2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組4.4解三角形

.4解三角形考點一正弦定理與余弦定理1.(2016課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則b=()A.2B.3C.2D.3答案D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,∵cosA=23,∴3b2-8b-3=0,∴b=3b=-評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了方程的思想方法.2.(2016天津理,3,5分)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,則AC=()A.1B.2C.3D.4答案A在△ABC中,設(shè)A、B、C所對的邊分別為a,b,c,則由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2×3b×-12,即b2+3b-4=0,解得b=1(負(fù)值舍去),即AC=1.評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用和方程思想,屬簡單題.3.(2016課標(biāo)Ⅲ理,8,5分)在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則cosA=(A.31010B.1010C.-10答案C解法一:過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=13BC,則CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在△ABC中,由余弦定理的推論可知,cos∠BAC=AB2+A解法二:過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=13BC,則CD=23BC,在Rt△ADC中,AC=53BC,sin∠DAC=255,cos∠DAC=55,又因為∠B=π4,所以cos∠BAC=cos∠DAC+π4=cos∠DAC·cosπ4-sin∠DAC·sinπ4解法三:過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=13BC,則CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,而AB·AC=(AD+DB)·(AD+DC)=AD2+AD·DC+AD·DB+DB·DC=19BC2-29BC2=-19BC2,所以cos∠BAC=解法四:過A作AD⊥BC,垂足為D,設(shè)BC=3a(a>0),結(jié)合題意知AD=BD=a,DC=2a.以D為原點,DC,DA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB=(-a,-a),AC=(2a,-a),所以|AB|=2a,|AC|=5a,所以cos∠BAC=AB·AC|AB||AC|4.(2016山東文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).則A=()A.3π4B.π3C.π4答案C在△ABC中,由b=c,得cosA=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,又a2評析恰當(dāng)運用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.5.(2015廣東文,5,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32且b<c,則b=(A.3B.22C.2D.3答案C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=23,∴b=2.選C.6.(2014課標(biāo)Ⅱ理,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是12,AB=1,BC=2,則AC=(A.5B.5C.2D.1答案BS△ABC=12AB·BCsinB=12×1×2sinB=∴sinB=22,∴B=45°或135°.若B=45°,則由余弦定理得AC=1,∴△ABC為直角三角形,不符合題意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1×2×-22=5,∴AC=57.(2013課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,則△ABC的面積為(A.23+2B.3+1C.23-2D.3-1答案B由bsinB=csinC又sinA=sin(B+C)=12×22+32×22=2+64.從而S△ABC=12bcsinA=128.(2013課標(biāo)Ⅰ文,10,5分)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=()A.10B.9C.8D.5答案D由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因為A為銳角,所以cosA=15.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-125b,整理得5b解得b=-135(舍)或b=5,故選9.(2024課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

答案34解析本題考查正弦定理及三角函數(shù)求值,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算.在△ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,又B∈(0,π),∴B=3410.(2017課標(biāo)Ⅲ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,則A=.

答案75°解析由正弦定理得3sin60°=6sin又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.易錯警示本題求得sinB=22后,要留意利用b<c確定B=45°,從而求得11.(2017課標(biāo)Ⅱ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=.

答案60°解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC·cosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·a2+c2-b22ac=a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.12.(2016課標(biāo)Ⅱ,理13,文15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=答案21解析由已知可得sinA=35,sinC=1213,則sinB=sin(A+C)=35×513+45×1213=6365,再由正弦定理可得asin13.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,則bc=答案1解析在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,將∠A=2π3,a=3c代入可得(3c)2=b2+c2-2bc·-1整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式兩邊同時除以c2,得2=b2c2+bcc2,即令t=bc(t>0),有2=t2+t,即t2解得t=1或t=-2(舍去),故bc思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程,再將方程轉(zhuǎn)化為以bc為變元的方程求解評析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題.14.(2015福建理,12,4分)若銳角△ABC的面積為103,且AB=5,AC=8,則BC等于.

答案7解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由已知及12bcsinA=103得sinA=32,因為A為銳角,所以A=60°,cosA=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×12=49,評析本題考查了三角形的面積和解三角形,利用三角形的面積求出cosA是求解關(guān)鍵.15.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,則AC=.

