中考數(shù)學-綜合與實踐-重點考點解析

——中考數(shù)學綜合與實踐注：綜合與實踐題均為3問，分值為12分．第(1)(2)問為問題探究階段，一般考查簡單尺規(guī)作圖或計算，第(3)問為問題解決階段，結(jié)合前兩問的結(jié)論解決問題．類型一面積平分問題(2017、2013、2010.25)【類型解讀】面積平分問題近10年涉及3次，題目所給圖形：若在第(1)(2)問涉及則結(jié)合常見圖形，如等腰三角形、平行四邊形、矩形、正方形，若在第(3)問則結(jié)合一般四邊形．考查點：圖形面積二等分和四等分問題．考查形式：過圖形上一點或圖形內(nèi)一點作直線平分圖形的面積．針對訓練【滿分技法】鏈接至P64、P119“微專題”．針對訓練1.問題探究(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，請你過點A作一條直線AD，其中點D為BC上一點，使直線AD平分△ABC的面積；(2)如圖②，點P為?ABCD外一點，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，請過點P作一條直線l，使其平分?ABCD的面積，并求出?ABCD的面積；問題解決(3)如圖③，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是李爺爺家一塊土地的示意圖，其中OA∥BC，點P處有一個休息站點(占地面積忽略不計)，李爺爺打算過點P修一條筆直的小路l(路的寬度不計)，使直線l將四邊形OABC分成面積相等的兩部分，分別用來種植不同的農(nóng)作物．已知點A(8，8)、B(6，12)、P(3，6)．你認為直線l是否存在？若存在，求出直線l的表達式；若不存在，請說明理由．第1題圖2.問題探究(1)請在圖①中作兩條直線，使它將半圓O的面積三等分；(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，請在圖②中過點A作兩條直線，使它們將矩形ABCD的面積三等分，并說明理由；問題解決(3)如圖③，李師傅有一塊平行四邊形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A處有一用來灌溉的水源．李師傅現(xiàn)準備修兩條筆直的小路將菜地面積三等分后給自己的三個兒子，要求三個兒子能在灌溉時共用A處水源，那么李師傅能否實現(xiàn)自己的想法？若能，請通過計算、畫圖說明；若不能，請說明理由．第2題圖3.(2019西安蓮湖區(qū)模擬)問題提出(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究(2)如圖②，點A、B在直線a上，點M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；解決問題(3)如圖③，劉老伯有一塊箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在邊AC上存在一點P，使得過B、P兩點修一道筆直的墻(墻的寬度不計)，將這塊養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達式；若不存在，請說明理由．第3題圖4.問題探究(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，作一條直線平分四邊形ABCD的面積；(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是AB、CD的中點，通過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；問題解決(3)如圖③，五邊形OBCDE是西安市周邊某村李大爺家的一塊耕地縮略圖(比例尺1∶15，單位米)，將其放在平面直角坐標系中，則點B(8，0)，C(8，4)，D(4，6)，E(0，6)，點P(0，8)處有一水井(占地面積忽略不計)，李大爺打算過點P修一條筆直的水渠(水渠的寬度不計)，并且使這條水渠所在的直線l將五邊形OBCDE分成面積相等的兩部分便于灌溉．你認為是否存在直線l能滿足李大爺?shù)囊?，若能，確定出水渠在五邊形耕地上的位置；若不能，請說明理由．第4題圖類型二面積最值問題(2012、2011.25)【類型解讀】面積最值問題(不涉及輔助圓)近10年考查2次，此類問題多涉及圖形變化，考查形式包含：①與圖形位似結(jié)合求面積最值、面積和最值；②與圖形折疊結(jié)合求面積最值．【滿分技法】1.已知△ABC兩邊長及其夾角，利用S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；2．已知△ABC兩邊長a、b，求最大面積，當且僅當這兩邊垂直(兩邊夾角為90°)時，S△ABC最大＝eq\f(1,2)ab；3．求四邊形面積時轉(zhuǎn)化為求三角形的面積和來求．針對訓練針對訓練1.問題探究(1)如圖①，在△OAB中，∠AOB＝90°，作△OAB關(guān)于點O的對稱△OCD，連接AD、BC.①作出四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀為____________；②若AO＋BO＝6，求四邊形ABCD的最大面積；(2)如圖②，在矩形ABCD中，對角線的長之和為12，求矩形ABCD的最大面積；問題解決(3)如圖③，李師傅有一個半徑為R的圓形板材⊙O，他準備利用該板材裁一個矩形，是否能裁出面積最大的矩形？若能，求出矩形的最大面積；若不能，請說明理由．第1題圖2.問題探究(1)請在圖①所示的矩形中裁出一個正方形，畫出你的裁剪方法，裁剪線用虛線表示；(2)如圖②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四個頂點至少有3個在矩形ABCD的邊上，請通過計算，確定正方形EFGH面積的最大值和最小值；問題解決(3)如圖③，有一塊三角形鐵皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，現(xiàn)在需要從這塊鐵皮上剪下一個正方形PQMN用作一個正方體盒子的蓋子，要求正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另外兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上．試通過計算確定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面積最大？第2題圖3.問題探究(1)如圖①，點M、N分別為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，則四邊形BNDM的面積與四邊形ABCD的面積關(guān)系是____________；(2)如圖②，在四邊形ABCD中，點M、N分別為AD、BC的中點，MB交AN于點P，MC交DN于點Q.若S四邊形MPNQ＝10，則S△ABP＋S△DCQ的值為多少？問題解決(3)如圖③，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，點M、N為AB上兩點，且滿足BN＝2AM＝2MN，連接MC、MD.若點P為CD上任意一點，連接AP、NP，使得AP與DM交于點E，NP與MC交于點F，則四邊形MEPF的面積是否存在最大值？若存在，請求出其最大面積；若不存在，請說明理由．第3題圖4.問題提出(1)如圖①，線段AB的長為4eq\r(2)，請你作出以AB為斜邊且面積最大的Rt△ABC；問題探究(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，請你求出四邊形ABCD的面積；問題解決(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這個材料板的形狀恰巧是符合圖③中條件的四邊形，裁取時要求盡可能節(jié)約，你能求出此時四邊形ABCD面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．第4題圖

