《奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列的求解問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

《奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列的求解問題》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)內(nèi)容】奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1.識(shí)別奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列的標(biāo)識(shí)性特征。2.掌握奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列的解題思路。【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列的解決方法?！窘虒W(xué)過程】一、問題引入：引題：已知數(shù)列滿足且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=_________.分析：從遞推關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，這是一種隔項(xiàng)遞推關(guān)系，即通過，可以得到，，...，同理，通過，可以得到，，...，不難猜出通項(xiàng)公式是所謂奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列就是數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各具有自己的規(guī)律的數(shù)列問題。對(duì)于引題，學(xué)生一般通過列舉前幾項(xiàng)得出的結(jié)果，缺乏一般性的解決方法，下面通過例1說明處理此類問題的通用方法和解題過程。例題分析：例１已知數(shù)列滿足且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由知，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，綜合可得,數(shù)列的通項(xiàng)公式為．解：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，小結(jié)：有隔項(xiàng)遞推關(guān)系的數(shù)列是一種典型的奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列，可以分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別研究其通項(xiàng)公式，再以分段函數(shù)的形式或合并的形式寫出結(jié)果；奇偶項(xiàng)遞推關(guān)系數(shù)列求和時(shí)，往往也要分n取奇數(shù)偶數(shù)兩種情況來討論。例2已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.解：(1)依題意得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a2＋3＝5.∵bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，∴bn＋1＝bn＋3，∴bn＋1－bn＝3，∴{bn}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，∴bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. （2）解：由(1)可知a2＋a4＋a6＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝eq\f(10×2＋29,2)＝155.∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝a2－1＋a4－1＋…＋a20－1＝155－10＝145.∴S20＝155＋145＝300.小結(jié)：數(shù)列的遞推關(guān)系是一種鄰項(xiàng)遞推關(guān)系，分段給出，同時(shí)出現(xiàn)了與奇偶相關(guān)的條件，解題思路是利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，也就是隔項(xiàng)遞推關(guān)系，再利用隔項(xiàng)遞推關(guān)系求出奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)其中一個(gè)通項(xiàng)公式，另一個(gè)可直接由鄰項(xiàng)遞推公式求出。變式：為等差數(shù)列，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為．由得則由得所以（2）證明：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，，因此.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，因此.綜上，當(dāng)時(shí)，.三、總結(jié)歸納：常見奇偶項(xiàng)數(shù)列的四大類型出現(xiàn)隔項(xiàng)遞推公式標(biāo)志是出現(xiàn)型的遞推關(guān)系解題思路：由隔項(xiàng)遞推關(guān)系分別求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，然后采用分段函數(shù)形式或合并形式寫出通項(xiàng)。2.出現(xiàn)鄰項(xiàng)遞推公式，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)與奇偶相關(guān)的條件標(biāo)志是出現(xiàn)分段形式給出的遞推關(guān)系解題思路：①根據(jù)條件找到隔項(xiàng)遞推關(guān)系；由隔項(xiàng)遞推關(guān)系求出奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)其中一個(gè)的通項(xiàng)公式后，另一個(gè)可直接由鄰項(xiàng)遞推關(guān)系求出。3.數(shù)列中出現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題標(biāo)志：或解題思路：構(gòu)造與上式作差可得隔項(xiàng)遞推公式，然后借鑒類型一的思路解決；型的遞推數(shù)列也是采用類似的思路解決.4..含有型擺動(dòng)數(shù)列標(biāo)志：遞推公式中出現(xiàn)數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題實(shí)質(zhì)上是分段函數(shù)問題，處理的關(guān)鍵在于分類討論