2025版高考數(shù)學一輪總復習10年高考真題分類題組11.2離散型隨機變量及其分布列均值與方差VIP

.2離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考點離散型隨機變量及其分布列、均值與方差1.(2024北京理,17,12分)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設全部電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜愛,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率是502000(2)設事務A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”,事務B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計為0.25,P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.解后反思古典概型的概率以及方差的求解:在運用古典概型的概率公式時,應當留意:(1)要推斷該概率模型是不是古典概型;(2)先分清基本領件的總數(shù)n與事務A中包含的結果數(shù)m,再利用公式P(A)=mn求出事務A發(fā)生的概率.在求方差時,要學會推斷隨機變量是不是聽從特別分布,若聽從,則利用特別分布的方差公式求解2.(2024天津理,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠足夠,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;(ii)設A為事務“抽取的3人中,既有睡眠足夠的員工,也有睡眠不足的員工”,求事務A發(fā)生的概率.解析本題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、互斥事務的概率加法公式等基礎學問.考查運用概率學問解決簡潔實際問題的實力.(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采納分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4所以,隨機變量X的分布列為X0123P112184隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×4(ii)設事務B為“抽取的3人中,睡眠足夠的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事務C為“抽取的3人中,睡眠足夠的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以,事務A發(fā)生的概率為67名師點睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到某類個體的個數(shù).超幾何分布的特點:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體,考察某類個體個數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.3.(2017天津理,16,13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.解析本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,事務的相互獨立性,互斥事務的概率加法公式等基礎學問.考查運用概率學問解決簡潔實際問題的實力.(1)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=1-12×1-1P(X=1)=12×1-13×1-14+1-12×13×1-14+1-12×1-13×P(X=2)=1-12×13×14+12×1-13×1P(X=3)=12×13×14所以,隨機變量X的分布列為X0123P11111隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×1(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示其次輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事務的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+11=1148所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148技巧點撥解決隨機變量分布列問題的關鍵是正確求出隨機變量可以取哪些值以及取各個值時對應的概率,只有正確理解隨機變量取值的意義才能解決這個問題,理解隨機變量取值的意義是解決這類問題的必要前提.4.(2017山東理,18,12分)在心理學探討中,常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響,詳細方法如下:將參與試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理示意,另一組接受乙種心理示意,通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結果來評價兩種心理示意的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理示意,另5人接受乙種心理示意.(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望EX.解析本題考查離散型隨機變量的分布列,期望.(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務為M,則P(M)=C84C(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65CP(X=1)=C64CP(X=2)=C63CP(X=3)=C62CP(X=4)=C61C因此X的分布列為X01234P151051X的數(shù)學期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521解后反思(1)求離散型隨機變量X的分布列的步驟:①理解X的含義,寫出X全部可能的取值.②求X取每個值時的概率;③寫出X的分布列.(2)求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量取各個值時對應的概率,在求解時,要留意應用計數(shù)原理,古典概型概率公式等學問.5.(2016天津理,16,13分)某小組共10人,利用假期參與義工活動,已知參與義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參與座談會.(1)設A為事務“選出的2人參與義工活動次數(shù)之和為4”,求事務A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的2人參與義工活動次數(shù)之差的肯定值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由已知,有P(A)=C31C所以,事務A發(fā)生的概率為13(2)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32+P(X=1)=C31CP(X=2)=C31C所以,隨機變量X的分布列為X012P474隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×415+1×715+2×評析本題主要考查古典概型及其概率計算公式,互斥事務、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等基礎學問.考查運用概率學問解決簡潔實際問題的實力.6.(2015天津理,16,13分)為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球競賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參與.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參與競賽.(1)設A為事務“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事務A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C所以,事務A發(fā)生的概率為635(2)隨機變量X的全部可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5所以,隨機變量X的分布列為X1234P1331隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1評析本題主要考查古典概型及其概率計算公式,互斥事務,離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等基礎學問.考查運用概率學問解決簡潔實際問題的實力.屬中等難度題.7.(2015四川理,17,12分)某市A,B兩所中學的學生組隊參與辯論賽,A中學舉薦了3名男生、2名女生,B中學舉薦了3名男生、4名女生,兩校所舉薦的學生一起參與集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參與集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場競賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由題意,參與集訓的男、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C33C因此,A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1-1100=99(2)依據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31CP(X=2)=C32CP(X=3)=C33C所以X的分布列為X123P131因此,X的數(shù)學期望為E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×評析本題主要考查隨機事務的概率、古典概型、隨機變量的分布列、數(shù)學期望等基礎學問,考查運算求解實力、應用意識,考查運用概率與統(tǒng)計的學問與方法分析和解決實際問題的實力.8.(2015安徽理,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)須要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.(1)求第一次檢測出的是次品且其次次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品須要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所須要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學期望).解析(1)記“第一次檢測出的是次品且其次次檢測出的是正品”為事務A,P(A)=A21A(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=A22AP(X=300)=A33+P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=故X的分布列為X200300400P136EX=200×110+300×310+400×9.(2015福建理,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時,發(fā)覺自己遺忘了銀行卡的密碼,但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王確定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確,則結束嘗試;否則接著嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事務為A,則P(A)=56×45×34(2)依題意得,X全部可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56所以X的分布列為X123P112所以E(X)=1×16+2×16+3×23評析本小題主要考查古典概型、相互獨立事務的概率、隨機變量的分布列、數(shù)學期望等基礎學問,考查運算求解實力、應用意識,考查必定與或然思想.10.(2013課標Ⅰ理,19,12分)一批產(chǎn)品須要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n.假如n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;假如n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他狀況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質品的概率都為12,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都須要檢驗,對這批產(chǎn)品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.解析(1)設第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質品為事務A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質品為事務A2,其次次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質品為事務B1,其次次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質品為事務B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事務A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416×116+116×1(2)X可能的取值為400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=P(X=500)=116,P(X=800)=1所以X的分布列為X400500800P1111EX=400×1116+500×116+800×11.(2016課標Ⅱ理,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),接著購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下:一年內出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.解析(1)設A表示事務:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事務A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)設B表示事務:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事務B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)因此所求概率為311.(7分(3)記續(xù)保人本年度的保費為X元,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.(12分)易錯警示對條件概率的定義理解不到位,或者不會運用條件概率的求解公式,導致出錯.評析本題考查了隨機事務的概率,同時考查了考生的應用意識及數(shù)據(jù)處理實力,屬中檔題.12.(2013課標Ⅱ理,19,12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內,每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.依據(jù)歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如下圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù);(2)依據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的數(shù)學期望.解析(1)當X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000,當X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=800(2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.13.(2013北京理,16,13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖.空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良,空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;(2)設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望;(3)由圖推斷從哪天起先連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大?(結論不要求證明)解析設Ai表示事務“此人于3月i日到達該市”(i=1,2,…,13).依據(jù)題意,P(Ai)=113,且Ai∩Aj=?(i≠(1)設B為事務“此人到達當日空氣重度污染”,則B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=213(2)由題意可知,X的全部可能取值為0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=413P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=513所以X的分布列為X012P544故X的期望EX=0×513+1×413+2×413(3)從3月5日起先連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大.14.(2016課標Ⅰ,19,12分)某公司安排購買2臺機器,該種機器運用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器運用期間,假如備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決