類型三線段最值問題(2018、2016、2015.25)【類型解讀】線段最值問題近10年考查3次，考查形式為利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短，求線段的最小值、三角形或四邊形周長的最小值．針對訓練【滿分技法】鏈接至P63、P120、P123“微專題”．針對訓練1.問題探究(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點，請在AB上找一點F，使EF＝eq\f(1,2)AE，并說明理由；(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，連接CM，求eq\f(1,2)AM＋MC的最小值；問題解決(3)如圖③，A、B兩地相距600km，AC是沿東西方向向兩邊延伸的一條筆直的鐵路．點B到AC的最短距離為360km.今計劃在鐵路線AC上修建一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費最少，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置，并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)第1題圖2.問題探究(1)如圖①，點M、N分別是△ABC邊AB、AC上任意一點，在BC邊上確定一點P，使得PM＋PN的值最?。?2)如圖②，點M是邊長為2的正方形ABCD對角線AC上一動點，N為CD邊的中點，求△DMN周長的最小值；問題解決(3)如圖③，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB邊的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．若M為x軸上任意一點，N為y軸上任意一點，當四邊形MNFE的周長最小時，求出點M、N的坐標，并求出周長的最小值．第2題圖3.(2019西安交大附中模擬)問題提出(1)如圖①，點M、N是直線l外兩點，在直線l上找一點K，使得MK＋NK最??；問題探究(2)如圖②，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P.且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)的大??；問題解決(3)如圖③，矩形ABCD是草根公園的平面圖，AB＝30eq\r(3)米，BC＝60米，現(xiàn)需要在公園里修一涼亭E，使得到公園出口A、B、C的距離之和最小，問：是否存在這樣的點E？若存在，請畫出點E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值，并判斷點E是否在對角線BD上；若不存在，請說明理由．第3題圖4.(2019西工大附中模擬)問題提出(1)如圖①，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，BC＝2＋2eq\r(3)，求點A到BC的距離；問題探究(2)如圖②，已知邊長為3的正方形ABCD，點E、F分別在邊AD和BC上，且AE＝eq\f(1,3)AD，CF＝eq\f(1,3)BC，連接BE、DF，若點M、N分別為BE、DF上的動點，連接MN，求線段MN長度的最小值；問題解決(3)如圖③，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，CB＝CD＝2，∠ABC＝60°，連接BD，將線段BD沿BA方向平移至ME，點D的對應點為點E，點N為邊CD上一點，且DN＝BM，連接MN，MN的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．第4題圖．

類型四輔助圓問題(2014～2019.25)【類型解讀】利用輔助圓探究滿足特殊角的點問題近10年考查6次，考查形式：第(1)(2)問一般考查簡單作圖或計算，第(3)問一般為利用輔助圓探究滿足45°、60°、90°、120°角的點的存在性問題．針對訓練【滿分技法】鏈接至P96“微專題輔助圓問題”．針對訓練1.(2019陜西副題第25題12分)問題提出(1)如圖①，已知直線l及l(fā)外一點A，試在直線l上確定B、C兩點，使∠BAC＝90°，并畫出這個Rt△ABC；問題探究(2)如圖②，O是邊長為28的正方形ABCD的對稱中心，M是BC邊上的中點，連接OM.試在正方形ABCD的邊上確定點N，使線段ON和OM將正方形ABCD分割成面積之比為1∶6的兩部分．求點N到點M的距離；問題解決(3)如圖③，有一個矩形花園ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根據(jù)設計要求，點E、F在對角線BD上，且∠EAF＝60°，并在四邊形區(qū)域AECF內(nèi)種植一種紅色花卉，在矩形內(nèi)其他區(qū)域均種植一種黃色花卉．已知種植這種紅色花卉每平方米需210元，種植這種黃色花卉每平方米需180元．試求按設計要求，完成這兩種花卉的種植至少需費用多少元？(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)第1題圖2.(2018陜西副題25題12分)問題提出(1)如圖①，在△ABC中，AB＝4，∠A＝135°，點B關(guān)于AC所在直線的對稱點為B′，則BB′的長度為________；問題探究(2)如圖②，半圓O的直徑AB＝10，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，點D在eq\o(BC,\s\up8(︵))上，且eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(BD,\s\up8(︵))，P是AB上的動點，試求PC＋PD的最小值；問題解決(3)如圖③，扇形花壇AOB的半徑為20m，∠AOB＝45°.根據(jù)工程需要，現(xiàn)想在eq\o(AB,\s\up8(︵))上選點P，在邊OA上選點E，在邊OB上選點F，用裝飾燈帶在花壇內(nèi)的地面上圍成一個△PEF，使晚上點亮時，花壇中的花卉依然賞心悅目．為了既節(jié)省材料，又美觀大方，需使得燈帶PE＋EF＋FP的長度最短，并且用長度最短的燈帶圍成的△PEF為等腰三角形．試求PE＋EF＋FP的值最小時的等腰△PEF的面積．(安裝損耗忽略不計)第2題圖3.(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為________；(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM＋MN的最小值；(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是BC邊上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為點G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值？