復(fù)變化的次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位是赫茲(Hz)。頻率和周期互為倒數(shù)，即

(4.2)

我國(guó)電網(wǎng)所供給的交流電頻率是50Hz，周期為0.02s。

3.角頻率ω

交流電量角度的變化率稱為角頻率，用字母ω表示，單位是弧度/秒(rad／s)，即

(4.3)

上式表明，周期T、頻率ｆ和角頻率ω三者之間可以互相換算。它們都從不同角度表示了正弦交流電的同一物理實(shí)質(zhì)，即變化的快慢。

4.2.2相位

1.相位和初相位

正弦電量的表達(dá)式中，ωt＋

叫做交流電的相位。t＝0時(shí)，ωt＋

＝

稱為初相位，它是確定交流電量初始狀態(tài)的物理量。在波形上，

表示在計(jì)時(shí)前交流電量由正的最大值到t＝0的計(jì)時(shí)起點(diǎn)之間所對(duì)應(yīng)的最小電角度，如圖4.1所示。不知道

就無法畫出交流電量的波形圖，也寫不出完整的表達(dá)式。

2.相位差

相位差是指兩個(gè)同頻率的正弦電量在相位上的差值。由于我們討論的是同頻正弦交流電，因而相位差實(shí)際上等于兩個(gè)正弦電量的初相之差。例如：

u＝Umsin(ωt＋

1)

i＝Imsin(ωt＋

2)

則相位差

Δ

＝(ωt＋

1)－(ωt＋

2)＝

1－

2

(4.4)當(dāng)

1>

2時(shí)，u比i先達(dá)到正的最大值或先達(dá)到零值，此時(shí)它們的相位關(guān)系是u超前于i(或i滯后于u)。

當(dāng)

1<

2時(shí)，u滯后于i(或i超前于u)。

當(dāng)

1＝

2時(shí)，u與i同相。

當(dāng)時(shí)，稱u與i正交；而Δ

＝±π時(shí)，稱u與i反相。

以上五種情況分別如圖4.2中(a)、(b)、(c)、(d)和(e)所示。

圖4.2正弦量的相位關(guān)系(a)u超前；(b)u滯后；(c)同相；(d)正交；(e)反相4.2.3交流電的大小

交流電的大小有三種表示方式。

1.瞬時(shí)值

瞬時(shí)值指任一時(shí)刻交流電量值的大小，如i、u和e，用小寫字母表示，它們都是時(shí)間的函數(shù)。

2.最大值

最大值指交流電量在一個(gè)周期中最大的瞬時(shí)值，它是交流電波形的振幅，如Im、Um和Em，通常用大寫字母并加注下標(biāo)m表示。

3.有效值

引入有效值的概念是為了研究交流電量在一個(gè)周期中的平均效果。它的定義是：讓正弦交流電和直流電分別通過兩個(gè)阻值相等的電阻，如果在相同時(shí)間T內(nèi)(T可取為正弦交流電的周期)兩個(gè)電阻消耗的能量相等，則我們把該直流電稱為交流電的有效值，如圖4.3所示。

圖4.3有效值的概念(a)交流；(b)直流當(dāng)直流電流I流過電阻R時(shí)，該電阻在時(shí)間T內(nèi)消耗的電能為

W—＝I2RT (4.5)

當(dāng)正弦電流i流過電阻R時(shí)，在相同時(shí)間T內(nèi)電阻消耗的電能為

(4.6)

根據(jù)有效值的定義

W—＝W—

則有

(4.7)

此式叫均方根值，即有效值的定義式。設(shè)i＝Imsin(ωt＋

)，并帶入上式得到

(4.8)

同理有

(4.9)

(4.10)

即正弦量的最大值等于有效值的倍。有效值是一個(gè)非常重要的概念，所有用電設(shè)備銘牌上標(biāo)注的都是有效值。正弦電量不但可以用三角函數(shù)表示，也可以用波形圖和矢量圖表示。在分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，經(jīng)常需要對(duì)正弦電量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和微分、積分運(yùn)算，但如果利用這三種正弦電量表示法，計(jì)算就顯得十分復(fù)雜?，F(xiàn)在我們尋找一種表示正弦電量的最簡(jiǎn)單有效的辦法——相量法。

4.3正弦電量的相量表示法由于復(fù)數(shù)可用來表示矢量，矢量可用來表示正弦量，因而復(fù)數(shù)也就可以表示正弦量。為了與一般的復(fù)數(shù)及表示空間矢量的復(fù)數(shù)相區(qū)別，我們把表示正弦時(shí)間函數(shù)的復(fù)數(shù)叫做相量，并用在大寫字母上方加點(diǎn)表示。

設(shè)正弦電量是i＝Imsin(ωt＋

)，現(xiàn)在討論復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)Imej(ωt＋

)的展開式：

Imej(ωt＋

)＝Im[cos(ωt＋

)＋jImsin(ωt＋

)]

=Im[cos(ωt＋

)+jImsin(ωt＋

)上式的虛部恰好就是正弦電流的表達(dá)式，即

i＝Im[Imej(ωt＋

)]＝Imsin(ωt＋

) (4.11)

因?yàn)檎译娏渴怯烧穹?、頻率和相位這三要素決定的，在頻率相同的正弦電量激勵(lì)下，電路中的各個(gè)電量都具有相同的頻率，所以確定一個(gè)正弦電量就只需振幅和相位兩個(gè)要素，則

i＝Im[Imej(ωt＋

)]＝Im[Imejjejwt]＝Im[?mejωt] (4.12)

