湖北省重點高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題含解析

Page22湖北省重點中學(xué)智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題一、單項選擇題1.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】探討m的取值，寫出A，使其滿意條件即可.【詳解】時，，，，所以即；時，，，不行能；時，，，不行能.故選：C.2.已知向量、滿意，，，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】利用，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，又，，∴，即，解得.故選：B3.在中，已知，則的形態(tài)肯定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角的正弦公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】依據(jù)正弦定理，由，因為，所以，所以有，或，或，當(dāng)時，有，此時有，即，所以此時該三角形是等腰直角三角形；當(dāng)時，即，所以此時三角形是直角三角形；當(dāng)時，即，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去，綜上所述：的形態(tài)肯定是直角三角形，故選：B4.已知函數(shù)f(x)=|x-a+3|,A.0<a<1 B.3<a<6C.1<a≤4 D.1<a≤2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)肯定值函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)f(∴，解得1<a≤4，∴實數(shù)a的取值范圍為（1，4]，故選：C．5.已知三邊??上的高分別為??，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)面積為，分別將三角形的邊用表示，利用余弦定理得出．【詳解】設(shè)面積為，，，，則，故選：C.6.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干撓的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬，而將信噪比從1000提升至2000，則大約增加了（）A.10% B.30% C.50% D.100%【答案】A【解析】【分析】依據(jù)香農(nóng)公式，分別寫出信噪比為1000和2000時的傳遞速率為和，兩者相比，再依據(jù)對數(shù)運算即可估計得答案.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，則又，依據(jù)選項分析，所以信噪比從1000提升至2000，則大約增加了10%.故選：A.【點睛】本題考查學(xué)問的遷移應(yīng)用，考查對數(shù)的運算，是中檔題.7.設(shè)函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先令，求得或，再依據(jù)題意嘗試的值可確定，進(jìn)而得到的4個零點，結(jié)合題意解除其中1個零點有兩種狀況，分別求之即可得到的取值范圍.【詳解】∵，即，∴或，，∴或，，∵，即，∴當(dāng)時，且，即全部根都小于零，當(dāng)時，且，即全部根都大于，綜上：，即在內(nèi)的三個零點為，，，中的三個.由于上述4個值是依次從小到大排列，且，故有兩種狀況，分別：，解得，故，或，解得，故，故或，即.故選：D．8.直線與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點的橫坐標(biāo)依次是、、，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用轉(zhuǎn)化法推斷兩條曲線的交點個數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)畫出兩個函數(shù)圖象，最終利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，則有，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，而，如下圖所示：因此曲線的交點只有一個，因此曲線和只有一個交點，,當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，且，圖象如下圖所示，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，圖象如下圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過曲線和唯一的公共點時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點，如上圖所示，則有，且，①對上式同構(gòu)可得：，∵，且函數(shù)在單調(diào)遞增，∴，②又∵，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴③由方程②③可得：，再結(jié)合方程①可得：．故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：用轉(zhuǎn)化法推斷曲線、的交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵.二、多項選擇題9.已知，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最小值為5 D.若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】BC【解析】【分析】A：兩向量平行，成數(shù)乘關(guān)系，坐標(biāo)成比例；B：兩向量垂直，數(shù)量積為零；C：當(dāng)兩向量同向時，它們差的模最??；D：兩向量夾角為鈍角時，數(shù)量積為負(fù)且夾角不能為18°.【詳解】由，得，A不正確；由，得，，B正確；，當(dāng)時，取得最小值5，C正確；當(dāng)時，即，得，當(dāng)與反向時，，故若向量與向量夾角為鈍角，則，或，D不正確.故選：BC.10.下列命題正確的是（）A.直線是曲線的一條切線B.在中，“”是“”的充要條件C.命題“，”的否定為“，”D.，【答案】BCD【解析】【分析】A選項，求導(dǎo)，設(shè)出切點，利用直線斜率列出方程，求出切點坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；B選項，結(jié)合正弦定理，先證明充分性，再證明必要性；C選項，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把隨意改為存在，再把結(jié)論否定；D選項，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】定義域為，，設(shè)切點為，令，解得：或（舍去），所以切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，所以不是曲線的切線，A錯誤；在中，，則由大角對大邊得，由正弦定理得：，因為，所以，充分性成立，在中，，由正弦定理得：，所以，由大邊對大角可知：，必要性成立，故B正確；命題“，”的否定為“，”，C正確；由誘導(dǎo)公式可得，，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，以下結(jié)論不正確的是（）A.是函數(shù)的一個周期B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)在內(nèi)有6個零點【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)推斷選項A錯誤；對于B，當(dāng)將化簡，然后檢驗即可；對于C，求出函數(shù)在一個周期的值域，先求當(dāng)，再求當(dāng)?shù)闹涤蚣纯赏茢?；對于D，依據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可通過區(qū)間上零點個數(shù)從而確定其零點個數(shù).【詳解】對于A：因為，所以，，因為，所以不是函數(shù)的一個周期，即選項A錯誤；對于B：當(dāng)時，，其中，，不妨設(shè)為銳角，則，因為，所以，因為，所以函數(shù)在無單調(diào)性，即選項B錯誤；對于C：因為是函數(shù)的一個周期，可取一個周期上探討值域，當(dāng)，，其中，，不妨設(shè)為銳角，則，則，所以，即；又因為是偶函數(shù)，所以當(dāng)時，，故函數(shù)在上的值域為，故選項C正確；對于D：當(dāng)，令，得，即，只有1個解；當(dāng)，令，得，即，只有1個解；所以在上有2個零點，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)有4個零點，即選項D錯誤.