若存在，求這個最小值及此時BF的長度；若不存在，請說明理由．第3題圖4.問題探究(1)如圖①，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，則圓心O到AB的距離為________；(2)如圖②，線段BC和動點A構(gòu)成△ABC，已知BC＝6，∠BAC＝60°，過點A作BC邊上的高線AD.若點D在線段BC上，求線段AD長度的最小值；問題解決(3)李老師為了增加數(shù)學學習的趣味性，設計了一個“尋寶”游戲：如圖③，在平面內(nèi)，線段AB長為6cm，線段AB外有一動點P，且線段PA長為4cm，又有一點Q，滿足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，當線段AQ的長度最大時，點Q的位置即為藏寶地．請你確定藏寶地的位置及此時藏寶地到點A的距離．第4題圖5.問題提出(1)如圖①，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AD邊上的中點，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，則EF＝________；(2)如圖②，已知點A是直線l外一點，點B、C均在直線l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面積的最小值；問題解決(3)如圖③，某園林單位準備將一個四邊形花圃ABCD劃分為3個區(qū)域種植不同的花草．已知在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，點E、F分別為邊AB、AD上的點．若要保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，試求出最大值；若不存在，請說明理由．第5題圖6.(2019西安交大附中模擬)問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖①，AB為⊙O直徑，請在⊙O上找一點P，使∠ABP＝45°；(不必寫作法)問題探究(2)如圖②，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3eq\r(2)，D是AB上一點，AD＝2eq\r(2)，在BC邊上是否存在點P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的長度，若不存在，請說明理由；問題解決(3)如圖③，為矩形足球場的示意圖，其中寬AB＝66米，球門EF＝8米，且EB＝FA.點P、Q分別為BC、AD上的點，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前鋒球員從點P處帶球，沿PQ方向跑動，球員在PQ上的何處時才能使射門角度(∠EMF)最大？求出此時PM的長．第6題圖7.(2019陜師大附中模擬)問題探究(1)如圖①，已知等腰△ABC的頂角∠A＝30°，其外接圓半徑為2，則底邊上的中線AD長為________；(2)如圖②，已知△ABC，∠BAC＝60°，BC＝2，點D、E分別為邊AC、BC的中點，求DE長的最大值；問題解決(3)如圖③，點A、B為兩個物資生產(chǎn)站點，且站點A、B相距1km，現(xiàn)需規(guī)劃兩個物資買賣站點C、D及道路AC、AD.根據(jù)實際需要，站點B在站點C、D所連的線段上，且到站點C、D的距離相等，站點A對站點C、D的張角為45°，即∠CAD＝45°，若要使得站點A、C的距離與站點A、D的距離和最長，試求AC＋AD的最大值．(結(jié)果用根號表示)第7題圖8.(1)如圖①，等邊△ABC的邊長為2，點D為BC邊上一點，連接AD，則AD長的最小值是________；(2)如圖②，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8eq\r(3)，E為AB中點，若P為對角線BD上一動點，Q為邊AD上一動點，計算EP＋PQ的最小值；(3)如圖③，已知在四邊形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4eq\r(2)，E為CD邊上一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，在AF上截取FP＝FD，連接BP、CP.試問在四邊形ABCD內(nèi)是否存在點P，使得△PBC的面積最??？若存在，請你在圖中畫出點P的位置，并求出△PBC的最小面積；若不存在，請說明理由．第8題圖參考答案類型一面積平分問題針對訓練1.解：(1)如解圖①，取BC的中點D，作直線AD，則直線AD平分△ABC的面積；第1題解圖①(2)如解圖②，連接AC、BD，AC與BD交于點O，則點O為平行四邊形ABCD的對稱中心，作直線OP，則直線OP平分?ABCD的面積．第1題解圖②∵AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，∴點A到BC的距離為6×sin45°＝3eq\r(2)，∴S?ABCD＝12×3eq\r(2)＝36eq\r(2)；(3)存在．如解圖③，過點B作BD⊥x軸于點D，交AO于點E，連接OB、AP，則E(6，6)，直線l交AB于點F，交BD于點G.第1題解圖③∵B(6，12)，P(3，6)，∴點P為線段OB的中點．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四邊形OEBC是平行四邊形．∴點P是平行四邊形OEBC的對稱中心，∴任意一條過點P的直線平分平行四邊形OEBC.∴過點P的直線l只要平分△ABE的面積即可．設直線l的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，則有3k＋b＝6，即b＝6－3k，∴直線l的表達式為y＝kx＋6－3k.設直線AB的表達式為y＝mx＋n(m≠0)，將點B(6，12)、A(8，8)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝12,8m＋n＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2,n＝24))，∴直線AB的表達式為y＝－2x＋24.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋6－3k,y＝－2x＋24))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18＋3k,k＋2),y＝\f(12＋18k,k＋2)))，∴F(eq\f(18＋3k,k＋2)，eq\f(12＋18k,k＋2))．把x＝6代入y＝kx＋6－3k，得y＝3k＋6，∴G(6，3k＋6)．設直線AP的表達式為y＝ax＋c(a≠0)，將A(8，8)、P(3，6)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a＋c＝8,3a＋c＝6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,5),c＝\f(24,5)))，∴直線AP的表達式為y＝eq\f(2,5)x＋eq\f(24,5)，當x＝6時，y＝eq\f(36,5)，∵eq\f(36,5)<yG<yB，∴eq\f(36,5)＜3k＋6＜12，解得eq\f(2,5)＜k＜2.