福建省福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

福建省福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題本試卷滿分150，用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A.－2 B.2C.3 D.2或－2【答案】B【解析】【分析】由可得，即可求出公比.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，所以，解得．故選：B．2.假如直線與直線相互垂直，那么實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】通過兩條直線垂直，利用斜率乘積為，即可求解a的值.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，解得.故選：A.3.已知拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，P為拋物線上的隨意一點(diǎn)，，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，結(jié)合拋物線的定義可求答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得．記拋物線的準(zhǔn)線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)P為BA與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．故選：A.4.若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，且從第項(xiàng)起先大于，則公差的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由且聯(lián)立不等式組求得公差的取值范圍．【詳解】解：等差數(shù)列的首項(xiàng)是，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，要使從第10項(xiàng)起先為正，則由，解得：．故選：．5.在正四面體ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意得，．故選：．6.已知是雙曲線左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得到，，結(jié)合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.7.圖①是程陽永濟(jì)橋又名“風(fēng)雨橋”，因?yàn)樾腥诉^往能夠躲避風(fēng)雨而得名．已知程陽永濟(jì)橋上的塔從上往下看，其邊界構(gòu)成的曲線可以看作正六邊形結(jié)構(gòu)，如圖②所示，且各層的六邊形的邊長均為整數(shù)，從內(nèi)往外依次成等差數(shù)列，若這四層六邊形的周長之和為156，且圖②中陰影部分的面積為，則最外層六邊形的周長為（）A.30 B.42 C.48 D.54【答案】C【解析】【分析】設(shè)該圖形中各層的六邊形邊長從內(nèi)向外依次為，，，成等差數(shù)列，這四層六邊形的周長之和為156，由得到的關(guān)系，再依據(jù)陰影部分的面積為，由得到的關(guān)系聯(lián)立求解.【詳解】設(shè)該圖形中各層的六邊形邊長從內(nèi)向外依次為，，，成等差數(shù)列，由題意得，即，所以，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e，所以，聯(lián)立得或（不合題意舍），故，所以最外層六邊形的周長為48．故選：C．8.設(shè)是右焦點(diǎn)為F的橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“成等差數(shù)列”是“”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件 C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，線段長，再利用充分條件、必要條件的定義推斷作答.【詳解】橢圓右焦點(diǎn)的，因點(diǎn)在此橢圓上，，，則，同理，而，，于是得，所以“成等差數(shù)列”是“”的充要條件.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出，，推斷出，得到等差數(shù)列為遞增數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以等差?shù)列為遞增數(shù)列.因?yàn)椋?，，所?故C正確；因?yàn)椋?故D正確.故選：BCD10.已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11.傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來探討數(shù)，他們依據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螒B(tài)把數(shù)分成很多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱為三角形數(shù)，其次行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C.D.，總存在，使得成立【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和，分別求出，，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)求和法逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可得到答案.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，易得；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，易得；對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：令，解得；令，解得.故B正確；對(duì)于：∵，∴，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取，且，則，即，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，平面，則（）A.與所成角為 B.點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)C.三棱錐的體積為 D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】ABD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，，，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，推斷選項(xiàng)A、B；對(duì)于C，利用等體積法求出三棱錐的體積；對(duì)于D：先推斷出平面截正方體所得截面為正六邊形，邊長為.干脆求體積.【詳解】以為原點(diǎn)，，，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則.則.對(duì)于A：設(shè)與所成角為，則，且，所以.故A正確；對(duì)于B：點(diǎn)P在線段上，可設(shè)，所以，所以.設(shè)為面的一個(gè)法向量，所以，不妨設(shè)，則.因?yàn)槠矫?，所以，解得?所以.即點(diǎn)P為線段的中點(diǎn).故B正確.對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離相等.所以.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：分別取，，的中點(diǎn)為，連接.在正方體中，所以所以四點(diǎn)共面.同理可證：共面.在棱長為2的正方體中，所以.同理可求：.所以平面截正方體所得截面為正六邊形，邊長為.面積為.故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．答案請(qǐng)寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為____________．【答案】【解析】【分析】代入向量投影的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，所以向量在方向上的投影?shù)量為.故答案為：.14.在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列中，，則___________.【答案】4【解析】【分析】由條件，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，再對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以，故答案為：4.15.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】首先證明四邊形為矩形，設(shè)，得到方程組，解出即可.【詳解】連接，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，，又，所以四邊形為矩形，設(shè)則由題意得，解得，則，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中一系列格點(diǎn)，其中．且．記，如記為，記為，以此類推．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______；______．【答案】①.44②.【解析】【分析】由題意推得第n圈8n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這8n項(xiàng)的和為0，從而得n圈全部點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和為0，推斷出前22圈共有2024個(gè)數(shù)，可得，從而確定所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則可求得，再求得，即可求得.【詳解】由題意，第一圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知；其次圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，即，以此類推，可得第n圈8n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這8n項(xiàng)的和為0，即n圈全部點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和，設(shè)在第k圈，則，由此可知前22圈共有2024個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故故答案為：四、解答題（本題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫到答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的框格內(nèi)．）17.已知直線：，圓：.（1）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線的傾斜角為45°，求直線被圓截得的弦長.【答案】（1）證明見解析，.（2）.【解析】【分析】對(duì)于（1），將化為即可得答案；對(duì)于（2），由（1）結(jié)合題意可得l方程，求得l到圓C圓心距離，結(jié)合圓半徑可得答案.小問1詳解】：，聯(lián)立解得故直線恒過定點(diǎn).【小問2詳解】由題意直線的斜率，得，∴：圓：，圓心，半徑，圓心到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為.18.已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿意．（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的依次構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1），;（2）11302.【解析】【分析】（1）利用基本量代換列方程組分別求出公差和公比，即可求出和的通項(xiàng)公式；（2）推斷出公共項(xiàng)，利用公式法求和.【小問1詳解】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)樗裕獾茫?，所?設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)樗裕獾茫?，所?【小問2詳解】依據(jù)（1）的結(jié)論，所以數(shù)列的前8項(xiàng)依次為：2、4、8、16、3264、128、256，對(duì)應(yīng)數(shù)列第1、2、4、8、16、32、64、128項(xiàng)，故數(shù)列的前100項(xiàng)為數(shù)列的前107項(xiàng)，剔除數(shù)列的前7項(xiàng)的數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Bn，所以.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易得，再利用通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）易得，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，則，兩式相減得，，∴．20.如圖，四棱錐的底面為正方形，二面角為直二面角，，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)N是線段上靠近B的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.證明出平面，即可得到；（2）取的中點(diǎn),連接.由（1）可知兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn),連接.因?yàn)?所以,所以.又二面角為直二面角,所以平面.因?yàn)槠矫妫?在正方形中,分別為的中點(diǎn),所以△DAO≌△CDM,所以.又,所以,所以.因?yàn)?平面,平面,所以平面.又平面,所以.【小問2詳解】取的中點(diǎn),連接.由（1）可知兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)則.所以.則設(shè)平面的一個(gè)法向量.則，不妨設(shè)則設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.21.若橢圓過拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）不過原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為【解析】【分析】(1)依據(jù)拋物線和雙曲線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的的關(guān)系求解；(2)利用韋達(dá)定理求出弦長，再利用點(diǎn)到直線距離公式為三角形的高即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，所以解得，由韋達(dá)定理可得，由弦長公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.22.設(shè)以的邊為長軸且過點(diǎn)的橢圓的方程為橢圓的離心率，面積的最大值為，和所在的直線分別與直線相交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)與的外接圓的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分