答案2解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得∠C=60°,由ABsinC=ACsinB知AC=16.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=3,A=45°,C=75°,則BC=.

答案2解析B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得ACsinB=BCsinA,17.(2015重慶文,13,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-14,3sinA=2sinB,則c=答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×-14=16,18.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2AsinC答案1解析在△ABC中,由余弦定理的推論可得cosA=b2+c2-a22bc=52+6評析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解實力和學(xué)問的應(yīng)用轉(zhuǎn)化實力.19.(2014課標(biāo)Ⅰ理,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為.

答案3解析因為a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化為(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又0<A<π,故A=π3.因為cosA=12=b2+c2-42bc≥2bc-42bc,所以bc≤4,評析本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生對學(xué)問的綜合應(yīng)用實力以及運算求解實力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.20.(2011課標(biāo)文,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為.

答案15解析由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知條件得49=a2+25-2×5×acos120°.整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).∴S△ABC=12acsinB=12×3×5sin120°=評析本題考查余弦定理、解三角形等學(xué)問,依據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)鍵.21.(2016課標(biāo)Ⅱ,13,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=答案21解析由cosC=513,0<C<π,得sinC=12由cosA=45,0<A<π,得sinA=3所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365依據(jù)正弦定理得b=asinBsin22.(2024課標(biāo)Ⅱ文,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2π2+A+cosA=(1)求A;(2)若b-c=33a,證明:△ABC是直角三角形解析(1)由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+1所以cosA-122=0,cosA=12.(2)由正弦定理及已知條件可得sinB-sinC=33由(1)知B+C=2π3,所以sinB-sin2π3-B=即12sinB-32cosB=12,sinB由于0<B<2π3,故B=π2.從而△ABC23.(2017山東文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.解析因為AB·AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=3π4又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-2所以a=29.24.(2016四川文,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAa+cosB(1)證明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65bc,求解析(1)證明:依據(jù)正弦定理,可設(shè)asinA=bsin則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=cosAksinA+cossinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=65依據(jù)余弦定理,有cosA=b2+c所以sinA=1-cos由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+故tanB=sinB方法總結(jié)解三角形中,要依據(jù)題干條件恰當(dāng)選取正、余弦定理,當(dāng)涉及邊較多時,可考慮余弦定理,當(dāng)涉及角較多時,可考慮正弦定理.△ABC中,也常用到sin(A+B)=sinC.評析本題考查了正、余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,依據(jù)條件恰當(dāng)選擇正、余弦定理是解題的關(guān)鍵.25.(2016課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面積為332,求△ABC解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=12,所以C=π3.(6(2)由已知,得12absinC=3又C=π3,所以ab=6.(8分由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周長為5+7.(12分)解后反思本題屬解三角形問題中的常見題型,要先利用正弦、余弦定理,將已知中的“邊”或“角”的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為只有“邊”或只有“角”的方程形式,進而通過三角函數(shù)或代數(shù)學(xué)問求解方程.解題中要留意三角形的一些性質(zhì)應(yīng)用,例如:sin(A+B)=sinC,S△ABC=12評析本題重點考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時,對三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過程中,要留意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運用三角函數(shù)學(xué)問求解.26.(2016浙江理,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若△ABC的面積S=a24,求角A解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2當(dāng)B+C=π2時,A=π當(dāng)C-B=π2時,A=π綜上,A=π2或A=π思路分析(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式將已知條件轉(zhuǎn)化為∠A與∠B的三角函數(shù)關(guān)系,利用A,B的范圍誘導(dǎo)公式得出∠A與∠B的關(guān)系;(2)利用三角形的面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為∠C與∠B的三角函數(shù)關(guān)系,再由∠B,∠C的范圍及誘導(dǎo)公式求∠A的大小.評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)學(xué)問,同時考查運算求解實力.27.(2015課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.(1)求sin∠B(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長解析(1)S△ABD=12AB·ADsin∠S△ADC=12AC·ADsin∠因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.評析本題考查正弦定理,余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式.屬常規(guī)題,中等偏易.28.(2015課標(biāo)Ⅰ文,17,12分)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)設(shè)B=90°,且a=2,求△ABC的面積.解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-(2)由(1)知b2=2ac.因為B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面積為1.(12分)評析本題考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,屬簡單題.29.