∵S△BFG＝eq\f(1,2)BG·(xF－6)＝eq\f(1,2)(12－3k－6)(eq\f(18＋3k,k＋2)－6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(8－6)×(12－6)＝3，解得k＝eq\f(2,3)或k＝4(舍去)，∴b＝6－3k＝4，∴直線l的表達式為y＝eq\f(2,3)x＋4.2.解：(1)作直線如解圖①所示；第2題解圖①(2)如解圖②所示，直線AP、AQ即為所求．理由如下：如解圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12.設過點A的直線分別交BC、CD于點P、Q，使直線AP、AQ把矩形ABCD的面積三等分，則S△ABP＝S△ADQ＝4，即eq\f(1,2)×3BP＝eq\f(1,2)×4DQ＝4，∴BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2，∴當BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2時，直線AP、AQ把矩形ABCD的面積三等分；第2題解圖②(3)李師傅能實現(xiàn)自己的想法．如解圖③，過點A作AE⊥BC，垂足為點E.∵AB＝AC＝100米，BC＝120米，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝60米，∴在Rt△ABE中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝80米，∴S?ABCD＝BC·AE＝120×80＝9600(平方米)，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，∵CD＝AB＝100米，CD·AF＝BC·AE，∴AF＝eq\f(BC·AE,CD)＝eq\f(120×80,100)＝96(米)．設過點A的直線分別交BC、CD于點P、Q，使直線AP、AQ把平行四邊形ABCD的面積三等分，則S△ABP＝S△ADQ＝eq\f(1,3)×9600＝3200(平方米)，即eq\f(1,2)BP·AE＝eq\f(1,2)DQ·AF＝3200，∴BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米，∴當BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米時，直線AP、AQ把平行四邊形ABCD的面積三等分．第2題解圖③3.解：(1)如解圖①，取BC邊的中點D，連接AD，則線段AD即為所求．在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝5，又∵點D為BC邊的中點，∴AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)；第3題解圖①(2)S△AOM＝S△BON.理由：S△AOM＝S△AMN－S△OMN，S△BON＝S△BMN－S△OMN，∵△AMN與△BMN同底等高，∴S△BMN＝S△AMN，∴S△AOM＝S△BON；(3)存在．如解圖②，連接AB，過點C作CD⊥x軸于點D，CE⊥y軸于點E，第3題解圖②∵C(6，6)，∴CE＝OD＝6，OE＝CD＝6，∴四邊形ODCE為正方形，S四邊形ODCE＝6×6＝36.∵A(4，0)，B(0，4)，∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×4×4＝8，∵AD＝6－4＝2，BE＝6－4＝2，∴SRt△BCE＝eq\f(1,2)×2×6＝6，SRt△CAD＝eq\f(1,2)×2×6＝6，∴S四邊形OACB＝S四邊形ODCE－SRt△BCE－SRt△CAD＝36－6－6＝24.∵直線BP平分四邊形OACB的面積，且點P在AC上，∴S△BPC＝S四邊形OAPB＝eq\f(1,2)×24＝12.又∵S△ABP＝S四邊形OAPB－SRt△OAB＝12－8＝4，∴S△ABP＝eq\f(1,4)S△ABC，∴AP＝eq\f(1,4)AC.∵點A(4，0)，C(6，6)，∴P(eq\f(9,2)，eq\f(3,2))．設直線BP的表達式為y＝ax＋b(a≠0)，將B(0，4)，P(eq\f(9,2)，eq\f(3,2))代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4,\f(9,2)a＋b＝\f(3,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,9),b＝4)).∴直線BP的表達式為y＝－eq\f(5,9)x＋4.4.解：(1)如解圖①，直線l是AD或BC的垂直平分線，則直線l平分四邊形ABCD的面積；第4題解圖①(2)AD∥EF∥BC，EF＝eq\f(AD＋BC,2).證明：如解圖②，連接AF并延長與BC的延長線交于點G，∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵DF＝FC，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD＝CG，∴BG＝BC＋CG＝BC＋AD，∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴在△ABG中，EF＝eq\f(1,2)BG，EF∥BG，∴AD∥EF∥BC，EF＝eq\f(AD＋BC,2)；第4題解圖②(3)能．如解圖③，過點C作CF⊥y軸于點F，則四邊形OBCF是矩形，DE∥CF∥OB，第4題解圖③連接OC、BF交于點M，G、H分別是EF、DC的中點，連接GH，取GH的中點N，則直線MN平分五邊形OBCDE的面積．設直線MN分別與DE、CF、OB交于點L、R、K，∵G、H分別是EF、DC的中點，∴DE∥GH∥CF，∴點N是LR的中點，由(2)可得GN＝eq\f(EL＋FR,2)，NH＝eq\f(LD＋RC,2)，∵GN＝NH，∴eq\f(EL＋FR,2)＝eq\f(LD＋RC,2)，∴S四邊形EFRL＝S四邊形CDLR，∵S四邊形OKRF＝S四邊形BCRK，∴S四邊形EFRL＋S四邊形OKRF＝S四邊形CDLR＋S四邊形BCRK，∴直線MN平分五邊形OBCDE的面積，設線段LK的中點是Q，連接PQ，直線PQ分別與DE、OB交于點A1、A2，∵△A1QL≌△A2QK，∴直線PQ平分五邊形OBCDE的面積，∵M(4，2)，N(3，5)，∴直線MN的表達式為y＝－3x＋14，∴L(eq\f(8,3)，6)，K(eq\f(14,3)，0)∵線段LK的中點是Q，∴點Q的縱坐標是3，點Q在直線MN上，∴點Q(eq\f(11,3)，3)，∵點P(0，8)，∴直線PQ表達式為y＝－eq\f(15,11)x＋8，∴A1(eq\f(22,15)，6)，A2(eq\f(88,15)，0)，∵耕地圖比例尺1∶15，∴eq\f(22,15)×15＝22(米)，eq\f(88,15)×15＝88(米)，∴水渠在五邊形耕地開挖的位置是：一端位于DE邊上距E點22米，另一端位于OB邊上距O點88米．類型二面積最值問題針對訓練1.