《奇偶項遞推關系數(shù)列的求解問題》教學設計

《奇偶項遞推關系數(shù)列的求解問題》教學設計【教學內(nèi)容】奇偶項遞推關系數(shù)列?！緦W習目標】1.識別奇偶項遞推關系數(shù)列的標識性特征。2.掌握奇偶項遞推關系數(shù)列的解題思路?！緦W習重難點】奇偶項遞推關系數(shù)列的解決方法?！窘虒W過程】一、問題引入：引題：已知數(shù)列滿足且，，則數(shù)列的通項公式=_________.分析：從遞推關系可以發(fā)現(xiàn)，這是一種隔項遞推關系，即通過，可以得到，，...，同理，通過，可以得到，，...，不難猜出通項公式是所謂奇偶項遞推關系數(shù)列就是數(shù)列中的奇數(shù)項和偶數(shù)項各具有自己的規(guī)律的數(shù)列問題。對于引題，學生一般通過列舉前幾項得出的結果，缺乏一般性的解決方法，下面通過例1說明處理此類問題的通用方法和解題過程。例題分析：例１已知數(shù)列滿足且，（1）求數(shù)列的通項公式（2）求數(shù)列的前項和解：（1）由知，所以，數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列．當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，綜合可得,數(shù)列的通項公式為．解：當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，小結：有隔項遞推關系的數(shù)列是一種典型的奇偶項遞推關系數(shù)列，可以分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別研究其通項公式，再以分段函數(shù)的形式或合并的形式寫出結果；奇偶項遞推關系數(shù)列求和時，往往也要分n取奇數(shù)偶數(shù)兩種情況來討論。例2已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列通項公式；（2）求的前20項和.解：(1)依題意得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a2＋3＝5.∵bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，∴bn＋1＝bn＋3，∴bn＋1－bn＝3，∴{bn}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，∴bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. （2）解：由(1)可知a2＋a4＋a6＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝eq\f(10×2＋29,2)＝155.∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝a2－1＋a4－1＋…＋a20－1＝155－10＝145.∴S20＝155＋145＝300.小結：數(shù)列的遞推關系是一種鄰項遞推關系，分段給出，同時出現(xiàn)了與奇偶相關的條件，解題思路是利用已知的關系得到奇數(shù)項或偶數(shù)項的遞推關系，也就是隔項遞推關系，再利用隔項遞推關系求出奇數(shù)項或偶數(shù)項其中一個通項公式，另一個可直接由鄰項遞推公式求出。變式：為等差數(shù)列，記，分別為數(shù)列，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．（1）解：設等差數(shù)列的公差為．由得則由得所以（2）證明：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，當為偶數(shù)且時，，因此.當為奇數(shù)時，.當為奇數(shù)且時，，因此.綜上，當時，.三、總結歸納：常見奇偶項數(shù)列的四大類型出現(xiàn)隔項遞推公式標志是出現(xiàn)型的遞推關系解題思路：由隔項遞推關系分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，然后采用分段函數(shù)形式或合并形式寫出通項。2.出現(xiàn)鄰項遞推公式，同時會出現(xiàn)與奇偶相關的條件標志是出現(xiàn)分段形式給出的遞推關系解題思路：①根據(jù)條件找到隔項遞推關系；由隔項遞推關系求出奇數(shù)項或偶數(shù)項其中一個的通項公式后，另一個可直接由鄰項遞推關系求出。3.數(shù)列中出現(xiàn)連續(xù)兩項和或積的問題標志：或解題思路：構造與上式作差可得隔項遞推公式，然后借鑒類型一的思路解決；型的遞推數(shù)列也是采用類似的思路解決.4..含有型擺動數(shù)列標志：遞推公式中出現(xiàn)數(shù)列中的奇偶項問題實質(zhì)上是分段函數(shù)問題，處理的關鍵在于分類討論