四川省眉山市仁壽第一中學校北校區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷（含答案）

仁壽一中北校區(qū)2022級高二上期末考試數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.某校進行定點投籃訓練，甲、乙、丙三個同學在固定的位置投籃，投中的概率分別，，，已知每個人投籃互不影響，若這三個同學各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.4.若直線與直線關(guān)于點對稱，則直線恒過的定點為（）A. B. C. D.5.若等軸雙曲線過點，則雙曲線的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B. C. D.26.已知空間直角坐標系中的點，，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.7.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板（不含天心石）3402塊，則中層共有扇面形石板（）A.1125塊 B.1134塊 C.1143塊 D.1152塊8.橢圓具有如下的光學性質(zhì)：由橢圓一焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點，已知橢圓，從一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點反射后經(jīng)過另一個焦點，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知a，b，c為非零實數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件B.是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件C.若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列10.下列說法中正確的是（）A.方程表示的曲線是圓B.橢圓的長軸長為2，短軸長為C.雙曲線的漸近線方程為D.拋物線的準線方程是11.如圖，三棱柱是各條棱長均等于1的正三棱柱，D，E，F(xiàn)，G分別為，，，的中點，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.異面直線與所成角為 D.直線與平面所成角的正弦值為12.已知曲線，直線，點為曲線上的動點，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點B.當時，直線被曲線截得的弦長為C.若直線與曲線有兩個交點，則的范圍為D.當時，點到直線距離的最小值為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，，且，則_______.14.甲、乙兩人約定進行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是_______.15.如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度為6米，拱高（圓拱最高點到水面的距離）為1米，旱季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到_______米.16.一小孩玩拋硬幣跳格子游戲，規(guī)則如下：拋一枚硬幣，若正面朝上，往前跳兩格，若反面朝上，往前跳一格.記跳到第n格可能有種情況，的前項和為，則_______.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求等差數(shù)列的首項和公差d；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其前項和.18.已知圓過點，圓心在直線上，且圓與軸相切.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線l與圓相交于A、B兩點，若為直角三角形，求直線l的方程.19.為普及法律知識，弘揚憲法精神，某校教師舉行法律知識競賽.比賽共分為兩輪，即初賽和決賽，決賽通過后將代表學校參加市級比賽.在初賽中，已知甲教師晉級決賽的概率為，乙教師晉級決賽的概率為a.若甲、乙能進入決賽，在決賽中甲、乙兩人能勝出的概率分別為和.假設(shè)甲、乙初賽是否晉級和在決賽中能否勝出互不影響.（1）若甲、乙有且只有一人能晉級決賽的概率為，求的值：（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽的概率.20.世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美，譬如紙飛機、蝴蝶的翅膀等.在中，，.將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示.（1）求證：；（2）當三棱錐體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值.21.已知拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點恰在拋物線的準線上.（1）求拋物線的方程：（2）是拋物線上橫坐標為的點，過點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于A，B兩點，證明：直線恒經(jīng)過某一定點，并求出該定點的坐標.22.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程：（2）設(shè)A、B分別為雙曲線的左、右頂點，若過點的直線交雙曲線的右支于M、N兩點，設(shè)直線、的斜率分別為、，是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由.

仁壽一中北校區(qū)高二上期末考試數(shù)學試卷參考答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.A2.B3.B4.C5.A6.D7.B8.D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.AC10.CD11.ABD12.BC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.14.15.816.87四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）17.【小問1解析】解：由題意可得，解得.【小問2解析】證明：由（1）可知，所以，故.當時，；當時，，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為.所以等差數(shù)列的前項和.18.【小問1解析】由題意，設(shè)圓心，由于圓與軸相切.半徑，所以設(shè)圓方程為，又圓過點，，解得，圓方程為.【小問2解析】由圓方程易知直線的斜率存在，故設(shè)，即，設(shè)到的距離為，則，為直角三角形，，，或，故直線得方程為或.19.【小問1解析】設(shè)事件A表示“甲在初賽中晉級”，事件表示“乙在初賽中晉級”，由題意可知，，解得.【小問2解析】設(shè)事件為“甲、乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，為“甲能參加市級比賽”，為“乙能參加市級比賽”，則，，所以.20.【小問1解析】取的中點，連接，，由題意可知，，所以，；因為，，平面，所以平面；因為平面，所以.【小問2解析】由題意可知三棱錐的體積最大時，平面平面；在平面內(nèi)作出，且與的延長線交于點，連接；因為平面平面，平面平面，，所以平面；根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點可知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為，，所以，；，，，；，.設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，則；易知平面的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則.所以平面和平面的夾角的余弦值為.21.【小問1解析】解：由已知得，設(shè)，則中點為，、關(guān)于直線對稱，點在直線上，，解得，即.又由，得直線的斜率，，解得，.【小問2解析】證明：設(shè)直線