重慶市榮昌區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

Page22高2025級高二數(shù)學(xué)上期第二次月考試題考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.一條直線過點(diǎn)A(1，0)和B(?2，3)，則該直線的傾斜角為A.30° B.45° C.135° D.150°【答案】C【解析】【分析】本題先根據(jù)直線所過點(diǎn)求，再通過求傾斜角即可.【詳解】解：∵直線過點(diǎn)A(1，0)和B(?2，3)，∴，∵，∴，∴故選：C.【分析】本題考查直線過兩點(diǎn)求斜率，借斜率求傾斜角，是基礎(chǔ)題.2.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.【答案】B【解析】【詳解】由題意知圓心坐標(biāo)為(x0,1),圓心到直線4x-3y=0的距離，解得或（舍去），所以圓的方程為.故選：B.3.在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：A4.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意先寫出橢圓的蒙日圓方程，然后根據(jù)條件判斷出兩圓內(nèi)切或外切，由此列出方程求解出結(jié)果.【詳解】由題意可知的蒙日圓方程為，因?yàn)閳A與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓內(nèi)切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對值，所以或，由此解得，故選：B.5.已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)則由對稱性知即所以解得故選C6.已知為橢圓的焦點(diǎn)且，M，N是橢圓上兩點(diǎn)，且，以為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，則的周長為()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合勾股定理即可求解，由焦點(diǎn)三角形的周長公式即可求解.【詳解】由于為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，所以，不妨設(shè)則，由橢圓定義可得由勾股定理可得和，即和，解得，故的周長為，故選：D7.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)為圓任一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值問題即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋瑒t拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則，即，所以，則要使其最小，則需最小，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以.故選：C.8.雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線定義推出相關(guān)線段的長，進(jìn)而在和中利用余弦定理，求出以及，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求得答案.【詳解】由題意結(jié)合雙曲線定義可知，且，不妨設(shè)，則，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，結(jié)合，即得，故得，即.又可設(shè)，則，而，故，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)所給，分別在和中利用余弦定理，求出，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量共面的定義可判斷A，根據(jù)共面定理可判斷B，根據(jù)基底的定義可判斷C，利用向量夾角的取值范圍判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)橛袃蓚€(gè)向量共線，所以這三個(gè)向量一定共面，A正確；對于B，因?yàn)榍?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；對于C，因?yàn)槭强臻g中的一組基底，所以不共面且都不為，假設(shè)共面，則，即，則，與其為基底矛盾，所以不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對于D，若，則鈍角或是，D錯(cuò)誤；故選：ABC10.已知直線：，圓：，則（）A.直線恒過定點(diǎn) B.直線與圓相交C.圓被軸截得的弦長為 D.當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)及圓的圓心、半徑，再逐一分析、計(jì)算各選項(xiàng)判斷作答.【詳解】依題意，直線：可化為，由解得，，即直線過定點(diǎn)，A不正確；圓：的圓心，半徑，，即點(diǎn)P在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，B正確；圓心到x軸的距離，則圓被軸截得的弦長為，C不正確；由于直線過定點(diǎn)，圓心，則直線PC的斜率，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，由圓的性質(zhì)知，，于是得，解得，D正確.故選：BD11.已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.為中點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識來判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，設(shè)，，由，則，可得，所以，,解得所以,所以B正確.，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以,滿足,所以C正確.而,所以D正確.故選：BCD12.已知正方體的棱長為，點(diǎn)滿足,其中，為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為B.當(dāng)時(shí)，的面積為定值C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值D.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)使得平面【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)造面面平行可判定A，根據(jù)線線平行可判定B，利用線面平行及棱錐體積公式可判定C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系可判定D.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由正方體的特征可得四邊形是平行四邊形，故，又中點(diǎn)，中點(diǎn)，所以，所以，同理四邊形也是平行四邊形，可知，又平面，平面，可得平面，同理可得平面，因?yàn)椋?、平面，平面平面，若平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，已知正方體的棱長為，則點(diǎn)的軌跡的長度為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動，由題意易得，故點(diǎn)到的距離是定值，所以的面積為定值，故B正確；由正方體特征可知是邊長為的等邊三角形，面積為定值，又中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故共線，即點(diǎn)在線段上運(yùn)動，且，平面，平面，所以平面，可得點(diǎn)到平面的距離是定值，可得三棱錐的體積為定值，故C正確；如下圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，則，若存在點(diǎn)使得平面，那么，而，故當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得平面，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離_____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以由點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是可得，考點(diǎn)：空間點(diǎn)對稱的位置關(guān)系及空間兩點(diǎn)間距離點(diǎn)評：點(diǎn)關(guān)于x的對稱點(diǎn)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)，若則空間兩點(diǎn)間的距離公式為，容易題14.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為______.【答案】4【解析】【分析】由橢圓定義以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面積為4.【詳解】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.故答案：415.已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則_____．【答案】1【解析】【分析】結(jié)合切線長定理可得為等邊三角形，即可得.【詳解】由圓：可得圓心坐標(biāo)為，半徑，由、為圓切線，故，又故，又，故為等邊三角形，故.故答案為：1.16.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率______.【答案】##【解析】【分析】由題意可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)及托勒密定理可得四邊形為矩形．利用雙曲線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，則，，可得四邊形為平行四邊形，又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．設(shè)，，在中，，則，，，，，，解得．雙曲線的離心率為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的平分線所在的直線的方程為．（1）求AB的中垂線方程；（2）求AC的直線方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及，故求出AB的中垂線斜率，點(diǎn)斜式求出方程；（2）關(guān)于的對稱點(diǎn)在直線上，求出，利用兩點(diǎn)式求出直線方程，得到答案.【小問1詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，故AB的中垂線斜率為4，故AB的中垂線方程為，即；【小問2詳解】由對稱性可知，關(guān)于的對稱點(diǎn)在直線上，故，解得，故，故直線的方程為，即.18.已知點(diǎn)，，，是圓上的動點(diǎn)．（1）求面積的最小值；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象求出圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式計(jì)算即可.（2）設(shè)出，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，結(jié)合點(diǎn)在圓上代入整理即可.【小問1詳解】如圖所示，由題知，，直線的方程為．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以面積的最小值為．【小問2詳解】設(shè)，，由題意知，，則，，又點(diǎn)在圓上，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即．19.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上在第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，軸，，．（1）求的方程；（2）過作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．【答案】19.20.或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，利用弦長公式計(jì)算出，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式建立等式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由題知，，由拋物線的定義知，，，的方程為．【小問2詳解】由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，由題易知，，，，到直線的距離為，，解得，直線的方程為或．20.如圖，已知與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先有面面垂直得到線面垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求解即可；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)平面的夾角的余弦值即為兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值的絕對值求解即可.【小問1詳解】作中點(diǎn)，因?yàn)榕c都正三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，所以分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因，所以，即，令，則，所以，由（1）知面的法向量為，令平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）不妨設(shè)，，，由可得，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由條件可得，即，則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長的雙曲線的右支，則，可得，所以曲線的方程為．【小問2詳解】由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，由于且直線的斜率不等于0，不妨設(shè)，，，則，，由可得，聯(lián)立方程，消去x得則，由韋達(dá)定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直線，即.22.已知，分別是橢圓左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)，，是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，．（1）求的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由橢圓得對稱性