(2015浙江理,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=π4,b2-a2=12c(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面積為3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以又由A=π4,即B+C=34π,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=255,cosC=又因為sinB=sin(A+C)=sinπ4+C,所以sinB=由正弦定理得c=22又因為A=π4,12bcsinA=3,所以bc=62,評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問,同時考查運算求解實力.30.(2015山東理,16,12分)設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2x+(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面積的最大值解析(1)由題意知f(x)=sin2x2=sin2x2-1-由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-π4+kπ,單調(diào)遞減區(qū)間是π4+kπ,3π(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=由題意知A為銳角,所以cosA=32由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且當(dāng)b=c時等號成立.因此12bcsinA≤2+所以△ABC面積的最大值為2+3評析本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及解三角形等基礎(chǔ)學(xué)問和基本方法,對運算實力有較高要求.屬中等難度題.31.(2015陜西理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面積.解析(1)因為m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,從而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,及a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故△ABC的面積為12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ3從而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面積為12absinC=332.(2014課標(biāo)Ⅱ文,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四邊形ABCD的面積.解析(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.②由①,②得cosC=12,故C=60°,BD=7(2)四邊形ABCD的面積S=12AB·DAsinA+12BC=12=23.評析本題考查余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計算,考查運算求解實力和轉(zhuǎn)化的思想,把四邊形分割成兩個三角形是求面積的常用方法.33.(2014浙江理,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=45,求△ABC的面積解析(1)由題意得1+cos2A2-1+cos2B2=即32sin2A-12cos2A=32sin2A-π由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-π6+2B-π即A+B=2π3所以C=π3(2)由(1)及c=3,sinA=45,asinA=csinC由a<c,得A<C.從而cosA=35故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4+33所以,△ABC的面積為S=12acsinB=8評析本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)學(xué)問,同時考查運算求解實力.34.(2013課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinC·sinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=π4(2)△ABC的面積S=12acsinB=2由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ4又a2+c2≥2ac,故ac≤42-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時因此△ABC面積的最大值為2+1.35.(2012課標(biāo)理,17,12分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面積為3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因為B=π-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面積S=12bcsinA=3,故而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.評析本題考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.敏捷運用正、余弦定理是求解關(guān)鍵.考點二解三角形及其應(yīng)用1.(2024課標(biāo)Ⅲ文,11,5分)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則tanB=(A.5B.25C.45D.85答案C解法一:由余弦定理及cosC=23,AC=4,BC=3,知AB=3,于是cosB=9+9-162×3×3=19>0,所以sinB=459解法二:作BD⊥AC于D,由cosC=23,BC=3,知CD=2,即D為邊AC的中點,所以三角形ABC是等腰三角形,且BD=5于是tanB2=25,故tanB=2×2512.(2024課標(biāo)Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bc=(A.6B.5C.4D.3答案A本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用;考查考生的邏輯思維實力和運算求解實力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算與邏輯推理.由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=3.(2017課標(biāo)Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C=()A.π12B.π6C.π4答案B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),則sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=34由asinA=csinC得22又0<C<π4,∴C=π6,方法總結(jié)解三角形問題首先要熟識正弦定理、余弦定理;其次還要留意應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理,以達到求解三角函數(shù)值時消元的目的,例如本題中sinB=sin(A+C)的應(yīng)用.4.(2014四川文,8,5分)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C如圖,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=603m,在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+5.(2024課標(biāo)Ⅰ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

答案2解析本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及三角形面積的求解.由已知條件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12,又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4∴△ABC的面積S=12bcsinA=12×833×解題關(guān)鍵正確利用正弦定理將“邊”轉(zhuǎn)化為“角”,求出sinA是解決本題的關(guān)鍵.6.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cos∠BDC=.

答案152;解析本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運算求解實力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=AB2+B∵∠ABC為三角形的內(nèi)角,∴sin∠ABC=154∴sin∠CBD=154,故S△CBD=12×2×2×154∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC=14∴2cos2∠BDC-1=14,得cos2∠BDC=5又∠BDC為銳角,∴cos∠BDC=1047.(2015課標(biāo)Ⅰ理,16,5分)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是.