式中

?m＝Imej

(4.13)

?m叫做電流的最大值相量，它由振幅和初相位確定；ej

叫旋轉(zhuǎn)因子，它是模為1、輻角為ωt且隨時(shí)間不斷旋轉(zhuǎn)的單位相量。

相量也可以畫在復(fù)平面上，用有向線段表示，叫相量圖，如圖4.4所示。圖4.4相量圖利用相量圖，?？墒瓜嗔恐g的關(guān)系更加清楚。

同理，電壓相量的最大值表示為

(4.14)

電流和電壓的有效值相量表示為

(4.15)

(4.16)

利用相量法計(jì)算正弦電量十分方便，三角函數(shù)的各種運(yùn)算變成了相應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算，而復(fù)數(shù)運(yùn)算的過程相對(duì)簡(jiǎn)單（有關(guān)復(fù)數(shù)及運(yùn)算的內(nèi)容詳見附錄）。但需說明三點(diǎn)：一是用相量表示正弦電量，并不是說相量就等于正弦電量，兩者不能直接相等；二是相量與物理學(xué)中的向量是兩個(gè)不同的概念，相量是用來表示時(shí)間域的正弦電量，而向量是表示空間內(nèi)具有大小和方向的物理量，如力、電場(chǎng)強(qiáng)度等；三是相量法只適用于同頻率正弦量，不同頻率的正弦量以及非正弦量都不適用。

例4.1

已知i1=5sin(ωt+36.9°）A，i2=10sin(ωt-53.1°)A，求交流電i1和i2之和。

解首先用相量表示正弦量i1和i2:故i=i1+i2=11.18sin(ωt-26.6°)A

【例4.2】

已知

試畫出它們的相量圖，求出u＝u1＋u2及其有效值。

解

u1和u2的有效值相量為

故

的相量圖如圖4.5所示。圖4.5例4.2相量圖

4.4.1電阻元件

對(duì)線性電阻，在正弦交流電的激勵(lì)下，其伏安關(guān)系在任一瞬間都服從歐姆定律，故有

(4.17)

其參考正方向如圖4.6(a)所示。4.4正弦交流電路中的元件

圖4.6電阻元件(a)電路；(b)波形；(c)相量圖；(d)模型電路設(shè) i＝Imsin(ωt＋

)

則u＝Ri＝RImsin(ωt＋

)＝Umsin(ωt＋

)

其中

(4.18)

有效值

(4.19)

上式表明電阻的電壓和電流是兩個(gè)同頻率、同相位的正弦量，如圖4.6(b)所示。

將電流、電壓分別用相量式表示：

(4.20)

則 (4.21)

式(4.21)即為歐姆定律的相量式。電阻元件的相量圖和電路模型分別如圖4.6(c)和(d)所示。

4.4.2電感元件

設(shè)一電感元件，其電壓、電流和電感電勢(shì)采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4.7(a)所示。圖4.7電感元件(a)電路；(b)XL的頻率特性；(c)相位關(guān)系；(d)相量關(guān)系；(e)電路模型設(shè)通過電感的電流為

i＝Imsin(ωt＋

i)

則

(4.22)

式中：ULm＝ωLIm或UL＝ωLI。定義XL＝ωL＝2πfL，稱XL為感抗，則

(4.23)感抗XL所呈現(xiàn)的物理意義是：對(duì)于一定的電感L，當(dāng)頻率增高時(shí)，其所呈現(xiàn)的感抗增大；反之亦然，如圖4.7(b)所示。

又有

(4.24)

由式(4.22)可知電感上的電壓和電流同頻，如圖4.7(c)所示。由式(4.24)可知電感上電壓的相位超前電流90°，如圖4.7(d)所示。

由于

(4.25)

因而

(4.26)式(4.26)為歐姆定律的相量式，它不但表示了電感電壓和電流的大小關(guān)系，同時(shí)也表示了兩者之間的相位關(guān)系。電感元件的相量圖和電路模型分別如圖4.7(d)、(e)所示。

4.4.3電容元件

若一電容元件上的電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4.8(a)所示。設(shè)電容電壓為

u(t)＝Umsin(ωt＋

u)則電容電流為

(4.27)

上式中

UmωC＝Im

或

(4.28)

XC稱為電容的容抗。它的物理意義是：當(dāng)電容C一定時(shí)，頻率越高，電容對(duì)交流電流所呈現(xiàn)的阻礙作用越小，即容抗越小。當(dāng)f＝0時(shí)，XC→∞，電容相當(dāng)于開路。XC的頻率特性如圖4.8(b)所示。

又有

(4.29)

上式表明電容上的電壓、電流同頻，但電容上電流相位超前電壓相位90°，如圖4.8(c)所示。

圖4.8電容元件(a)電路；(b)XC的頻率特性；(c)相位關(guān)系；(d)相量關(guān)系；(e)電路模型若電容上的電壓和電流用相量表示：

則有

(4.30)

式(4.30)為歐姆定律的相量式，它同時(shí)表示了電容上電壓和電流的大小及相位關(guān)系。電容元件的相量圖和電路模型分別如圖4.8(d)和(e)所示。

1.電壓U＝300sin(100t＋π/4)V，指出其振幅、角頻率和初相。計(jì)算頻率f和周期T，畫出