上海市黃浦區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

Page17上海市黃浦區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【詳解】由題設(shè)有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，填?.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用數(shù)軸法求集合的并運(yùn)算.【詳解】如圖所示，則.故答案為：.3.在的二項(xiàng)綻開式中，的系數(shù)是________【答案】80【解析】【分析】寫出綻開式的通項(xiàng)公式，利用公式即可得答案.【詳解】由題意得：，當(dāng)時(shí)，∴的系數(shù)是80.故答案為：804.已知向量，，若，則mn的值為______.【答案】-2【解析】【分析】運(yùn)用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可.【詳解】∵，∴，解得：，，∴.故答案為：.5.已知復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得.【詳解】因?yàn)椋瑒t，.故答案：.6.某個(gè)品種的小麥麥穗長(zhǎng)度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】10.8【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12個(gè)，所以，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.故答案為：10.87.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓交于點(diǎn)，則的值為______.【答案】##0.28.【解析】【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，所以.故答案為：.8.若一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.9.已知的三邊長(zhǎng)分別為4、5、7，記的三個(gè)內(nèi)角的正切值所組成的集合為，則集合中的最大元素為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，依據(jù)余弦定理確定三角形最大角角為鈍角，利用大邊對(duì)大角及正確函數(shù)性質(zhì)，可知三個(gè)內(nèi)角的正切值最大為，再利用余弦定理及同角三角關(guān)系即可求得得值.【詳解】不妨設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，則由大邊對(duì)大角可得，所以最大角為，由余弦定理得：，又，故角為鈍角，所以，又函數(shù)在上遞增，此時(shí)，在上遞增，此時(shí)，所以三個(gè)內(nèi)角的正切值最大為，由余弦定理得：，則，所以.故答案為：.10.現(xiàn)有5人參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束，包含的狀況有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．則概率為；考點(diǎn)：相互獨(dú)立事務(wù)及互斥事務(wù)概率算法．11.已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為______.【答案】10【解析】【分析】運(yùn)用向量共線、向量垂直畫圖，運(yùn)用平行線性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可得、，再運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算及幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以A、D、E三點(diǎn)共線，且，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以B、E、F三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以，如圖所示，設(shè)，則，所以，解得：，所以在上的數(shù)量投影為.故答案為：10.12.已知曲線與曲線，長(zhǎng)度為1的線段AB的兩端點(diǎn)A、B分別在曲線、上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A從點(diǎn)起先運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則線段AB所掃過(guò)的區(qū)域的面積為______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)已知條件知，曲線與曲線是兩個(gè)半圓，分別求出起點(diǎn)、終點(diǎn)處時(shí)A、B的坐標(biāo)，可得線段AB掃過(guò)的面積，進(jìn)而通過(guò)三角形面積公式及扇形面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)、分別為A、B點(diǎn)的起點(diǎn)，、分別為A、B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)，則圖中陰影部分即為線段AB掃過(guò)的面積.如圖所示，則，，設(shè)，，∵曲線方程：，曲線方程：，，即：，，即：，記為圓的面積，為圓的面積，為與、圍成的面積，為與、圍成的面積，為上半圓環(huán)的面積，為線段AB掃過(guò)的面積.則，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所?故答案為：.二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程的特征計(jì)算得m的范圍，再由集合的包含關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】∵表示雙曲線，∴.∴是表示雙曲線的充要條件.故選：C.14.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.平面平面ABNC.直線GB與AM是異面直線 D.直線GB與平面AMD無(wú)公共點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，證明推斷A；利用線面、面面平行的判定推理推斷B；取DM中點(diǎn)O，證得四邊形是梯形推斷CD作答.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，取中點(diǎn)，連接，如圖，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，則，且，于是四邊形是平行四邊形，，在正方形中，，則，因此四邊形為平行四邊形，，而，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，有，所以，A正確；因?yàn)椋矫?，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面ABN，B正確；取DM中點(diǎn)O，連接，則有，即四邊形為梯形，因此直線必相交，而平面AMD，于是直線GB與平面AMD有公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤；明顯點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，直線平面，點(diǎn)直線，所以直線GB與AM是異面直線，C正確.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.15.已知，且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用整體思想法，求得的范圍，再運(yùn)用正弦函數(shù)圖象分析即可.【詳解】∵，，∴，又∵在恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，∴由正弦函數(shù)圖象可知，，解得：.故選：B.16.設(shè)a、b、c、p為實(shí)數(shù)，若同時(shí)滿意不等式、與的全體實(shí)數(shù)x所組成的集合等于.