答案(6-2,6+2)解析依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,由正弦定理得2sinα=xsin75°.由題意可知,∠ADC=135°,則∠ADB=135°-α.在△ABD中,由正弦定理得xsin75°=ysin(135°-α).所以ysin因為0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°,當(dāng)α=90°時,易得y=2;當(dāng)α≠90°時,y=2(cosα又tan30°=33,tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45°1-tan60°tan45°=-2-3,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知,1tanα∈(3-2,3),且1tanα≠0,所以y=21tan綜上所述:y∈(6-2,6+2).評析本題考查了三角函數(shù)和解三角形.利用函數(shù)的思想方法是求解關(guān)鍵,屬偏難題.8.(2015重慶理,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC=.

答案6解析依題意知∠BDA=∠C+12∠BAC,由正弦定理得2sin∠BDA=3sinB∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,∴∠C+12∠∴∠BAC=30°,∠C=30°.從而AC=2·ABcos30°=6.9.(2015湖北,理13,文15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛,到A處時測得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

答案1006解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由ABsin∠ACB=得600sin45°=有CB=3002,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=1006,則此山的高度CD=1006m.10.(2014課標(biāo)Ⅰ理,16,5分)如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高MN=m.

答案150解析在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得,ACsin45°=AMsin60°,在Rt△MNA中,AM=1003m,∠MAN=60°,由MNAM=sin60°得MN=1003×32=150m,11.(2011課標(biāo)理,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=3,則AB+2BC的最大值為.