故選：ABD．12.函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先推斷函數(shù)零點的個數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而逐一推斷選項.【詳解】明顯有唯一零點，故D錯誤；，，∴在上單減，上單增，∴，且時，時，故當(dāng)時，，單增，選項A可能；當(dāng)時，存在兩個零點，在和上單增，上單減，選項B可能；當(dāng)時，存在唯一零點，在上單增，在上單減，選項C可能．故選:ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)圖像的推斷關(guān)鍵在求出導(dǎo)函數(shù)，用極限思想推斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性.三、填空題13.角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義列式，求得m,再依據(jù)正切函數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】由題意角的終邊經(jīng)過點，且，可知，則，解得，所以，故答案為：14.化簡____________【答案】2【解析】【分析】結(jié)合、換底公式化簡計算即可【詳解】原式.故答案為：2.15.已知，則函數(shù)的值域為______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)化簡為，再結(jié)合雙勾函數(shù)即可得出答案.【詳解】因為，所以，，令，由雙勾函數(shù)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.故答案為：.16.若函數(shù)在上存在唯一的零點，若函數(shù)在上存在唯一的零點，且，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因為，所以，因此，所以單調(diào)遞增，故，因為在上存在唯一的零點，所以有；由，由函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，要想，只需，綜上所述：．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點的定義是解題的關(guān)鍵.四、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項公式；利用累加法可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）問結(jié)論求出，然后利用裂項相消求和法，求出的和即可證明原不等式.【小問1詳解】解：由，得，所以又由，得，滿意，所以，而，所以，所以；【小問2詳解】證明：因為，所以.18.如圖，矩形所在平面與所在平面垂直，，．（1）證明：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值是，且直線與平面所成角的正弦值是，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)和平行關(guān)系可證得，，由線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）方法一：由面面垂直性質(zhì)可證得平面，過點作，由線面角和面面角的定義可知，，由此可求得，由異面直線所成角的定義可知所求角為，由可求得所求余弦值；方法二：以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用線面角和面面角的向量求法可求得的值，利用異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】四邊形為矩形，；，即，又，，，平面，平面.【小問2詳解】方法一：平面平面，平面平面，，平面，平面，則即為直線與平面所成的角，，過點作，則平面平面，由（1）可得：面，，，平面與平面夾角為，，又，，則，，，，又異面直線與所成的角為，，即異面直線與所成角的余弦值為．方法二：由（1）可得：，，，以點為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，面，平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，解得：；平面，平面的一個法向量；，解得：，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.19.年月日晩，中國女排在世錦賽小組賽第三輪競賽中，又一次以的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排，沖上了熱搜榜第八位，令國人激昂！同學(xué)們，你們知道排球競賽的規(guī)則和積分制嗎？其規(guī)則是：每場競賽采納“局勝制”（即有一支球隊先勝局即獲勝，競賽結(jié)束）．競賽排名采納積分制，積分規(guī)則如下：競賽中，以或取勝的球隊積分，負(fù)隊積分；以取勝的球隊積分，負(fù)隊積分．已知甲、乙兩隊競賽，甲隊每局獲勝的概率為．（1）假如甲、乙兩隊競賽場，求甲隊的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假如甲、乙兩隊約定競賽場，求兩隊積分相等的概率．【答案】（1）分布列答案見解析，（2）【解析】【分析】（1）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值；（2）設(shè)第場甲、乙兩隊積分分別為、，分析可得，利用獨立事務(wù)和互斥事務(wù)的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【小問1詳解】解：隨機(jī)變量的全部可能取值為、、、，，，，，所以的分布列為所以數(shù)學(xué)期望.小問2詳解】解：記“甲、乙兩隊競賽兩場后，兩隊積分相等”為事務(wù)，設(shè)第場甲、乙兩隊積分分別為、，則，、，因兩隊積分相等，所以，即，則，所以．20.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的角平分線交于點．若恰好為函數(shù)的最大值，且此時，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用平面對量加法、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、二倍角公式、協(xié)助角公式得到，再利用周期公式進(jìn)行求解；（2）先利用恰好為的最大值求得，利用正弦定理得到、和，再利用基本不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】∵，，∴，∴則的最小正周期為；【小問2詳解】由恰好為的最大值，得，即，∵，所以，則；在中，由，得，在中，由，可得，∴；在中，由，得，解得，，，∵，，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立）故的最小值為．21.已知直線：與橢圓：相切于點，與直線：相交于點（異于點）．（1）求點的坐標(biāo)；（2）直線交于點，兩點，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）通過解方程組進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合橢圓弦長公式、相像三角形判定定理進(jìn)行運算證明即可.【小問1詳解】解：，消得：，解得：，故；【小問2詳解】聯(lián)立，解之得：聯(lián)立，消得：，由題可得：，∴，．，，，，∴，又，∴．【點睛】關(guān)鍵點睛：結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，運用橢圓的弦長公式是解題的關(guān)鍵.22.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若隨意，，求的取值范圍．【答案】（1）遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為（2）．【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，則在上單增，令，解得，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：設(shè)，轉(zhuǎn)化為求，求，得出的單調(diào)性，即可得出答案.方法二：，恒成立等價于恒成立．設(shè)，求，分類探討，，，得出的單調(diào)性，即可得出答案.【小問1詳解】，∵，∴在上單增，