則關(guān)于結(jié)論：①a、b、c至少有一個(gè)為0；②.下列推斷中正確的是（）A.①和②都正確 B.①和②都錯(cuò)誤C.①正確，②錯(cuò)誤 D.①錯(cuò)誤，②正確【答案】D【解析】【分析】分類探討探討一元二次不等式的解集即可.【詳解】對(duì)于①假設(shè)、、，則三個(gè)不等式解集為，不符合題意，所以“、、至少有一個(gè)為0”是錯(cuò)誤的.對(duì)于②，由題意知，、、三個(gè)都不小于0，當(dāng)，，時(shí)，解集為R，解集為，解集為，所以三個(gè)集合交集為；當(dāng)，，時(shí)，解集為，解集為，解集為R，所以三個(gè)集合交集為；當(dāng)，，時(shí)，解集為，解集為，解集為R，所以三個(gè)集合交集為；同理可得：當(dāng)，，時(shí)，當(dāng)，，時(shí)，當(dāng)，，時(shí)，三個(gè)集合交集也是；當(dāng)，，時(shí)，若有兩個(gè)不同的根，設(shè)的兩根為、，則，，所以且，所以解集為或，只有一個(gè)根時(shí)，解集為，無(wú)根時(shí)，解集為R，所以集合的交集為，與題意不符，綜述：、、中有一個(gè)為0且另外兩個(gè)大于0或、、中有兩個(gè)為0且另外一個(gè)大于0，.故選：D.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.（2）運(yùn)用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.即:數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.18.如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且直線又棱為的中點(diǎn)，(Ⅰ)求證：直線；(Ⅱ)求直線與平面的正切值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】試題分析：（1）由線面垂直的判定定理證明，EA⊥AB，EA⊥PA，得EA⊥平面PAB；（2）∠AEP為直線AE與平面PCD所成角，所以．試題解析：解：（1）證明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED為直角Rt△，又∵AB∥CD,∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB；（2）如圖所示，連結(jié)PE，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥PE于H點(diǎn).∵CD⊥EA,CD⊥PA，∴CD⊥平面PAE,又∵AH?平面PAE，∴AH⊥CD，又AH⊥PE,PE∩CD=E,PE?平面PCD,CD?平面PCD,∴AH⊥平面PCD,∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成角.在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=,∴.【詳解】19.某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽視不計(jì)，長(zhǎng)度可變）把這四個(gè)展館連在一起，其中百米，百米，且.（1）試從各段步道的長(zhǎng)度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長(zhǎng)y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求步道的最短總長(zhǎng)度（精確到0.01百米）.【答案】（1）答案見解析（2）18.39百米【解析】【分析】（1）若設(shè)百米，運(yùn)用勾股定理表示、，進(jìn)而寫出y與x的關(guān)系式；若設(shè)，運(yùn)用三角函數(shù)表示、、，進(jìn)而寫出y與x的關(guān)系式；（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點(diǎn)M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因?yàn)?，所?若設(shè)，則，，，則，解得，又因?yàn)椋?，所以?【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得微小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長(zhǎng)度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得微小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長(zhǎng)度約為18.39百米.20.已知橢圓的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.動(dòng)直線、都過(guò)點(diǎn)，斜率分別為k、，與橢圓C交于點(diǎn)A、P，與橢圓C交于點(diǎn)B、Q，點(diǎn)P、Q分別在第一、四象限且軸.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：；（3）求直線AB的斜率的最小值，并求直線AB的斜率取最小值時(shí)的直線的方程.【答案】（1）（2）證明見解析（3），【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，分別求出a、b、c的值即可.（2）依據(jù)兩個(gè)斜率的關(guān)系式求得，由兩點(diǎn)間距離公式求得、即可.（3）聯(lián)立直線與橢圓方程解得、，代入直線AB的斜率公式再應(yīng)用基本不等式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為2c，則由，且，可得，，所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，，可得，解得，又，，所以.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，直線，的方程分別為，，由（2）知，所以，又m，均大于0，可知，由可得，所以，即，同理可得，直線AB的斜率為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在橢圓C上，所以，又，可得，所以直線AB的斜率的最小值為，且當(dāng)直線AB的斜率取最小值時(shí)的直線的方程為.21.已知集合A和定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)隨意，，都有，則稱是關(guān)于A的同變函數(shù).（1）當(dāng)與時(shí)，分別推斷是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若是關(guān)于的同變函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，試求在上的表達(dá)式，并比較與的大??；（3）若n為正整數(shù)，且是關(guān)于的同變函數(shù)，求證：既是關(guān)于的同變函數(shù)，也是關(guān)于的同變函數(shù).【答案】（1）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的同變函數(shù)；當(dāng)時(shí)，不是關(guān)于的同變函數(shù)，理由見解析.（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，運(yùn)用定義證明即可；當(dāng)時(shí)，舉反例說(shuō)明即可.（2）由定義推導(dǎo)出是以2為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可得在解析式，再運(yùn)用作差法后運(yùn)用換元法探討函數(shù)的最值來(lái)比較與的大小.（3）運(yùn)用定義推導(dǎo)出是以為周期的周期函數(shù)，再用定義分別證明與兩種狀況即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的，，，由，可得，又，所以，故是關(guān)于的同變函數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在，，使得，即，所以不是關(guān)于的同變函數(shù).【小問(wèn)2詳解】由是關(guān)