河南省商丘市十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

普通高中2024—2025學(xué)年（上）高二年級期中考試數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線的方程為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直線的斜率，再由斜截式得到直線方程，最后化為一般式即可.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，，所以，所以直線的方程為，即.故選：D2.若橢圓的長半軸長等于其焦距，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的長半軸長等于其焦距，所以，解得.故選：A3已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】若直線與垂直，則需滿足【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得故選：B.4.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線即，則拋物線的準(zhǔn)線為.故選：D5.已知圓的圓心在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程表示圓得，結(jié)合圓心在第二象限可得到結(jié)果.【詳解】由方程表示圓得，，解得.圓心坐標(biāo)為，由圓心在第二象限得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.6.在四面體中，E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，所?故選：B7.已知點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在兩點(diǎn)A，B，滿足，且，則r的最小值為（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由4，且，可得，點(diǎn)P在以為直徑的圓M上，轉(zhuǎn)化為圓C與圓M有公共點(diǎn)，當(dāng)圓C與圓M外切，且時(shí)，r取得最小值.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)M，由，且可得，點(diǎn)P在以為直徑的圓M上，且圓C與圓M有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離為，當(dāng)圓C與圓M外切，且時(shí)，r取得最小值故選：C.8.已知正方體的棱長為1，M為棱的中點(diǎn)，G為側(cè)面的中心，點(diǎn)P，Q分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)，得到，從而得到，再由向量模的坐標(biāo)表示求出的最小值及此時(shí)、的值，最后利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，取，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示得線性運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)公式即可判斷B；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷D.【詳解】對于A，由，，得，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知直線的方程為，圓的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓的半徑為12C.直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)D.圓心到直線距離的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】將直線方程變形為，令，即可求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A，根據(jù)圓的方程判斷半徑，從而判斷B，求出圓心與直線過定點(diǎn)的距離，即可判斷C、D.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，即，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為，故A正確；圓的方程為，則圓心，半徑，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，圓心到直線距離的最大值為，故D正確.故選：ACD11.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線上，若，，，且直線與拋物線交于另一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角為B.拋物線的方程為C.D.點(diǎn)在以線段為直徑的圓上【答案】BCD【解析】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判斷A；根據(jù)為等腰直角三角形，可求出可判斷B；將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值可判斷C；設(shè)線段的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，得到可判斷D.【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由拋物線的定義知，與全等，則，，，，，，則，直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，由上可知，，則為等腰直角三角形，，，得，所以拋物線方程為，故B正確；由上可知，直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理得，則，，則，，故C正確；設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，，由上可知，則，又，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，x，，則______.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)α//β，由求解.【詳解】解：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，且?/β，所以，則，解得，所以，故答案為：1013.已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線關(guān)于直線對稱，且這兩條漸近線的夾角為30°，則雙曲線與的離心率之積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，雙曲線的一條漸近線方程為，根據(jù)漸近線關(guān)于直線對稱,且夾角為30°,得到漸近線斜率值，進(jìn)而得到離心率乘積即可.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內(nèi)直線下方;雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內(nèi)直線上方，因?yàn)檫@兩條漸近線關(guān)于直線對稱,且夾角為，所以漸近線的傾斜角為，漸近線的傾斜角為,則離心率與漸近線斜率關(guān)系式為.故與的離心率之積為故答案為：.14.過圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】作圖，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，設(shè)，則，根據(jù)點(diǎn)在圓上求出的范圍，進(jìn)而得到的范圍，最終得到PQ的取值范圍.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，將圓化為，，半徑為2，，點(diǎn)在圓上，，設(shè)與交于點(diǎn)，，，則，在中，，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓C與直線，均相切.（1）若經(jīng)過圓心C的直線與，平行，求直線的方程；（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設(shè)直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出即可.【小問1詳解】由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為；【小問2詳解】由題意可得，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，平面，，，，.（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）證明：M，C，G，H四點(diǎn)共面.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可；（2）借助向量法，運(yùn)用空間向量共面的基本定理驗(yàn)證即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，又，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)E，連接，則，所以.因?yàn)槠矫?，平面平面，所以以A為原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則由，可知所以于是故直線與直線所成角的余弦值為【小問2詳解】證明：因?yàn)?，所以分別為中點(diǎn)，則連接，則設(shè)，由（1）知?jiǎng)t則解得所以故M，C，G，H四點(diǎn)共面.17.已知點(diǎn)在雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0上，且的實(shí)軸長為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)直線與交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)位于軸下方，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義及已知條件列出方程組來求解和.（2）利用三角形面積關(guān)系得到直線平行關(guān)系，進(jìn)而得出直線方程，再通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)條件，可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離相等.又點(diǎn)位于軸下方，所以由（1）可知，所以，則直線的方程為聯(lián)立整理得解得或.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.18.如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，進(jìn)而可得為的中點(diǎn)，從而可證明，，再根據(jù)線面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由，可得，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，所以的長度為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.19.已知點(diǎn)，，定義A，B的“倒影距離”為，我們把到兩定點(diǎn)，的“倒影距離”之和為6的點(diǎn)M的軌跡C叫做“倒影橢圓”.（1）求“倒影橢圓”C的方程；（2）求“倒影橢圓”C的面積；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若“倒影橢圓”C的外接橢圓為E，D為外接橢圓E的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)D），且的外接圓的圓心為H（異于點(diǎn)O），證明：直線與的斜率之積為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“倒影距離”和“倒影橢圓”的定義求解即可；（2）分類討論去絕對值符號(hào)，作出“倒影橢圓”的圖象，再結(jié)合圖象求面積即可；（3）先求出橢圓的方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再分別求出線段的中垂線的方程，設(shè)的外接圓的圓心的坐標(biāo)為，由這兩條中垂線方程得出的關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)Mx,y由“倒影距離”的定義可知，，，由題意，即，所以“倒影橢圓”C的方程為；【小問2詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由對稱性知，，其圖象如圖所示，故“倒影橢圓”C的面積；【小問3詳解】由上圖