解：(1)①菱形；②如解圖①，∵AO＝CO，BO＝DO，AO＋BO＝6，∴AC＋BD＝2(AO＋BO)＝12，設AC＝x，則BD＝12－x，∵由①得四邊形ABCD為菱形，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)x(12－x)＝－eq\f(1,2)x2＋6x＝－eq\f(1,2)(x－6)2＋18，∴當x＝6時，S菱形ABCD最大＝18，即四邊形ABCD的最大面積為18；第1題解圖①(2)如解圖②，連接AC、BD，在矩形ABCD中，AC＝BD，設AC與BD交于點O，∵AC＋BD＝12，∴AC＝BD＝6，OD＝eq\f(1,2)BD＝3，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，在Rt△DOE中，DE＝DO·sin∠DOE，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DE＝eq\f(1,2)AC·DO·sin∠DOE，又∵S△ABC＝S△ACD，∴S矩形ABCD＝2S△ACD＝AC·DO·sin∠DOE＝6×3sin∠DOE＝18sin∠DOE≤18，∴S矩形ABCD最大＝18；第1題解圖②(3)能裁出面積最大的矩形．如解圖③，連接AC，BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AC，BD均為⊙O的直徑，即AC＝BD＝2R，由(2)知，S矩形ABCD＝2S△ACD＝AC·DO·sin∠DOA＝2R·R·sin∠DOA＝2R2sin∠DOA≤2R2，∴S矩形ABCD最大＝2R2.第1題解圖③2.解：(1)作圖如解圖①所示：第2題解圖①(2)設AE＝x，則BE＝4－x，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴當x＝0或4時，正方形EFGH面積最大為16；當x＝2時，正方形EFGH面積最小為8；(3)分類討論：i)當MN在BC上時，如解圖②，過點A作AD⊥BC于點D，第2題解圖②∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.∵四邊形PQMN是正方形，∴AD垂直平分MN.設AD交PQ于點K，ND＝x，則PK＝ND＝x，KD＝2x，∵∠AKP＝∠ADC＝90°，∠PAK＝∠CAD，∴△APK∽△ACD，∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(PK,CD)，即eq\f(8－2x,8)＝eq\f(x,6)，解得x＝eq\f(12,5)，則此時正方形PQMN的邊長為eq\f(24,5)；ii)當MN在AB上時，如解圖③，過點C作CH⊥AB于點H，交PQ于點G，過點A作AD⊥BC于點D，則AD＝8.第2題解圖③∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)AB·CH＝48，∴CH＝eq\f(48,5).設正方形PQMN的邊長為y，則CG＝CH－GH＝eq\f(48,5)－y，∵PQ∥AB，∴CG⊥PQ，∠CPQ＝∠CAB，又∵∠PCQ＝∠ACB，∴△CPQ∽△CAB，∴eq\f(PQ,AB)＝eq\f(CG,CH)，即eq\f(y,10)＝eq\f(\f(48,5)－y,\f(48,5))，解得y＝eq\f(240,49)，則此時正方形PQMN的邊長為eq\f(240,49).∵eq\f(24,5)＜eq\f(240,49)，∴以△ABC的一腰為邊，另兩點在另一腰和底邊上時，裁得的正方形面積最大．3.解：(1)S四邊形BNDM＝eq\f(1,2)S四邊形ABCD；(2)如解圖①，連接BD，∵M、N是AD、BC的中點，∴S△ABM＝S△BDM，S△BDN＝S△CDN，(等底同高的兩個三角形面積相等)由(1)可知，S四邊形BMDN＝eq\f(1,2)S四邊形ABCD，同理，S四邊形ANCM＝eq\f(1,2)S四邊形ABCD，∴S四邊形ANCM＋S四邊形BMDN＝S四邊形ABCD，∴S四邊形MPNQ＝S△ABP＋S△CDQ＝10；第3題解圖①(3)存在最大值．如解圖②，連接PM，設DP＝x，則PC＝4－x，∵AM∥DP，∴eq\f(PE,EA)＝eq\f(PD,AM)，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PD＋AM)，即eq\f(PE,PA)＝eq\f(x,x＋1)，∵eq\f(S△MEP,S△APM)＝eq\f(PE,PA)，且S△APM＝eq\f(1,2)AM·AD＝1，∴S△MPE＝eq\f(x,x＋1)，同理可得S△MPF＝eq\f(4－x,5－x)，∴S四邊形MEPF＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(4－x,5－x)＝2－eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,5－x)＝2－eq\f(6,－x2＋4x＋5)＝2＋eq\f(6,（x－2）2－9)≤2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，當x＝2時，上式等號成立，∴S四邊形MEPF的最大值為eq\f(4,3).第3題解圖②4.解：(1)如解圖①，作線段AB的垂直平分線交AB于點O，以點O為圓心，在垂直平分線上截取OC＝OA，連接AC、BC，則Rt△ABC即為所求；第4題解圖①(2)如解圖②，連接AC，過點A作CB的垂線交CB的延長線于點E，則∠ABE＝180°－∠ABC＝60°.∴AE＝AB·sin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，∴CE＝2，∴AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(7).∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝eq\r(7)，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\r(7)×eq\r(7)×sin60°＝eq\f(9\r(3),4)；第4題解圖②(3)能．如解圖③，將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△B′AD，連接BB′，第4題解圖③由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BD＝B′D，∠B′AD＝∠C，∠B′DA＝∠BDC，∴∠BDB′＝60°，∴△BDB′為等邊三角形，∴BB′＝BD＝4，∵∠ABC＋∠ADC＝135°，∴∠BAD＋∠C＝360°－135°＝225°，∴∠BAB′＝360°－∠BAD－∠DAB′＝135°.∵S四邊形ABCD＝S△BDB′－S△ABB′，S△BDB′＝eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3)，∴當△ABB′的面積最大時，四邊形ABCD的面積最?。?1)可知，當AB＝AB′時，△ABB′的面積最大，過點A作AM⊥BB′于點M，在BM上截取MN，使MN＝AM，連接AN，易知∠BAM＝67.5°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＝∠NBA＝22.5°，∴AN＝BN.∵BB′＝4，AM⊥BB′，∴BM＝2，設AM＝MN＝x，則BN＝AN＝2－x，在Rt△AMN中，由勾股定理得AM2＋MN2＝AN2，即x2＋x2＝(2－x)2，解得x＝2eq\r(2)－2或x＝－2eq\r(2)－2(不符合題意，舍去)，∴S△ABB′最大＝eq\f(1,2)×4×(2eq\r(2)－2)＝4eq\r(2)－4，∴四邊形ABCD面積的最小值為4eq\r(3)－(4eq\r(2)－4)＝4eq\r(3)－4eq\r(2)＋4.