答案27解析設(shè)AC=b=3,AB=c,BC=a,在△ABC中,asinA=bsin∴a=2sinA,c=2sinC,且A+C=120°,∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=4sinC+23cosC=27sin(C+φ),其中sinφ=217,cosφ=2∴φ∈(30°,60°),而C∈(0°,120°),∴φ+C∈(30°,180°),當(dāng)C+φ=90°時,AB+2BC有最大值27.評析本題主要考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)性質(zhì)和公式的應(yīng)用,嫻熟駕馭定理、公式和三角函數(shù)的性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵.12.(2024課標(biāo)Ⅰ文,18,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面積;(2)若sinA+3sinC=22,求解析(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2×3c2×cos150°.解得c1=-2(舍去),c2=2,從而a=23.△ABC的面積為12×23×2×sin150°=3(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+3sinC=sin(30°-C)+3sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=22而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.13.(2024江蘇,16,14分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在邊BC上取一點D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值解析本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運算求解實力.(1)在△ABC中,因為a=3,c=2,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.在△ABC中,由正弦定理bsinB=得5sin45°=2sinC,(2)在△ADC中,因為cos∠ADC=-45,所以∠ADC為鈍角而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C為銳角,故cosC=1-sin2C=255因為cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=1-cotan∠ADC=sin∠ADCcos∠ADC從而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)=-tan∠ADC+tanC1-14.(2024天津,理15,文16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運算求解實力.(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsin又由bsinA=acosB-π6,得即sinB=cosB-π6,可得又因為B∈(0,π),可得B=π3(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6,可得因為a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-解題關(guān)鍵(1)利用正弦定理合理轉(zhuǎn)化bsinA=acosB-π6是求解第(2)由余弦定理及已知條件求得sinA,利用a<c確定cosA>0是求解第(2)問的關(guān)鍵.失分警示(1)由于忽視a<c這一條件,從而導(dǎo)致cosA有兩個值,最終結(jié)果出現(xiàn)增解;(2)由于不能熟記二倍角公式以及兩角差的正弦公式,從而導(dǎo)致結(jié)果出錯.15.(2024北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17(1)求A;(2)求AC邊上的高.解析(1)在△ABC中,因為cosB=-17,所以B∈π2,π,所以sinB=由正弦定理得sinA=a·sinB因為B∈π2所以A∈0,π2,所以(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinB+π3=12sinB+三角形ABC的面積S△ABC=12absinC=63設(shè)AC邊上的高為h,則S△ABC=12bh=12×8·h=6所以h=33即AC邊上的高為33方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時,首先要駕馭正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最終通過解方程求出邊或角.16.(2017天津理,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角的正弦、余弦公式,兩角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問.考查運算求解實力.(1)在△ABC中,因為a>b,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=所以,b的值為13,sinA的值為313(2)由(1)及a<c,得cosA=213所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-5故sin2A+π4=sin2Acosπ4方法總結(jié)1.利用正、余弦定理求邊或角的步驟:(1)依據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形,并在圖中標(biāo)出;(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解;(3)在運算和求解過程中留意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運用.2.解決三角函數(shù)及解三角形問題的滿分策略:(1)仔細(xì)審題,把握變形方向;(2)規(guī)范書寫,合理選擇公式;(3)計算精確,留意符號.17.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問.考查運算求解實力.(1)由asinA=4bsinB,及asinA=bsin由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=b2+c2-(2)由(1),可得sinA=255,得sinB=asinA4由(1)知,A為鈍角,所以cosB=1-sin于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=3故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×-55-35×規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問題時應(yīng)留意:(1)在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更適合或兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地,假如式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;假如式子中含有角的正弦或邊的一次式,要考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮到兩個定理都有可能用到.(2)解三角形問題時應(yīng)留意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍.18.(2016北京理,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求∠B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-又因為0<∠B<π,所以∠B=π4.(6分(2)由(1)知∠A+∠C=3π42cosA+cosC=2cosA+cos3π=2cosA-22cosA+2=22cosA+2=cosA-π4因為0<∠A<3π4所以當(dāng)∠A=π4時,2cosA+cosC取得最大值1.(13分思路分析第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積,明顯用余弦定理求解.第(2)問用三角形內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式,再留意角的取值范圍,問題得解.評析本題考查余弦定理,三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.19.(2016山東理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB(1)證明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)由題意知2sinAcosA+sin化簡得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因為A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.從而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+所以cosC=a2+=38ab+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.故cosC的最小值為12疑難突破利用切化弦將已知等式等價轉(zhuǎn)化,最終轉(zhuǎn)化為三角形三角正弦之間的關(guān)系,從而結(jié)合正弦定理得出三角形三邊之間的關(guān)系.評析本題考查了三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及基本不等式,綜合性較強,重點考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,屬中檔題.20.(2016天津文,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值解析(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32(2)由cosA=13,可得sinA=2則sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA=32sinA+12cosA=思路分析(1)利用正弦定理與二倍角公式將原式轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)式進行求解;(2)利用三角形的性質(zhì)及兩角和的正弦公式求sinC的值.評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問.考查運算求解實力.21.(2015江蘇理,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的長;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×12所以BC=7.(2)由正弦定理知,ABsinC=所以sinC=ABBC·sinA=2sin60°7因為AB<BC,所以C為銳角,則cosC=1-sin2C因此sin2C=2sinC·cosC=2×217×277評析本小題主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式,考查運算求解實力.22.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tanπ4(1)求sin2Asin2(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面積解析(1)由tanπ4+A=2,得tanA=所以sin2Asin2A+cos(2)由tanA=13,A∈(0,π),sinA=1010,cosA=3又由a=3,B=π4及正弦定理asinA=b=35.由sinC=sin(A+B)=sinA+π4得設(shè)△ABC的面積為S,則S=12評析本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問,同時考查運算求解實力.23.(2015天津文,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為315,b-c=2,cosA=-14(1)求a和sinC的值;(2)求cos2A+解析(1)在△ABC中,由cosA=-14,可得sinA=15由S△ABC=12bcsinA=315,得bc=24,又由解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8.由asinA=csinC,(2)cos2A+π6=cos2A·cosπ=32(2cos2A-1)-12×2sinA·cosA=評析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問.考查基本運算求解實力.24.(2015課標(biāo)Ⅱ文,17,12分)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sin∠B(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,因為AD平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C=DC(2)因為∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=33,即∠評析本題考查了正弦定理;考查了解三角形的實力.屬中檔題.25.(2015安徽理,16,12分)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos3π4所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3由題設(shè)知0<B<π4,所以cosB=1-sin2在△ABD中,由正弦定理得AD=AB·sin=3cosB=26.(2014遼寧理,17,12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對