類型三線段最值問題針對訓練1.解：(1)如解圖①，過點E作EF⊥AB，垂足為點F，點F即為所求．第1題解圖①理由如下：∵點E是正△ABC的高AD上的一點，∴∠BAD＝30°.∵EF⊥AB，∴在Rt△AEF中，EF＝eq\f(1,2)AE；(2)如解圖②，過點M作MN⊥AB，垂足為點N，第1題解圖②∵△ABC是正三角形，AD為高，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，MN＝eq\f(1,2)AM，當C、M、N三點共線時，eq\f(1,2)AM＋MC＝MN＋MC＝CN.此時eq\f(1,2)AM＋MC的值最小，最小值即為CN的長．∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴CN＝BC·sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)AM＋MC的最小值為eq\r(3)；(3)如解圖③，過點B作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN＝30°.第1題解圖③過點B作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求．在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(6002－3602)＝480(km)，在Rt△MBD中，∠MBD＝∠MAF＝30°，則MD＝BD·tan30°＝120eq\r(3)km，∴AM＝AD－MD＝(480－120eq\r(3))km.2.解：(1)如解圖①，作點M關(guān)于BC的對稱點M′，連接M′N交BC于點P，則點P就是所求的點；第2題解圖①(2)如解圖②，連接BD交AC于點O，∵正方形的對角線互相垂直平分，第2題解圖②∴點D關(guān)于AC的對稱點為點B，連接BN，交AC于點M，連接DM，∴DM＋MN＝MB＋MN＝BN，在AC上任取一異于點M的點M′，連接BM′、DM′、M′N，則DM′＋M′N＝BM′＋M′N＞BN，∴當B、M、N三點共線時，BN取得最小值，∴點M就是所求的點，∵線段DN的長為定值，∴當DM＋MN的值最小時△DMN的周長最小，即周長的最小值為BN＋DN的值．∵正方形ABCD的邊長為2，N為DC的中點，∴DN＝1，BN＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴△DMN的周長的最小值為eq\r(5)＋1；(3)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，∴點E坐標為(3，1)，又∵△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可知四邊形ADFB是正方形，∴BF＝AB＝OC＝2，CF＝BC－BF＝3－2＝1，∴點F的坐標為(1，2)，如解圖③，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、ME、EF，在OC上任取一點N′(不與點N重合)，在OA上任取一點M′(不與點M重合)，連接F′N′、N′M′、M′E′、FN′、EM′，則EF＋FN′＋N′M′＋M′E＝EF＋F′N′＋N′M′＋M′E′>EF＋E′F′，則取M、N點時四邊形MNFE的周長最小．第2題解圖③∴E′(3，－1)，F(xiàn)′(－1，2)，設直線E′F′的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點E′、F′的坐標分別代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝－1,－k＋b＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,4),b＝\f(5,4)))，∴直線E′F′的解析式為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4).當y＝0時，x＝eq\f(5,3)，故點M的坐標為(eq\f(5,3)，0)，當x＝0時，y＝eq\f(5,4)，故點N的坐標為(0，eq\f(5,4))．∵點E與E′關(guān)于x軸對稱，點F與F′關(guān)于y軸對稱，∴NF＝NF′，ME＝ME′，F(xiàn)′B＝4，E′B＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝eq\r(BE′2＋BF′2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝E′F′＝5，在Rt△BEF中，EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴FN＋NM＋ME＋EF＝E′F′＋EF＝5＋eq\r(5)，∴四邊形MNFE周長的最小值是5＋eq\r(5).3.解：(1)如解圖①，連接MN，交l于點K，則點K即為所求點；第3題解圖①(2)如解圖②，將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CP′B，則P′C＝AP＝3，BP′＝BP＝4，∠BP′C＝∠APB，∠PBP′＝60°，∴△PBP′為等邊三角形，∴PP′＝BP＝4，∠PP′B＝60°.第3題解圖②在△CP′P中，PC＝5，CP′＝3，PP′＝4，∴PC2＝P′C2＋P′P2，∴∠CP′P＝90°，∴∠BP′C＝∠CP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°，∴∠APB＝∠BP′C＝150°；(3)存在．連接AC，根據(jù)題意，解圖取矩形ABCD中Rt△ABC部分，如解圖③，將△ACE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△NCM，則NM＝AE，CM＝CE，∠ECM＝60°.第3題解圖③∴△ECM為等邊三角形，∴EM＝CE，∴EA＋EB＋EC＝BE＋EM＋MN.由“兩點之間，線段最短”可知BE＋EM＋MN≥BN，當且僅當B、E、M、N四點共線時等號成立，∴當EA＋EB＋EC取最小值時E在BN上(如解圖④)，最小值為BN的長．第3題解圖④連接AN，易證△ACN為等邊三角形，同理可知，以AB為邊在AB左側(cè)作等邊△ABF，當EA＋EB＋EC取最小值時E在CF上(如解圖⑤)，最小值為CF的長，∴E為CF、BN的交點．第3題解圖⑤如解圖⑥，作FG⊥BC，交CB的延長線于點G.由題意可知AB＝30eq\r(3)，BC＝60，∠ABC＝90°，第3題解圖⑥∴BF＝30eq\r(3)，∠FBG＝30°，∴FG＝eq\f(1,2)BF＝15eq\r(3)，BG＝eq\f(\r(3),2)BF＝45，CG＝CB＋BG＝105，∴在Rt△CFG中，CF＝eq\r(FG2＋CG2)＝30eq\r(13)，即EA＋EB＋EC最小值為30eq\r(13).綜上所述，點E在BN與CF的交點上，如解圖⑦，若點E在對角線BD上，則點E為BN和BD的交點，即點E與點B重合，顯然不合題意，故點E不在對角線BD上．第3題解圖⑦4.解：(1)如解圖①，過點A作AD⊥BC于點D，設AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，則BD＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)x，在Rt△ACD中，∠C＝45°，則CD＝AD＝x，∴BC＝BD＋CD＝eq\r(3)x＋x＝2eq\r(3)＋2，解得x＝2，∴點A到BC的距離為2；第4題解圖①(2)如解圖②，過點E作EG⊥DF，垂足為G，∵AE＝eq\f(1,3)AD，CF＝eq\f(1,3)BC，AD＝BC＝3，∴AE＝CF＝1，∴DE＝BF＝2，BE＝eq\r(10)，∵DE∥BF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，∴∠AEB＝∠GDE，BE∥DF，∴△BAE∽△EGD，∴eq\f(BE,DE)＝eq\f(AB,EG)，即eq\f(\r(10),2)＝eq\f(3,EG)，解得EG＝eq\f(3\r(10),5)，∴線段MN長度的最小值為BE與DF間的距離，即為EG的長，即為eq\f(3\r(10),5)；第4題解圖②(3)存在．如解圖③，連接AC、DE，AC交BD于點F，作∠ABC的平分線交AC于點O，連接OD、OM、ON，過點O作OP⊥AB于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，同理可證OB＝OD，∠OBC＝∠ODC，∴∠MBO＝∠OBC＝∠ODN＝30°，∵BM＝DN，∴△BOM≌△DON，∴OM＝ON，∠BOM＝∠DON，∴∠MON＝∠BOD，∴△MON∽△BOD，∴eq\f(MN,BD)＝eq\f(MO,BO)≥eq\f(OP,BO)＝eq\f(1,2)，∴MN≥eq\f(1,2)BD，∵AQ＝AB·sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，BQ＝AB·cos60°＝eq\f(3,2)，∴CQ＝eq\f(1,2)，∴AC＝eq\r(AQ2＋CQ2)＝eq\r(7)，∵CB·AQ＝AC·BF，即2×eq\f(3\r(3),2)＝eq\r(7)BF，解得BF＝eq\f(3\r(21),7)，∴BD＝2BF＝eq\f(6\r(21),7)，∴MN的最小值為eq\f(3\r(21),7).第4題解圖③類型四輔助圓問題針對訓練解：（1）如解圖①所示,Rt△ABC即為所求.（只要畫出一個符合要求的Rt△ABC即可）(2分)第1題解圖①如解圖②，∵O是正方形ABCD的對稱中心，且BM=CM，第1題解圖②∴S△BOM=282＜282.∴點N不可能在BM上，由對稱性，可知點N也不可能在MC上.顯然,點N不在AD邊上.(4分)∴設點N在AB邊上,連接ON.由題意,得(BN+14)14=282，解之,得BN=2.由對稱性知,當點N在CD邊上時,可得CN=2.∴MN=.（6分）（3）如解圖③所示,過點A作AH⊥BD于點H，第1題解圖③在Rt△ABD中，AB=30，AD=40，∴BD=50，AH=24.易得S△AEF=S△CEF.∴S四邊形AECF=2S△AEF=2EF·AH=24EF.由題意可知，只有S四邊形AECF最小時，按設計要求在矩形ABCD內(nèi)種植紅、黃兩種花卉的費用最低.要使S四邊形AECF最小，就需EF最短.（8分）∵AH⊥EF，tan∠HAD=tan∠ABD=＜，tan∠ADB=＜，∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°.又∵∠EAF=60°，∴E、F兩點分布在AH異側(cè).∴△AEF為銳角三角形.（9分）作其中任一銳角△AEF的外接圓O，過O作OG⊥EF于點G，連接OA、OF，則EF=2GF，∠GOF=∠EAF=60°.在Rt△OGF中，OF=2OG，GF=OG，∴EF=2OG，又∵OA+OG≥AH，OA=OF=2OG，∴2OG+OG≥24，得OG≥8.∴EF=2OG≥16.當圓心O在AH上，即AE=AF時，EF=16.∴EH=8＜18=BH，F(xiàn)H=8＜32=HD.當AE=AF時，點E、F在BD上.∴S四邊形AECF的最小值為2416=384.（11分）∴384210+（3040-384）180=216000+11520≈235584（元）.∴按設計要求，完成這兩種花卉的種植至少需費用約為235584元.（12分）2.解：(1)4eq\r(2)；(2分)(2)如解圖①，補全⊙O，連接CO并延長，與⊙O交于點C′，連接C′D與AB相交于點P′，連接CD，CP′.第2題解圖①由題意得∠CC′D＝30°，∠D＝90°，∴C′D＝CC′·cos30°＝5eq\r(3).由對稱知，P′C′＝P′C，∴P′C＋P′D＝C′D＝5eq\r(3).對于AB上任一點P，均有PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D＝5eq\r(3).即PC＋PD的最小值為5eq\r(3)；(6分)(3)如解圖②，設P′為eq\o(AB,\s\up8(︵))上任意一點，分別作點P′關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，分別與OA、OB交于點E′、F′，連接P′E′，P′F′.第2題解圖②由對稱可知，△P′E′F′的周長＝P1E′＋E′F′＋P2F′＝P1P2.對于點P′及分別在OA、OB上的任意點E、F，有△P′EF的周長＝P1E＋EF＋P2F≥P1P2.即△P′EF的周長的最小值為P1P2的長．(8分)連接OP1、OP′、OP2，由對稱可知，∠P1OA＝∠P′OA，∠P2OB＝∠P′OB，OP1＝OP′＝OP2＝20，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴P1P2＝eq\r(2)OP′＝20eq\r(2).∵對于eq\o(AB,\s\up8(︵))上任一點P，均有OP＝OP′，∴PE＋EF＋FP的最小值為20eq\r(2).(10分)由對稱可知，∠E′P′O＝∠OP1P2＝45°，∠F′P′O＝∠OP2P1＝45°，∴∠E′P′F′＝90°.同理，當PE＋EF＋FP最短時，∠EPF＝90°.當PE＋EF＋FP最短，且△PEF為等腰三角形時，則PE＝PF，∴2PE＋eq\r(2)PE＝20eq\r(2)，∴PE＝20eq\r(2)－20，∴S△PEF＝eq\f(1,2)PE2＝600－400eq\r(2)(m2)．(12分)3.解：(1)eq\f(12,5)；【解法提示】如解圖①，過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)點到直線的距離垂線段最小可知此時CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理得AB＝5，∵eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12,5).第3題解圖①(2)如解圖②，作出點C關(guān)于BD的對稱點E，過點E作EN⊥BC于點N，交BD于點M，連接CM，此時CM＋MN＝EN最?。?題解圖②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，∵BC＝4，∴在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得BD＝5，∵CE⊥BD，∴eq\f(1,2)BD·CF＝eq\f(1,2)BC·CD，∴CF＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(12,5)，由對稱性質(zhì)得CE＝2CF＝eq\f(24,5)，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝eq\f(CF,BC)＝eq\f(3,5)，∴sin∠BCF＝eq\f(4,5)，在Rt△CEN中，EN＝CE·sin∠BCF＝eq\f(24,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(96,25)，即CM＋MN的最小值為eq\f(96,25)；(3)存在．如解圖③，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，∴在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴BE＝1，且點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，設點G到AC的距離為h，∵S四邊形AGCD＝S△ACD＋S△ACG＝eq\f(1,2)AD·CD＋eq\f(1,2)AC·h＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×5h＝eq\f(5,2)h＋6，∴要四邊形AGCD的面積最小，即h最小，∵點G在以點E為圓心，BE長為半徑的圓上，且在矩形ABCD內(nèi)部，∴當EG⊥AC時，h最小，由折疊性質(zhì)知∠EGF＝∠ABC＝90°，延長EG交AC于點H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4,5)，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝eq\f(EH,AE)＝eq\f(4,5)，∴EH＝eq\f(4,5)AE＝eq\f(8,5)，∴h＝EH－EG＝eq\f(8,5)－1＝eq\f(3,5)，∴S四邊形AGCD最?。絜q\f(5,2)h＋6＝eq\f(5,2)×eq\f(3,5)＋6＝eq\f(15,2)；過點F作FM⊥AC于點M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四邊形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝eq\f(3,5)，∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴eq\f(CF,CA)＝eq\f(FM,AB)，即eq\f(CF,5)＝eq\f(\f(3,5),3)，∴CF＝1，∴BF＝BC－CF＝4－1＝3.第3題解圖③4.解：(1)3；【解法提示】如解圖①，過點O作OC⊥AB，連接OB，∵OB＝5，BC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴在Rt△OBC中，由勾股定理得OC＝eq\r(OB2－BC2)＝3.第4題解圖①(2)如解圖②，作△ABC的外接圓⊙O，∵BC＝6，∠BAC＝60°，且點D在線段BC上，∴點A在劣弧eq\o(AA′,\s\up8(︵))上，∴當點D與點B或點D與點C重合時，AD長度最小，此時∠ABC＝∠A′CB＝90°，∴AD＝eq\f(BC,tan60°)＝2eq\r(3)，即AD的最小值為2eq\r(3)；第4題解圖②(3)如解圖③，∵PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，∴將△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，PB與QB重合，得到△QCB，則QC＝PA＝4cm，∴當點P運動時，點Q的運動路徑為以C為圓心、半徑為4cm的⊙C，QC＝PA＝4cm，連接AC并延長交⊙C于點Q′，當Q與Q′重合時，AQ的長度最大，即為AQ′的長度，點Q′即為藏寶地．∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，AB＝BC＝6cm，∴AC＝6eq\r(2)cm，∴AQ′＝AC＋CQ′＝(6eq\r(2)＋4)cm，∴藏寶地到點A的距離為(6eq\r(2)＋4)cm.第4題解圖③5.解：(1)eq\r(10)；【解法提示】如解圖①，根據(jù)題意，作△CBF，連接EF，∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AD邊上的中點，∴∠DAB＝90°，AB＝AD＝2，DE＝AE＝eq\f(1,2)AD＝1，∵△CBF是由△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴BF＝DE＝1，且點A、B、F在一條直線上，∴AF＝3，∴在Rt△EAF中，由勾股定理得EF＝eq\r(AE2＋AF2)＝eq\r(10).第5題解圖①(2)如解圖②，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝eq\f(1,2)BC，第5題解圖②∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，設OA＝OB＝OC＝r，則OE＝eq\f(1,2)r，BC＝2BE＝eq\r(3)r，∵AO＋OE≥AD，AD＝3，∴r＋eq\f(1,2)r≥3，解得r≥2，∴BC＝eq\r(3)r≥2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD≥eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，∴△ABC面積的最小值為3eq\r(3)；(3)存在．如解圖③，分別延長AB、DC交于點M，則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，第5題解圖③∵CB＝CD＝6m，∴BM＝6m，CM＝6eq\r(2)m，AD＝DM＝(6＋6eq\r(2))m，∴S四邊形ABCD＝S△ADM－S△CBM＝eq\f(1,2)DM2－eq\f(1,2)CB2＝eq\f(1,2)×(6＋6eq\r(2))2－eq\f(1,2)×62＝(36＋36eq\r(2))m2.將△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，則A、D、E′三點共線．∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCD－(S△CBE＋S△CDF)＝S四邊形ABCD－S△CE′F，∵S四邊形ABCD為定值，∴當S△CE′F取得最小值時，S四邊形AECF取得最大值．∵∠E′CF＝135°－90°＝45°，∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，則△CE′F的外接圓是以點O為圓心，OF長為半徑的圓，設△CE′F的外接圓半徑為rm，∴E′F＝eq\r(2)rm，又∵OC＋OD≥CD，∴r＋eq\f(\r(2),2)r≥6，∴r≥12－6eq\r(2)，∴當點O在CD上時，E′F最短，此時E′F＝eq\r(2)r＝(12eq\r(2)－12)m，∴S△CE′F最?。絜q\f(1,2)×(12eq\r(2)－12)×6＝(36eq\r(2)－36)m2，∴S四邊形AECF最大＝S四邊形ABCD－S△CE′F最?。?6＋36eq\r(2)－(36eq\r(2)－36)＝72m2.6.解：(1)如解圖①，作AB的垂直平分線交⊙O于點P、P′，則點P或P′即為所求；第6題解圖①(2)存在．如解圖②、③，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq\r(2)，A